数学ⅡB 高校数学

sin、cos、tanの三倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説!

更新日:

sin、cos、tanの三倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説!

 

・3倍角の公式って何??
・3倍角の公式はいつ使うの?

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

こんにちは!

みなさんは3倍角の公式を知っていますか?

公式は暗記しなくても良いです。

そのかわり求め方を覚えておきましょう!

3倍角の公式は加法定理と二倍角の公式の応用だね

 

本記事では、三角関数から3倍角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。

 

記事の内容
・3倍角の公式
・3倍角の公式 使い方
・3倍角の公式 証明
・3倍角の公式<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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3倍角の公式

3倍角の公式

 
3倍角の公式というのは、

\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

のように、角がなにかの3倍の形をしている三角関数の公式です。

使い方は、次の章で紹介します。

 

3倍角の公式\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

\(\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\)

\(\displaystyle \tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\)

 

 

3倍角の公式 使い方

3倍角の公式 使い方
 
3倍角の公式は

\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

のように、角が3倍の形をしているときに活躍します。

例えば,

\(\sin 225^\circ =-4 \sin ^{3} 75^\circ+3 \sin 75^\circ\)

などが成立することになります。

 

例題を見てみましょう。

例題\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3} \)のとき、\(\sin 3 \theta\)を求めよ。ただし,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)とする。

 

解答

\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)を使いたいので、

\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3} \)を代入しましょう。

\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

   \(\displaystyle =-4 (\frac{1}{3})^{3}+3 \frac{1}{3}\)

   \(\displaystyle =-4 \frac{1}{27}+1 \)

   \(\displaystyle =\frac{23}{27}\)
 

3倍角の公式 証明

3倍角の公式 証明
 

3倍角の公式はどれも加法定理の応用で導き出されます。

sinの3倍角の公式

 

sinの加法定理
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
を用いて、

\(α=2 \theta,β=\theta\)とすると

\(\sin 3 \theta =\sin (2 \theta+\theta)\)

   \(=\sin 2 \theta \cos \theta+\cos 2 \theta \sin \theta \)

   \(=2 \sin \theta \cos \theta \cdot \cos \theta+(1-2 \sin ^{2} \theta) \sin \theta \)

   \(=2 \sin \theta \cos ^{2} \theta+\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta \)

   \(=2 \sin \theta(1-\sin ^{2} \theta)+\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta \)

   \(=-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

となり、証明終了。

 

cosの3倍角の公式

 

\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
を用いて、

\(α=2\theta,β=\theta\)とすると

\(\cos 3 \theta =\cos (2 \theta+\theta)\)

   \(=\cos 2 \theta \cos \theta-\sin 2 \theta \sin \theta \)

   \(=(2 \cos ^{2} \theta-1) \cos \theta-2 \sin \theta \cos \theta \cdot \sin \theta \)

   \(=2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta-2 \sin ^{2} \theta \cos \theta \)

   \(=2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta-2(1-\cos ^{2} \theta) \cos \theta \)

   \(=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\)

よって、証明終了。
 

tanの3倍角の公式

 

tanの加法定理
\(\displaystyle tan(α+β)=\frac{tan α + tan β}{1-tanαtanβ}\)
を用いて、

\(α=2\theta,β=\theta\)とすると

\(\tan 3 \theta=\tan (2 \theta+\theta)\)

   \(\displaystyle =\frac{\tan 2 \theta+\tan \theta}{1-\tan 2 \theta \tan \theta}\)

   \(\displaystyle =\frac{\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}+\tan \theta}{1-\frac{2 \tan \theta \cdot \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}}\)

分母分子に \(1-\tan ^{2} \theta\) をかけると

\(\displaystyle \frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\)

となり、証明終了。

 

3倍角の公式<練習問題>

3倍角の公式<練習問題>
 

今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。

 

練習問題1\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \sin \theta=\frac{4}{5}\)のとき,\(\sin 3 \theta,\cos 3 \theta,\tan 2 \theta\)の值を求めよ。

解答

三角形の相互関係より、

\(\sin^{2} \theta +\cos^{2} \theta=1\)

なので、

\(\cos^{2} \theta=1-\sin^{2} \theta\)

\(\displaystyle =1-(\frac{4}{5})^{2}\)

\(\displaystyle =\frac{9}{25}\)

\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)より、

\(\displaystyle cos \theta=\frac{3}{5}\)

また、

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}\)

\(\displaystyle =\frac{4}{3}\)

したがって、

\(\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5},\cos \theta=\frac{3}{5},\tan \theta=\frac{4}{3}\)

 

3倍角の公式 まとめ

 

最後にもう一度、3倍角の公式を確認しておきましょう。

3倍角の公式\(\sin 3 \theta =-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\)

\(\cos 3 \theta=4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\)

\(\displaystyle \tan 3 \theta=\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から3倍角の公式についてまとめました。

この記事が誰かの役に立っていたら、とてもうれしいです。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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