二次関数

二次関数の公式まとめ

二次関数まとめ

「二次関数が苦手」
「二次関数の復習がしたい」
今回は二次関数に関するこんな悩みを解決します。

高校生
テストに向けて二次関数の総復習がしたいです...

 

数学Ⅰのなかでも二次関数は重要な単元の1つです。
受験でも出題されやすい単元なのでしっかりと理解しておきましょう!

 

本記事では二次関数の公式や解き方を徹底解説しています。

二次関数の総復習ができる構成になっているので、ぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

二次関数の公式まとめ

二次関数の分野で出てくる重要な公式をまとめました。

二次関数の公式だけ知りたい方はここをご覧ください。

《二次関数》
\(a≠0\)において、次のような式を2次関数といいます。

二次関数の公式

形は違いますが、どれも2次関数を表しています。
二次関数の決定でも出てくる式なので覚えておきましょう。

 

《グラフの軸と頂点》
二次関数の軸と頂点1

二次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

 

《平行移動》

二次関数の平行移動

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

 

《二次関数の決定》
二次関数の決定は大きく3つの型に分けられます。

覚えておきたい3つの型

与えられた条件がどの型なのかを判断して、二次関数を求めます。

 

《解の公式》

解の公式
二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)(a≠0)において、解の公式を使うと方程式の解を求めることができる。

 

《判別式D》

判別式の公式
判別式Dの符号によって、方程式の実数解の個数を求めることができます。

 

高校生
見たことあるけど忘れていたものもいくつかあったよ
どれも重要だから必ずおぼえておいてね!
シータ

それでは二次関数について詳しく解説していきます。

そもそも二次関数とは?

二次関数とは、最高次数が2の関数のことを指します。

二次関数

関数とは?

\(x\)の値を1つ決めたとき、それに伴って\(y\)の値も1つに決まる数式のこと。

\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)は三次関数
\(y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\)は四次関数

一次関数のグラフが直線だったのに対して、二次関数のグラフは放物線という滑らかな曲線を描きます。

二次関数のグラフ

シータ
\(ax^{2}\)の符号によって、放物線の向きが変わるのも覚えておこう!

二次関数の頂点と軸

二次関数の頂点は重要な単語です。

二次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

二次関数から軸と頂点を読み取るだけの問題もありますが、自分で平方完成をして軸と頂点を求める問題もあるので解説します。

 

平方完成して頂点と軸を求める

二次関数が以下の形になれば軸と頂点が分かります。

\begin{eqnarray}
y=a(x-p)^{2}+q
\end{eqnarray}

 

そこで平方完成を用いて、二次関数の式を変形していきましょう。

平方完成とは?

\(ax^{2}+bx+c\) の形の二次式を \(a(x−p)^{2}+q\) の形へ変形することを平方完成と言います。

二次関数\(x^{2}+6x+5\)を例として、軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
x^{2}+6x+5&=&(x^{2}+6x+9)-9+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray}

 

これで与式を\((x+3)^{2}-4\)に変形できたので、グラフの軸と頂点が分かりました。

放物線の軸:\(x=-3\)
頂点の座標:\((-3,-4)\)

 

このように平方完成を用いて\(a(x−p)^{2}+q\)の形にすることで、グラフの軸と頂点を求めることができます。

軸と頂点について詳しく知りたい方は下の記事をご覧ください。

二次関数のグラフの書き方

練習問題1-3

二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。

グラフを書く手順

  1. 頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸との交点を滑らかにつなぐ

 

\(y=x^{2}+6x+5\)を例にしてグラフを書いてみましょう。

 

step
1
グラフの頂点を求める

まずはじめに、グラフの頂点を求めます。

頂点の座標は平方完成すると求めることができます。

二次関数の軸と頂点

二次関数\(y=a(x+p)^{2}+q\)のとき、頂点の座標\((-p,q)\)

 

\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}

となります。

 

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は(-3,-4)となります。

二次関数のグラフの書き方

step
2
y軸との交点を求める

頂点の座標が分かっただけではグラフは書けません。

次はグラフとy軸との交点を求めます。

 

y軸上の点ということは、x座標が0であるので関数に\(x=0\)を代入します。

y軸との交点の求め方

y軸との交点⇒\(x=0\)を代入

 

\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると

\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。

二次関数のグラフの書き方

step
3
頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ

最後に頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。

\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。

 

この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと二次関数のグラフが完成します。

二次関数のグラフの書き方

 

このように以下の3ステップを踏めば二次関数のグラフが書けます。

グラフを書く手順

  1. 軸と頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸との交点を滑らかにつなぐ
もっと詳しく
二次関数のグラフ
二次関数のグラフの書き方を3ステップで解説!

「二次関数のグラフってなに?」 「グラフの書き ...

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二次関数の平行移動

グラフの形を変えないまま、平行に移動させることを平行移動といいます。

二次関数の平行移動

このときグラフの形は変わりません。ただし、頂点や軸が移動しているので、二次関数の式の形は変わります。

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\begin{eqnarray}
y=a(x-p)^{2}+q
\end{eqnarray}

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に3,\(y\)軸方向に2だけ平行移動させると、

二次関数の平行移動1

\(y=(x-3)^{2}+2\)となります。

 

二次関数\(y=x^{2}+6x+4\)を、\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動させます。

このとき、\(y=x^{2}+6x+4\)を平行移動させる方法は2つあります。

  1. そのまま平行移動
  2. 平方完成してから平行移動

方法1.そのまま平行移動

\(y=x^{2}+6x+4\)を\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+2)^{2}+6(x+2)+4+3\\
&=&(x^{2}+4x+4)+6(x+2)+7\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)だと分かりました。

方法2.平方完成してから平行移動

平方完成してから平行移動する方法も紹介します。

まずは\(y=x^{2}+6x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+4\\
&=&(x+3)^{2}-9+4\\
&=&(x+3)^{2}-5
\end{eqnarray*}

この関数が\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+3+2)^{2}-5+3\\
&=&(x+5)^{2}-2\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)となりました。

平行移動は2次関数において頻出問題です。必ず理解しておきましょう。

もっと知りたい
二次関数 の平行移動の公式
二次関数のグラフを平行移動させる公式と証明!なぜマイナスになるの?

「平行移動の公式ってなんだっけ」 「なんで符号 ...

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二次関数の最大値・最小値

二次関数では、最大値・最小値を求める問題もよく出題されます。

範囲のない場合2

二次関数の最大値と最小値の問題は大きく4つのタイプがあります。

最大値・最小値の4つのタイプ

  • 定義域がない場合
  • 定義域がある場合
  • 定義域に文字を含む場合
  • 軸に文字を含む場合

最大値・最小値を求めるアプローチがそれぞれ異なるので、1つずつじっくりと読んでみてください。

定義域がない場合

定義域(範囲)のない二次関数の最大値・最小値の問題から解説します。

定義域がない場合というのは以下のような問題です。

定義域がない場合

次の2次関数に最大値、最小値があれば求めよう。

\(y=x^{2}-4x+3\)

\(y=-2x^{2}-4x\)

高校生
見たことあるけど解けませんでした..
これが1番基本的な問題なので必ず解けるようしましょう!
シータ

\(y=x^{2}-4x+3\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、グラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+3\\
&=&(x-2)^{2}-1
\end{eqnarray}

 

この関数をグラフにすると下図のようになります。

範囲のない場合1

よって、この二次関数は\(x=2\)で最小値-1をとります。

また、グラフは永遠に上方向に伸びていくので最大値はありません。

 

\(y=-2x^{2}-4x\)の最大値・最小値

関数の式を変形すると

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x\\
&=&-2(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

 

この関数をグラフにすると下図のようになります。

範囲のない場合2

よって、この二次関数は\(x=-1\)で最大値2をとります。

また、グラフは永遠に下方向に伸びていくので最小値はありません。

 

上の2問のようにグラフに定義域が与えられていないときは、グラフが最大値、最小値を持たない場合もあるので注意して下さい。

 

定義域がある場合

定義域がある場合は、以下ような問題が出題されます。

定義域がある場合

\(y=x^{2}-4x+1 (0≦x≦3)\)

\(y=-2x^{2}+4x+5 (-1≦x≦0)\)

\(y=x^{2}-4x+1 (0≦x≦3)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

 

ここで\(0≦x≦3\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

範囲のある場合1

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=1\)

また、実践部分で最小なのが\(x=2\)のときの\(y=-3\)です。

\(x=0\)のとき、最大値-1
\(x=2\)のとき、最小値-3

\(y=-2x^{2}+4x+3 (-1≦x≦0)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}+4x+3\\
&=&-2(x-1)^{2}+5
\end{eqnarray}

 

ここで\(-1≦x≦0\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

範囲のある場合2

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=3\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=-3\)です。

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=-1\)のとき、最小値-3

定義域に文字を含む場合

定義域に文字を含むというのは、以下のような問題のことです。

定義域に文字を含む場合

\(y=x^{2}-2x+3 (0≦x≦a)\)

一つ前の定義域がある場合と同じように見えますが、よく見ると範囲に文字が含まれています。

この場合、\(a\)の値によって範囲が変化するため場合分けが必要です。

高校生
場合分け苦手だ、、できるかな、
大丈夫だよ!図使って丁寧に解説するからじっくり読んで見て!
シータ

 

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-2x+3\\
&=&(x-1)^{2}+2
\end{eqnarray}

 

この問題では\(x\)の定義域が\(0≦x≦a\)でした。

ここで\(a\)の値によって、以下の4つの場合分けします。

  • \(a<1\)のとき
  • \(1≦a<2\)のとき
  • \(a=2\)のとき
  • \(2<a\)のとき

\(a<1\)のとき

\(a<1\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合

\(a<1\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(a<1\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=a\)のとき、最小値\(a^{2}-2a+3\)

\(1≦a<2\)のとき

\(1≦a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合1

\(1≦a<2\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸が定義域に含まれています。なので頂点が最小値になることが図から分かります。

したがって、\(1≦a<2\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=1\)のとき、最小値2

\(a=2\)のとき

\(a=2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合2

\(a=2\)のとき、図から分かるように最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=2\)のときの最大値、最小値は

\(x=0,2\)のとき、最大値3
\(x=1\)のとき、最小値2

\(2<a\)のとき

\(2<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合4

\(2<a\)のとき、定義域の右端が最大値をとるようになります。

したがって、\(2<a\)のときの最大値、最小値は

\(x=a\)のとき、最大値\(a^{2}-2a+3\)
\(x=1\)のとき、最小値2

 

したがって求める最大値、最小値は

解答

\(a<1\)のとき、最大値3、最小値\(a^{2}-2a+3\)

\(1≦a<2\)のとき、最大値3、最小値2

\(a=2\)のとき、最大値3、最小値2

\(2<a\)のとき、最大値\(a^{2}-2a+3\)、最小値2

軸に文字を含む場合

最後は軸に文字を含む場合ですが、以下のような問題が出題されます。

軸に文字を含む場合

\(a\)は定数とする。関数\(y=2x^{2}-4ax(0≦x≦1)\)の最小値を、次の各場合について、それぞれ求めよう。

(1) \(a<0\)
(2) \(0≦a≦1\)
(3) \(1<a\)

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}-4ax\\
&=&2(x^{2}-2ax)\\
&=&2(x-a)^{2}-2a^{2}
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の3問を解いてみましょう。

(1) \(a<0\)
(2) \(0≦a≦1\)
(3) \(1<a\)

\(a<0\)の場合

\(a<0\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合

\(a<0\)のとき、\(x=0\)で最小値0をとります。

\(0≦a≦1\)の場合

\(0≦a≦1\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合1

したがって\(0≦a≦1\)のとき、\(x=a\)で最小値\(-2a^{2}\)をとります。

\(1<a\)の場合

\(1<a\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合2

\(1<a\)のとき、\(x=1\)で最小値\(2-4a\)をとります。

解答

\(a<0\)のとき、最小値0

\(0≦a≦1\)のとき、最小値\(-2a^{2}\)

\(1<a\)のとき、最小値\(2-4a\)

 

二次関数の最大値・最小値の問題はかなりの確率で定期テストに出題されます。

もし、最大値・最小値を求めるのが苦手なら以下の記事がおすすめです。

二次関数の最大値・最小値
二次関数の最大値・最小値の求め方!範囲の場合分けで考える方法

「二次関数の最大値・最小値ってどうやって求める ...

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二次関数の決定

二次関数の決定は大きく3つのパターンに分けられます。

覚えておきたい3つの型

問題文で与えられたヒントからどのパターンなのかを考えます。

①頂点と1点の座標が分かっているとき

頂点の座標と他の1点が分かっているときは①のパターンです。

二次関数の決定1

頂点と1点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

頂点が点(2,-4)で,点(-1,5)を通る。

頂点の座標から求める2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-2)^{2}-4\)

 

この2次関数が点(-1,5)を通るので、x=-1,y=5を代入して

\(5=a(-1-2)^{2}-4\)
\(5=9a-4\)

よって、\(\displaystyle a=1\)

これで求めたい2次関数が\(\displaystyle y=(x-2)^{2}-4\)だと分かりました。

 

②軸と2点の座標

軸の直線と他の2点の座標が分かっているときも①のパターンです。

軸と2点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

直線\(x=3\)を軸として、2点(-1,4),(1,-8)を通る。

軸が\(x=3\)なので、

\(y=a(x-3)^{2}+q\)

 

この2次関数が
点(-1,4)を通るから、\(4=a(-1-3)^{2}+q\)
点(1,-8)を通るので、\(-8=a(1-3)^{2}+q\)

よって、

\begin{eqnarray}
4&=&16a+q \cdots ①\\
-8&=&4a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

 

これを連立方程式で解くと \(a=1,q=-12\)

よって、求めたい二次関数が\(y=(x-3)^{2}-12\)だと分かりました。

 

③3点の座標

通る点の座標が3つ分かっているときは②のパターンです。

二次関数の決定2

3点の座標

2次関数のグラフが3点(2,-2),(3,5),(-1,1)を通るとき、その2次関数を求めよう。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が
点(2,-2)を通るから、\(-2=4a+2b+c \cdots ①\)
点(3,5)を通るので、\(5=9a+3b+c \cdots ②\)
点(-1,1)を通るので、\(1=a-b+c \cdots ③\)

 

②-①から、\(7=5a+b \cdots ④\)
②-③から、\(4=8a+4b \cdots ⑤\)

 

④×4-⑤から、\(24=12a\)となり\(a=2\)
④に\(a=2\)を代入すると、\(b=-3\)
①に\(a=2,b=-3\)を代入すると、\(c=-4\)

 

したがって、求める2次関数は\(y=2x^{2}-3x-4\)だと分かりました。

 

④x軸との交点と1点の座標

x軸との交点が2点と他の1点の座標が分かっているときは③のパターンです。

二次関数の決定3

x軸の交点と1点の座標

x軸と点(1,0),(3,0)と交わり、点(-1,8)を通る2次関数を求めよう。

x軸と点(1,0),(3,0)で交わるので、二次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-1)(x-3)\)

 

この2次関数が点(-1,8)を通るので、

\(8=a(-1-2)(-1-3)\)
\(8=12a\)
\(\displaystyle a=\frac{2}{3}\)

 

よって、求めたい二次関数が\(\displaystyle y=\frac{2}{3}(x-1)(x-3)\)だと分かりました。

 

とても長くなってしまいましたが、二次関数の決定は慣れれば点数が取れる単元です。
得点にできるようにたくさん問題を解いておきましょう!

覚えておきたい3つの型

 

二次関数の決定が苦手な方は以下の記事もチェック!

二次方程式と解の公式

二次方程式の解の求め方は主に2つあります。

二次方程式の解の求め方

  • 因数分解して求める
  • 解の公式を用いて求める

因数分解で解を求める

解の公式を解説する前に因数分解で求める方法を紹介します。

必ず押さえて欲しいので確認しておきましょう。

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=1,4\)

 

\begin{eqnarray}
2x^{2}-4x-6&=&0\\
2(x^{2}-2x-3)&=&0\\
2(x+1)(x-3)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-1,3\)

解の公式を用いて求める

2次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)の解は以下の計算で求めることができます。

解の公式

解の公式はかなり便利な公式なので必ず覚えましょう。

 

解の公式ならキレイに因数分解ができない二次方程式も解を求められます。

\(x^{2}-4x+1=0\)

\(a=1,b=-4,c=1\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
D&=&\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\
&=&\frac{-(-4)±\sqrt{(-4)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{4±\sqrt{16-4}}{2}\\
&=&\frac{4±2\sqrt{3}}{2}\\
&=&2±\sqrt{3}
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-2±\sqrt{6}\)となります。

 

解の公式は必ず押さえておきたい公式です。

解の公式について
二次関数の解の公式
二次方程式の解の公式をマスターしよう!

「解の公式とは?」 「解の公式を忘れてしまった ...

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二次方程式の判別式D

二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)において、以下の公式を判別式といいます。

判別式の公式

判別式の符号によってさまざまなことが分かるのでそれを解説していきましょう。

方程式の解の個数

判別式Dの符号によって、方程式を満たす実数解の個数が分かります。

2次関数の判別式

例として、1つ問題を解いてみましょう。

例題1

次の2次方程式の実数解の個数を求めよう。

\(x^{2}+3x-5=0\)

\(a=1,b=3,c=-5\)として判別式Dに代入します。

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&3^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-5)\\
&=&9+20\\
&=&29
\end{eqnarray}

D>0なので、異なる2つの実数解をもつ。

x軸との共有点の個数

判別式Dの符号によって、二次関数とx軸との共有点の個数も分かります。

2次方程式の解

もっと知りたい

\(ax^{2}+bx+c=0\)の実数解は、二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)とx軸との共有点のx座標を表しています。

 

これも例題で慣れていきましょう。

例題2

次の2次関数のグラフとx軸の共有点の個数を求めよう。

(1) \(y=x^{2}+3x+2\)
(2) \(y=2x^{2}-3x+2\)

(1) 2次方程式\(x^{2}+3x+2=0\)の判別式をDとすると

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&3^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2\\
&=&9-8\\
&=&1
\end{eqnarray}

D>0より、グラフとx軸の共有点の個数は2個である。

 

 

(2) 2次方程式\(2x^{2}-3x+2=0\)の判別式をDとすると

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&(-3)^{2}-4 \cdot 2 \cdot 2\\
&=&9-16\\
&=&-7
\end{eqnarray}

D<0より、グラフはx軸の共有点をもたない。

 

このように共有点を持たない場合もあるから注意が必要です。

高校生
判別式からグラフの概形がイメージできるね
そうなんだよ!判別式だけでx軸との位置関係が分かるようになるよ
シータ

判別式Dと解の個数については別の記事でも詳しく解説しています。

おすすめ参考書《二次関数》

二次関数の勉強におすすめの参考書を3つ紹介します。

《基礎から学習したい方向け》

《定期テスト向け》

《入試向け》

おすすめ動画《二次関数》

《とある男が授業をしてみた》
【2次関数・2次方程式・2次不等式】再生リスト

要チェック!

もっと分かりやすい授業が見たい方は、スタディサプリがおすすめです。
会員数157万越え!スタディサプリのメリット・デメリットを徹底解説

二次関数《練習問題》

二次関数の練習問題をいくつか用意しました。

解答は《ここをクリック》を押すと解答タブが開きます。

練習問題1

次の2次関数の軸と頂点を求めよう。

\(y=x^{2}-4x+3\)

ここをクリック

軸と頂点を求めるには、\(y=a(x-p)^{2}+q\)の形に式変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+3\\
&=&(x-2)^{2}-1
\end{eqnarray}

したがって、求める軸と頂点が分かりました。

軸の直線:\(x=2\)
頂点の座標:(2,-1)

 

練習問題2

次の2次関数の最大値、最小値を求めよう。

\(y=x^{2}+2x+3 (-2≦x≦2)\)

ここをクリック

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+2x+3\\
&=&(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

ここで\(-2≦x≦2\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

練習問題1

このグラフの実践部分は\(x=2\)のとき最大値11をとります。

また、頂点が定義域に含まれているので\(x=-1\)のとき最小値2となります。

したがって、求める最大値、最小値は

\(x=2\)のとき、最大値11
\(x=-1\)のとき、最小値2

 

練習問題3

2次方程式\(x^{2}-2x+m=0\)が異なる2つの実数解をもつとき、定数\(m\)の値の範囲を求めよう。

ここをクリック

この2次方程式の判別式をDとすると

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&(-2)^{2}-4 \cdot 1 \cdot m\\
&=&4-4m
\end{eqnarray}

2次方程式が異なる2つの実数解をもつのは、D>0のときなので

\begin{eqnarray}
4-4m&>&0\\
m&<&1
\end{eqnarray}

したがって、\(m<1\)のとき異なる2つの実数解をもつ。

 

二次関数 まとめ

今回は二次関数を総復習できるように網羅的にまとめました。

二次関数まとめ

二次関数の形を覚えておこう

  • \(y=ax^{2}+bx+c\)
  • \(y=a(x-p)^{2}+q\)
  • \(y=a(x-\alpha)(x-\beta)\)

グラフの軸と頂点が読み取れるようにしよう
二次関数の軸と頂点1

2次方程式\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、
軸の直線:\(x=p\) 、頂点の座標:(p,q)

二次関数の平行移動は式で表す
二次関数の平行移動

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

二次関数の決定は3つの型に分けられる。

覚えておきたい3つの型

判別式Dの符号によって、実数解の個数が分かる

  • D>0 ⇒ 異なる2つの実数解をもつ
  • D=0 ⇒ 実数解を1つもつ(重解)
  • D<0 ⇒ 実数解をもたない

二次関数は問題のバリエーションが豊富なので、苦手意識を持っている人も多いです。

しかし問題の意図を正しく捉えられれば、ここで紹介した公式だけでほとんどの問題を解くことができます。

 

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二次関数の記事一覧

 

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