「２直線のなす角ってどうやって求める？」
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
２つの直線を引くと、2直線の間に角がうまれますよね。
その角の大きさを傾きを使って求める公式があるんです。
今回は2直線のなす角と傾きの関係を解説していきます。
ぜひ最後まで見ていってね！
・2直線のなす角と傾きの関係
・2直線のなす角と傾きの関係 証明
・＜練習問題＞
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ぜひ最後までご覧ください。
2直線のなす角と傾きの関係
2直線のなす角と傾き互いに垂直でない2直線
\(y=m_{1} x+n_{1}, \quad y=m_{2} x+n_{2}\)
のなす角を \(\theta\) として
\(\displaystyle \tan \theta=|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}|\)
そもそも2直線がなす角というのは、直線を2本引いたときに交点ができますね。
そのときにできるこの角度のことを2直線がなす角といいます。
例えば2直線
\(y=\sqrt{3} x+2\)
\(y=(2−\sqrt{3})x−1\)
が存在するとき、この2直線のなす角は
\(m_{1}=\sqrt{3}, \quad m_{2}=2−\sqrt{3}\)
\(\displaystyle \tan \theta=|{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}}|\)
\(\displaystyle =|\frac{\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}|\)
\(\displaystyle =|\frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}-2}|\)
\(\displaystyle =1\)
\(\tan \theta=1\)より\(\theta=45^\circ\)
このように、2直線のなす角と傾きの関係を用いることで、角の大きさを求めることができます。
2直線のなす角と傾きの証明
2直線のなす角と傾きの関係を証明していきます。
使っているのは、\(\tan \theta\)の加法定理です。
2直線を
\(y=m_{1} x+n_{1}, \quad y=m_{2} x+n_{2}\)
として、それらを原点を通るように平行移動すると
\(y=m_{1} x, \quad y=m_{2} x\)
それぞれ \(x\)軸の正の部分となす角を\(α , β\)とすると、
\(tan α=m_{1},\quad tan β=m_{2}\)
となります。
ここで2直線がなす角は
\(\theta=α-β\)
となるので
\(\displaystyle \tan \theta=|\tan(α-β)|\)
\(\displaystyle =|\frac{\tan α-\tan β}{1+\tan α \tan β}|\)
\(\displaystyle =|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}|\)
＜練習問題＞
では、2直線のなす角と傾きの関係を用いた練習問題を用意しました。
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{5} x+2, \quad y=\frac{\sqrt{3}}{2} x+1\)
解説
\(\displaystyle m_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{5}, \quad m_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\displaystyle \tan \theta=|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}|\)
\(\displaystyle =|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+(-\frac{\sqrt{3}}{5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}}|\)
\(\displaystyle =|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{3}{10}}|\)
\(\displaystyle =|\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{10}-\frac{5\sqrt{3}}{10}}{1-\frac{3}{10}}|\)
\(\displaystyle =|\frac{-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{10-3}|\)
\(\displaystyle =|\frac{-7\sqrt{3}}{7}|\)
\(\displaystyle =|-\sqrt{3}|\)
\(\tan \theta=\sqrt{3}\)より\(\theta=60^\circ\)
したがって、2直線
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{5} x+2, \quad y=\frac{\sqrt{3}}{2} x+1\)
がなす角の大きさは\(60^\circ\)
おわりに
今回は数学Ⅱの三角関数から2直線のなす角と傾きの関係についてまとめました。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。
お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
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