数学ⅡB 高校数学

2直線のなす角と傾きの関係を解説!

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2直線のなす角と傾きの関係を解説!

 

「2直線のなす角ってどうやって求める?」

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

2つの直線を引くと、2直線の間に角がうまれますよね。

その角の大きさを傾きを使って求める公式があるんです。

 

今回は2直線のなす角と傾きの関係を解説していきます。

ぜひ最後まで見ていってね!

記事の内容
・2直線のなす角と傾きの関係
・2直線のなす角と傾きの関係 証明
・<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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2直線のなす角と傾きの関係

2直線のなす角と傾きの関係

2直線のなす角と傾き互いに垂直でない2直線

  \(y=m_{1} x+n_{1}, \quad y=m_{2} x+n_{2}\)

のなす角を \(\theta\) として

  \(\displaystyle \tan \theta=|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}|\)

そもそも2直線がなす角というのは、直線を2本引いたときに交点ができますね。

そのときにできるこの角度のことを2直線がなす角といいます。

2直線のなす角と傾きの証明

例えば2直線

\(y=\sqrt{3} x+2\)
\(y=(2−\sqrt{3})x−1\)

が存在するとき、この2直線のなす角は

\(m_{1}=\sqrt{3}, \quad m_{2}=2−\sqrt{3}\)

\(\displaystyle \tan \theta=|{\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}}|\)

\(\displaystyle =|\frac{\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}|\)

\(\displaystyle =|\frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}-2}|\)

\(\displaystyle =1\)

\(\tan \theta=1\)より\(\theta=45^\circ\)

このように、2直線のなす角と傾きの関係を用いることで、角の大きさを求めることができます。

 

2直線のなす角と傾きの証明

2直線のなす角と傾きの証明
2直線のなす角と傾きの関係を証明していきます。

使っているのは、\(\tan \theta\)の加法定理です。

2直線のなす角と傾きの証明

2直線を

\(y=m_{1} x+n_{1}, \quad y=m_{2} x+n_{2}\)

として、それらを原点を通るように平行移動すると

\(y=m_{1} x, \quad y=m_{2} x\)

2直線のなす角と傾きの証明

それぞれ \(x\)軸の正の部分となす角を\(α , β\)とすると、

\(tan α=m_{1},\quad tan β=m_{2}\)

となります。

ここで2直線がなす角は

\(\theta=α-β\)

となるので

\(\displaystyle \tan \theta=|\tan(α-β)|\)

\(\displaystyle =|\frac{\tan α-\tan β}{1+\tan α \tan β}|\)

\(\displaystyle =|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}|\)

 

<練習問題>

<練習問題>
では、2直線のなす角と傾きの関係を用いた練習問題を用意しました。

練習問題次の2直線のなす角を求めよ。ただし、\(\theta\)は銳角とする。
\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{5} x+2, \quad y=\frac{\sqrt{3}}{2} x+1\)

解説

\(\displaystyle m_{1}=-\frac{\sqrt{3}}{5}, \quad m_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\displaystyle \tan \theta=|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}|\)

\(\displaystyle =|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+(-\frac{\sqrt{3}}{5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}}|\)

\(\displaystyle =|\frac{-\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{3}{10}}|\)

\(\displaystyle =|\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{10}-\frac{5\sqrt{3}}{10}}{1-\frac{3}{10}}|\)

\(\displaystyle =|\frac{-2\sqrt{3}-5\sqrt{3}}{10-3}|\)

\(\displaystyle =|\frac{-7\sqrt{3}}{7}|\)

\(\displaystyle =|-\sqrt{3}|\)

\(\tan \theta=\sqrt{3}\)より\(\theta=60^\circ\)

したがって、2直線

\(\displaystyle y=-\frac{\sqrt{3}}{5} x+2, \quad y=\frac{\sqrt{3}}{2} x+1\)

がなす角の大きさは\(60^\circ\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から2直線のなす角と傾きの関係についてまとめました。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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