三角関数のまとめ【完全攻略】

「三角関数が苦手」
「三角関数の総復習がしたい」
今回は三角関数のこんな悩みを解決します。

高校生

三角関数は覚えることが多くて苦手です...

三角関数は定期テストだけでなく、入試にも必ずといっても良いほど出題されます。

本記事は三角関数を網羅的に学べるようにまとめました。

自分に必要な部分だけ読んでいただければ十分です。

記事の内容

三角関数の公式
三角関数の相互関係
$\theta+\pi$の公式
加法定理
三角関数の合成
和積・積和の公式
三角関数の応用公式
まとめ

この記事を書いた人

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シータ

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三角関数の基本

まずは超基本の三角関数の公式から確認します。

原点$O$を中心とする半径$r$の円を描きます。

$三角関数の公式$

$x$軸の正の方向（つまり右）に対して、線分$OA$による角の大きさを$\angle AOB=\theta $とするとき、

三角関数の公式

$sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}$,　$cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}$,　$tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}$

このように表される三角比の関数のことを、三角関数といいます。

三角関数の覚え方は以下の3通りの動きで覚えてしまいましょう。

$三角関数の覚え方$

詳しくは「三角関数(sin,cos,tan)の公式と覚え方」

$三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方$: 三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方
続きを見る

弧度法（ラジアン）とは？

三角関数を習うと角度を弧度法で表すようになります。

「弧度法ってなんだよ。」
「ラジアンってなにもの！？」

弧度法というのは、名前の通り”弧”に注目して角度を表現する方法のことです。

円の半径と弧の長さが等しくなる角度を1rad（ラジアン）といいます。

$弧度法とは？$

半径$r$の円において、円周の長さは$2\pi r$となり、この時の中心角を$2\pi$ラジアンといいます。

$弧度法とは？$

詳しくは「弧度法とは？弧度法の変換や面積公式すべて解説！」

: 弧度法とは？弧度法の変換や面積公式すべて解説！
続きを見る

三角関数の相互関係

$三角関数の相互関係$ 三角関数はsin,cos,tanのどれか一つが分かるだけで、その他の三角関数も分かります。

それには、三角関数の相互関係がとても重要になってきます。

三角関数の相互関係は必ず押さえておきたい重要な公式です。

三角形の相互関係

$\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1$

$\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}$

三角関数の相互関係についてはこちらの記事をご覧ください。

: 三角関数の相互関係＜必ず覚えたい重要公式３つ！＞
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$\theta+\pi$の公式

$sin(\theta+\pi)$のような角度の部分に$\pi$を含む公式をまとめました。

公式①

$\sin =-\sin \theta$
$\cos (-\theta)=\cos \theta$
$\tan (-\theta)=-\tan \theta$

公式②

$\displaystyle \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta$
$\displaystyle \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin \theta$
$\displaystyle \tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta}$

公式③

$\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta$
$\cos (\theta+\pi)=-\cos \theta$
$\tan (\theta+\pi)=\tan \theta$

詳しくは「θ＋π/2，θ+π三角関数の公式と導き方」

: θ＋π/2，θ+π三角関数の公式と導き方
続きを見る

三角関数の加法定理

次は三角形の加法定理をまとめます。

加法定理はほかの公式の証明に使われることが多いので、加法定理を理解しておくと考え方の幅が広がります。

加法定理

加法定理の公式はこちら。

語呂合わせの覚え方などは「加法定理の覚え方を5つ紹介！」で解説しています。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta)&=&\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta)&=&\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}

加法定理の重要ポイントはこちらの記事にまとめました。

$加法定理の公式まとめ！加法定理の重要ポイントを徹底解説！$: 加法定理の公式まとめ！加法定理の重要ポイントを徹底解説！

2倍角の公式

2倍角の定理はよく出てくるので押さえておきたいです。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \theta &=& 2 \sin \theta \cos \theta\\
\cos 2 \theta &=& \cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\\
&=&2 \cos ^{2} \theta-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \theta\\
\displaystyle \tan 2 \theta &=& \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\\
\end{eqnarray}

$2倍角の公式と求め方！cosの変形をマスターしよう！$: 2倍角の公式と求め方！cosの変形をマスターしよう！
続きを見る

3倍角の公式

3倍角の公式も載せておきましょう。

3倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 3 \theta &=&-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\\
\cos 3 \theta &=&4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\\
\displaystyle \tan 3 \theta &=&\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}
\end{eqnarray}

$3倍角の公式と覚え方！$: 3倍角の公式と覚え方！
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半角の公式

半角の公式は2倍角の公式を利用して半角の三角関数を導く公式です。

ただし、２倍角や３倍角の公式と違って、２乗の形であることに注意が必要です。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

: 半角の公式と証明・導き方を解説！もう公式を忘れても大丈夫！
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三角関数の合成

$三角関数の合成$
三角関数の合成は初めて見たとき驚きますよね。

「どうしてそうなった！？」

そんな風に感じました。

三角関数の合成公式

$a$と$b$のいずれかが$0$でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\]
\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\theta-\alpha)\]

ただし, $\alpha$は$\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を满たす角度とする。

三角関数の合成の証明や練習問題は「三角関数の合成公式と証明！sin・cosの合成を徹底解説！」にまとめました。

三角関数の和積・積和の公式

三角関数の和や積の形を変換する公式を和積の公式や積和の公式といいます。

積和の公式

まずは積和の公式から！

積和の公式
$\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}$
$\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\} $
$\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}\{\cos (α+β)+\cos (α-β)\}$

積和の公式は加法定理を用いて、導くことができます。