三角関数のまとめ【完全攻略】

三角関数まとめ

「三角関数が苦手」
「三角関数の総復習がしたい」
今回は三角関数のこんな悩みを解決します。

高校生
三角関数は覚えることが多くて苦手です...

三角関数は定期テストだけでなく、入試にも必ずといっても良いほど出題されます。

 

本記事は三角関数を網羅的に学べるようにまとめました。

自分に必要な部分だけ読んでいただければ十分です。

記事の内容

筆者の信頼性

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三角関数の基本

まずは超基本の三角関数の公式から確認します。

原点\(O\)を中心とする半径\(r\)の円を描きます。

三角関数の公式

 

\(x\)軸の正の方向(つまり右)に対して、線分\(OA\)による角の大きさを\(\angle AOB=\theta \)とするとき、

三角関数の公式

\(sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\), \(cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\), \(tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)

このように表される三角比の関数のことを、三角関数といいます。

三角関数の覚え方は以下の3通りの動きで覚えてしまいましょう。

三角関数の覚え方

三角関数の覚え方

三角関数の覚え方

詳しくは「三角関数(sin,cos,tan)の公式と覚え方

三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方
三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方

「三角関数の公式を忘れた」 「三角関数が覚えられなくて... ...

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弧度法(ラジアン)とは?

三角関数を習うと角度を弧度法で表すようになります。

「弧度法ってなんだよ。」
「ラジアンってなにもの!?」

弧度法というのは、名前の通り”弧”に注目して角度を表現する方法のことです。

円の半径と弧の長さが等しくなる角度を1rad(ラジアン)といいます。

弧度法とは?

 

半径\(r\)の円において、円周の長さは\(2\pi r\)となり、この時の中心角を\(2\pi\)ラジアンといいます。

弧度法とは?

詳しくは「弧度法とは?弧度法の変換や面積公式すべて解説!

弧度法とは?弧度法の変換や面積公式すべて解説!

「弧度法ってどういうこと?」 「度数法から角度に変換したい! ...

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三角関数の相互関係

三角関数の相互関係三角関数はsin,cos,tanのどれか一つが分かるだけで、その他の三角関数も分かります。

それには、三角関数の相互関係がとても重要になってきます。

 

三角関数の相互関係は必ず押さえておきたい重要な公式です。

三角形の相互関係

\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

三角関数の相互関係についてはこちらの記事をご覧ください。

三角関数の相互関係<必ず覚えたい重要公式3つ!>

  「三角関数の公式ってなんだっけ?」 「どうやっ ...

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\(\theta+\pi\)の公式

\(sin(\theta+\pi)\)のような角度の部分に\(\pi\)を含む公式をまとめました。

公式①

\(\sin =-\sin \theta\)
\(\cos (-\theta)=\cos \theta\)
\(\tan (-\theta)=-\tan \theta\)

公式②

\(\displaystyle \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta\)
\(\displaystyle \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin \theta\)
\(\displaystyle \tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta}\)

公式③

\(\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta\)
\(\cos (\theta+\pi)=-\cos \theta\)
\(\tan (\theta+\pi)=\tan \theta\)

詳しくは「θ+π/2,θ+π三角関数の公式と導き方

θ+π/2,θ+π三角関数の公式と導き方

  [word_balloon id="unset ...

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三角関数の加法定理

次は三角形の加法定理をまとめます。

加法定理はほかの公式の証明に使われることが多いので、加法定理を理解しておくと考え方の幅が広がります。

加法定理

加法定理の公式はこちら。

語呂合わせの覚え方などは「 加法定理の覚え方を5つ紹介!」で解説しています。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta)&=&\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta)&=&\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}

加法定理の重要ポイントはこちらの記事にまとめました。

加法定理の公式まとめ!加法定理の重要ポイントを徹底解説!
加法定理の公式まとめ!加法定理の重要ポイントを徹底解説!

「加法定理ってなんだっけ?」 「加法定理の公式が知りたい」 ...

2倍角の公式

2倍角の定理はよく出てくるので押さえておきたいです。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \theta &=& 2 \sin \theta \cos \theta\\
\cos 2 \theta &=& \cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\\
&=&2 \cos ^{2} \theta-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \theta\\
\displaystyle \tan 2 \theta &=& \frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\\
\end{eqnarray}
2倍角の公式と求め方!cosの変形をマスターしよう!
2倍角の公式と求め方!cosの変形をマスターしよう!

「2倍角の公式ってどんな公式?」 「どうやって使えばいいの? ...

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3倍角の公式

3倍角の公式も載せておきましょう。

3倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 3 \theta &=&-4 \sin ^{3} \theta+3 \sin \theta\\
\cos 3 \theta &=&4 \cos ^{3} \theta-3 \cos \theta\\
\displaystyle \tan 3 \theta &=&\frac{3 \tan \theta - \tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}
\end{eqnarray}
3倍角の公式と覚え方!
3倍角の公式と覚え方!

「3倍角の公式ってどんなの?」 「覚え方が知りたい」 今回は ...

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半角の公式

半角の公式は2倍角の公式を利用して半角の三角関数を導く公式です。

ただし、2倍角や3倍角の公式と違って、2乗の形であることに注意が必要です。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}
半角の公式と証明・導き方を解説!もう公式を忘れても大丈夫!

「なんで半角の公式は成り立つの?」 「すぐ忘れるので導き方を ...

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三角関数の合成

三角関数の合成
三角関数の合成は初めて見たとき驚きますよね。

「どうしてそうなった!?」

そんな風に感じました。

 

三角関数の合成公式

\(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\]
\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\theta-\alpha)\]

ただし, \(\alpha\)は\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

三角関数の合成の証明や練習問題は「三角関数の合成公式と証明!sin・cosの合成を徹底解説!」にまとめました。

三角関数の和積・積和の公式

三角関数の和や積の形を変換する公式を和積の公式や積和の公式といいます。

積和の公式

まずは積和の公式から!

積和の公式
\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}\{\sin (α+β)+\sin (α-β)\}\)
\(\displaystyle \sin α \sin β=\frac{1}{2}\{-\cos (α+β)+\cos (α-β)\} \)
\(\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}\{\cos (α+β)+\cos (α-β)\}\)

積和の公式は加法定理を用いて、導くことができます。

和積の公式

つぎは和積の公式です。

和積の公式は積和の公式から導かれます。

和積の公式

\(\displaystyle (1) \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (2) \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (3) \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

和積の公式&積和の公式
和積&積和の公式と覚え方

「和積の公式ってなんだっけ」 「公式が覚えられない」 今回は ...

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三角関数を利用した公式

三角関数を利用した公式

その他にも三角関数を利用した公式がいくつかあるので紹介します。

正弦定理

正弦定理は三角形に使う定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

正弦定理

正弦定理△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。

\(\displaystyle \frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C}=2R\)

正弦定理の公式と使い方を徹底解説!余弦定理との使い分けは?
正弦定理の公式と使い方を徹底解説!余弦定理との使い分けは?

「正弦定理ってなんだっけ?」 「正弦定理の使い方は?」 今回 ...

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余弦定理

余弦定理も三角形に辺や角を求められる定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

余弦定理

余弦定理△ABCにおいて、次が成り立つ。

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)

\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)

余弦定理
余弦定理の公式と証明!分かりやすく図を使って解説

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sinを使った面積公式

三角関数を使って三角形の面積を求めることもできるんです。

sin(サイン)を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。

sinを用いた面積公式

sinを用いた面積公式

2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は
\[
\begin{aligned}
S &=\frac{1}{2} b c \sin A \\
&=\frac{1}{2} c a \sin B \\
&=\frac{1}{2} a b \sin C
\end{aligned}
\]

と表すことができる。

sin(サイン)を用いる三角形の面積公式を解説!

「三角関数から三角形の面積が求められるの?」 そうなんです! ...

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2直線のなす角と傾きの関係

tan(タンジェント)を用いて2直線のなす角の大きさを求めることもできます。

2直線のなす角と傾き互いに垂直でない2直線

\(y=m_{1} x+n_{1}, \quad y=m_{2} x+n_{2}\)

のなす角を \(\theta\) として

\(\displaystyle \tan \theta=|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}}|\)

2直線のなす角と傾きの関係を解説!
2直線のなす角と傾きの関係を解説!

「2直線のなす角ってどうやって求める?」   今回 ...

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三角関数のまとめ

今回は三角関数についてそれぞれまとめました。

簡単な説明と公式を載せただけなので、詳しい解説は各記事の詳細をご覧ください。

 

三角関数以外の単元についてもまとめ記事を出しています。

教科書に内容に沿った解説記事を挙げているので、定期試験前に確認してください。

 

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それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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