数学ⅡB 高校数学

半角の公式と証明、使い方を徹底解説!

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半角の公式と証明、使い方を徹底解説!

 

・半角の公式はいつ使うの?
・半角の公式の証明が知りたい

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

こんにちは!

みなさんは半角の公式を知っていますか?

\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}\)のように、なにかの角の半分の形をした三角関数の公式です。

2倍角、3倍角の次は半分なんですね

 

本記事では、三角関数から半角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。

 

記事の内容
・半角の公式
・半角の公式 使い方
・半角の公式 証明
・半角の公式<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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半角の公式

半角の公式

半角の公式というのは、

\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)

のように、角がなにかの半分の形をしている三角関数の公式です。

ただし、2倍角や3倍角の公式と違って、2乗の形であることに注意が必要です。

使い方は、次の章で紹介します。

 

半角の公式\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)

\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)

\(\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

 

 

半角の公式 使い方

半角の公式 使い方

半角の公式は

\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)

のように、角が半角の形をしているときに活躍します。

また、半角の公式は次数を下げることができるため、微積分でも活躍する公式です。

 

例題を見てみましょう。

例題\(\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}\)を求めよ。

 

解答

半角の公式

\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)

より、

\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\)

    \(\displaystyle =\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)

    \(\displaystyle =\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)

\(\displaystyle cos \frac{\pi}{8} >0\)なので、

    \(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)

    \(\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

半角の公式 証明

半角の公式 証明
公式を覚えたところで、証明を確認しておきましょう。

半角の公式の証明は難しくありません。

sinの半角の公式を求めれば、あとは三角関数の相互関係の1つ

\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta=1\)

に代入するだけです。

sinの半角の公式

 

cosの2倍角の定理より、

\(cos2θ=1−2sin^{2} \theta\)

ここで、

\(\theta\)を\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)

に置き換えると

\(\displaystyle \cos \theta=1−2sin^{2} \frac{\theta}{2}\)

の左辺が

\(\displaystyle sin^{2} \frac{θ}{2}\)

だけになるように整理すると

\(\displaystyle sin^{2} \frac{θ}{2}=\frac{1−cosθ^{2}}{2}\)

となり、証明終了。

 

cosの半角の公式

 

三角形の相互関係

\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta =1\)

を用いて、

\(\displaystyle sin^{2} \frac{\theta}{2} + cos^{2} \frac{\theta}{2} =1\)

\(\displaystyle cos^{2} \frac{\theta}{2} =1-sin^{2} \frac{\theta}{2} \)  

    \(\displaystyle =1-\frac{1−cos \theta}{2}\ \)

    \(\displaystyle =\frac{1+\cos \theta}{2} \)

よって、証明終了。

tanの半角の公式

 

tanの公式

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

を用いて、

\(\displaystyle \tan^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{\sin^{2} \frac{\theta}{2}}{\cos^{2} \frac{\theta}{2}}\)

  \(\displaystyle =\frac{\frac{1-\cos \theta}{2}}{\frac{1+\cos \theta}{2}}\)

  \(\displaystyle =\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

となり、証明終了。

 

半角の公式<練習問題>

半角の公式<練習問題>
今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。

 

練習問題\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)で\(\displaystyle \sin \theta=\frac{3}{5}\)のとき、\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}\)の值を求めよ。

解答

三角形の相互関係より、

\(\sin^{2} \theta +\cos^{2} \theta=1\)

なので、

\(\cos^{2} \theta =1-\sin^{2} \theta\)

\(\displaystyle =1-(\frac{3}{5})^{2} \)

\(\displaystyle =\frac{16}{25}\)

\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)より、

\(cos \theta < 0 \)なので、

\(\displaystyle cos \theta =-\frac{4}{5}\)

よって、sin の半角の公式を用いると

\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2} \)

\(\displaystyle =\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2} \)

\(\displaystyle =\frac{\frac{9}{5}}{2}\)

\(\displaystyle =\frac{9}{10}\)

\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<{\pi}\)より

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}\)であるから、 \(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}>0\)

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)

となる。

 

半角の公式 まとめ

 

最後にもう一度、半角の公式を確認しておきましょう。

半角の公式\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)

\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)

\(\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から半角の公式についてまとめました。

この記事が誰かの役に立っていたら、とてもうれしいです。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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