・半角の公式の証明が知りたい
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
こんにちは！
みなさんは半角の公式を知っていますか？
\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}\)のように、なにかの角の半分の形をした三角関数の公式です。
本記事では、三角関数から半角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。
・半角の公式
・半角の公式 使い方
・半角の公式 証明
・半角の公式＜練習問題＞
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
半角の公式
半角の公式というのは、
\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)
のように、角がなにかの半分の形をしている三角関数の公式です。
ただし、２倍角や３倍角の公式と違って、２乗の形であることに注意が必要です。
使い方は、次の章で紹介します。
半角の公式\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)
\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)
\(\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
半角の公式 使い方
半角の公式は
\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)
のように、角が半角の形をしているときに活躍します。
また、半角の公式は次数を下げることができるため、微積分でも活躍する公式です。
例題を見てみましょう。
解答
半角の公式
\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)
より、
\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi}{4}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)
\(\displaystyle cos \frac{\pi}{8} >0\)なので、
\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\pi}{8}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\)
\(\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
半角の公式 証明
公式を覚えたところで、証明を確認しておきましょう。
半角の公式の証明は難しくありません。
sinの半角の公式を求めれば、あとは三角関数の相互関係の１つ
\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta=1\)
に代入するだけです。
sinの半角の公式
cosの2倍角の定理より、
\(cos2θ=1−2sin^{2} \theta\)
ここで、
\(\theta\)を\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)
に置き換えると
\(\displaystyle \cos \theta=1−2sin^{2} \frac{\theta}{2}\)
の左辺が
\(\displaystyle sin^{2} \frac{θ}{2}\)
だけになるように整理すると
\(\displaystyle sin^{2} \frac{θ}{2}=\frac{1−cosθ^{2}}{2}\)
となり、証明終了。
cosの半角の公式
三角形の相互関係
\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta =1\)
を用いて、
\(\displaystyle sin^{2} \frac{\theta}{2} + cos^{2} \frac{\theta}{2} =1\)
\(\displaystyle cos^{2} \frac{\theta}{2} =1-sin^{2} \frac{\theta}{2} \)
\(\displaystyle =1-\frac{1−cos \theta}{2}\ \)
\(\displaystyle =\frac{1+\cos \theta}{2} \)
よって、証明終了。
tanの半角の公式
tanの公式
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
を用いて、
\(\displaystyle \tan^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{\sin^{2} \frac{\theta}{2}}{\cos^{2} \frac{\theta}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1-\cos \theta}{2}}{\frac{1+\cos \theta}{2}}\)
\(\displaystyle =\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
となり、証明終了。
半角の公式＜練習問題＞
今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。
解答
三角形の相互関係より、
\(\sin^{2} \theta +\cos^{2} \theta=1\)
なので、
\(\cos^{2} \theta =1-\sin^{2} \theta\)
\(\displaystyle =1-(\frac{3}{5})^{2} \)
\(\displaystyle =\frac{16}{25}\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \)より、
\(cos \theta < 0 \)なので、
\(\displaystyle cos \theta =-\frac{4}{5}\)
よって、sin の半角の公式を用いると
\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos \theta}{2} \)
\(\displaystyle =\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2} \)
\(\displaystyle =\frac{\frac{9}{5}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{9}{10}\)
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<{\pi}\)より
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}\)であるから、 \(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}>0\)
\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10}\)
となる。
半角の公式 まとめ
最後にもう一度、半角の公式を確認しておきましょう。
半角の公式\(\displaystyle \sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\)
\(\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2}\)
\(\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
おわりに
今回は数学Ⅱの三角関数から半角の公式についてまとめました。
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