数学ⅡB 高校数学

2倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説!

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2倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説!

 

・2倍角の公式って何??
・2倍角の公式はいつ使うの?

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

2倍角はそんなに難しくないですよ

 

さっそく強気に宣言してみましたが

2倍角の問題は実はそんなに難しくありません。

2倍角の公式が少し長くて覚えづらいくらいです。

本記事では、三角関数から2倍角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。

 

記事の内容
・2倍角の公式
・2倍角の公式 使い方
・2倍角の公式 証明
・2倍角の公式<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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2倍角の公式

2倍角の公式

2倍角の公式というのは、

\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)

のように、角がなにかの2倍の形をしている三角関数の公式です。

使い方は、次の章で紹介します。

 

2倍角の公式\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)

\(\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\)
   \(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
   \(=1-2 \sin ^{2} \theta\)

\(\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\)

 

 

2倍角の公式 使い方

2倍角の公式 使い方
 
2倍角の公式は

\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)

のように、角が2倍の形をしているときに活躍します。

例えば,

\(\sin 60^{\circ}=2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}\)

などが成立することになります。

 

例題を見てみましょう。

例題\(\sin \theta=\frac{1}{3} \)のとき、\(\sin 2 \theta\)を求めよ。ただし,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)とする。

 

解答

\(\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta\)を使いたいので、まずcosを求めます。

三角形の相互関係より

\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta=1\)

なので、

\(\displaystyle (\frac{1}{3})^{2} + cos^{2} \theta =1 \)

\(\displaystyle cos^{2} \theta =\frac{8}{9}\)

ここで,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)なので、

\(\displaystyle cos \theta =\frac{2\sqrt2}{3}\)

\(cos \theta \)の値が分かったので2倍角の公式に代入して、

\(\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta\)

\(\displaystyle =2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt2}{3}\)

\(\displaystyle =\frac{4\sqrt2}{9}\)

したがって、

\(\displaystyle \sin 2 \theta=\frac{4\sqrt2}{9}\)

 

2倍角の公式 証明

2倍角の公式 証明
 

2倍角の公式はどれも加法定理の応用で導き出されます。

sinの2倍角の公式

 

sinの加法定理
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
を用いて、

\(α=\theta,β=\theta\)とすると

\(sin(\theta+\theta)=2sin \theta cos \theta\)

となり、証明終了。

 

cosの2倍角の公式

 

\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
を用いて、

\(α=\theta,β=\theta\)とすると

\(cos(\theta+\theta)=cos^{2} \theta - sin^{2} \theta\)
\(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
\(=1-2 \sin ^{2} \theta\)

となり、証明終了。

 

tanの2倍角の公式

 

tanの加法定理
\(\displaystyle tan(α+β)=\frac{tan α + tan β}{1-tanαtanβ}\)
を用いて、

\(α=\theta,β=\theta\)とすると

\(\displaystyle tan (\theta+\theta)=\frac{2tan \theta}{1-tan^{2} \theta}\)

となり、証明終了。

 

2倍角の公式<練習問題>

2倍角の公式<練習問題>
 

今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。

 

練習問題1\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \sin \theta=\frac{4}{5}\)のとき,\(\cos 2 \theta,\sin 2 \theta\)の值を求めよ。

解答

\(\cos 2 \theta=1-2sin^{2} \theta \)

なので、

\(\displaystyle \cos 2 \theta=1-2(\frac{4}{5})^{2} \)

\(\displaystyle \cos 2 \theta=-\frac{7}{25} \)

 

三角形の相互関係より

\(sin^{2} \theta + cos{2} \theta=1\)

\(\displaystyle cos{2} \theta=1-(\frac{4}{5})^{2} \)

\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)より,

\(\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{5} \)

\(\displaystyle sin 2 \theta =2 sin \theta cos \theta\)

\(\displaystyle sin 2 \theta =2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5}\)

\(\displaystyle sin 2 \theta =\frac{24}{5}\)

 

練習問題2\(0 < \theta < \frac{2}{3} \pi\)のとき, 関数\(y=\cos 2 \theta-2 \cos \theta\)の最大值と最小值を求めよ。

解答

\(y=2 \cos ^{2} \theta-1-2 \cos \theta\)

\(=2(\cos ^{2} \theta-\cos \theta)-1\)

\(\displaystyle =2(\cos \theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\)

\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi\)より,\(\displaystyle -\frac{1}{2} < \cos \theta < 1\)

したがって、

\(\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{2}{3} \pi\) のとき最大值 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{\pi}{3}\) のとき最小值 \(\displaystyle -\frac{3}{2}\)

 

2倍角の公式 まとめ

 

最後にもう一度、2倍角の公式を確認しておきましょう。

cosの公式が形を変えて3パターンあるのは要注意ですね。

2倍角の公式\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)
\(\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\)
    \(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
    \(=1-2 \sin ^{2} \theta\)
\(\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から2倍角の公式についてまとめました。

この記事が誰かの役に立っていたら、とてもうれしいです。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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