
・2倍角の公式はいつ使うの?
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

さっそく強気に宣言してみましたが
2倍角の問題は実はそんなに難しくありません。
2倍角の公式が少し長くて覚えづらいくらいです。
本記事では、三角関数から2倍角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。
・2倍角の公式
・2倍角の公式 使い方
・2倍角の公式 証明
・2倍角の公式<練習問題>
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
目次
2倍角の公式
2倍角の公式というのは、
\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)
のように、角がなにかの2倍の形をしている三角関数の公式です。
使い方は、次の章で紹介します。
2倍角の公式\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)
\(\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\)
\(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
\(=1-2 \sin ^{2} \theta\)
\(\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\)
2倍角の公式 使い方
2倍角の公式は
\(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\)
のように、角が2倍の形をしているときに活躍します。
例えば,
\(\sin 60^{\circ}=2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}\)
などが成立することになります。
例題を見てみましょう。
解答
\(\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta\)を使いたいので、まずcosを求めます。
三角形の相互関係より
\(sin^{2} \theta + cos^{2} \theta=1\)
なので、
\(\displaystyle (\frac{1}{3})^{2} + cos^{2} \theta =1 \)
\(\displaystyle cos^{2} \theta =\frac{8}{9}\)
ここで,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)なので、
\(\displaystyle cos \theta =\frac{2\sqrt2}{3}\)
\(cos \theta \)の値が分かったので2倍角の公式に代入して、
\(\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta\)
\(\displaystyle =2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt2}{3}\)
\(\displaystyle =\frac{4\sqrt2}{9}\)
したがって、
\(\displaystyle \sin 2 \theta=\frac{4\sqrt2}{9}\)
2倍角の公式 証明
2倍角の公式はどれも加法定理の応用で導き出されます。
sinの2倍角の公式
sinの加法定理
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
を用いて、
\(α=\theta,β=\theta\)とすると
\(sin(\theta+\theta)=2sin \theta cos \theta\)
となり、証明終了。
cosの2倍角の公式
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
を用いて、
\(α=\theta,β=\theta\)とすると
\(cos(\theta+\theta)=cos^{2} \theta - sin^{2} \theta\)
\(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
\(=1-2 \sin ^{2} \theta\)
となり、証明終了。
tanの2倍角の公式
tanの加法定理
\(\displaystyle tan(α+β)=\frac{tan α + tan β}{1-tanαtanβ}\)
を用いて、
\(α=\theta,β=\theta\)とすると
\(\displaystyle tan (\theta+\theta)=\frac{2tan \theta}{1-tan^{2} \theta}\)
となり、証明終了。
2倍角の公式<練習問題>
今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。
解答
\(\cos 2 \theta=1-2sin^{2} \theta \)
なので、
\(\displaystyle \cos 2 \theta=1-2(\frac{4}{5})^{2} \)
\(\displaystyle \cos 2 \theta=-\frac{7}{25} \)
三角形の相互関係より
\(sin^{2} \theta + cos{2} \theta=1\)
\(\displaystyle cos{2} \theta=1-(\frac{4}{5})^{2} \)
\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)より,
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{5} \)
\(\displaystyle sin 2 \theta =2 sin \theta cos \theta\)
\(\displaystyle sin 2 \theta =2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5}\)
\(\displaystyle sin 2 \theta =\frac{24}{5}\)
解答
\(y=2 \cos ^{2} \theta-1-2 \cos \theta\)
\(=2(\cos ^{2} \theta-\cos \theta)-1\)
\(\displaystyle =2(\cos \theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi\)より,\(\displaystyle -\frac{1}{2} < \cos \theta < 1\)
したがって、
\(\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{2}{3} \pi\) のとき最大值 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{\pi}{3}\) のとき最小值 \(\displaystyle -\frac{3}{2}\)
2倍角の公式 まとめ
最後にもう一度、2倍角の公式を確認しておきましょう。
cosの公式が形を変えて3パターンあるのは要注意ですね。
\(\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta\)
\(=2 \cos ^{2} \theta-1\)
\(=1-2 \sin ^{2} \theta\)
\(\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}\)
おわりに
今回は数学Ⅱの三角関数から2倍角の公式についてまとめました。
この記事が誰かの役に立っていたら、とてもうれしいです。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。
お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。
Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。
質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
みんなの努力が報われますように!
✅ 今話題のスタディサプリのまとめ
✅ 和の法則・積の法則を解説した記事