2倍角の公式と求め方!cosの変形をマスターしよう!

2倍角の公式と求め方!cosの変形をマスターしよう!

「2倍角の公式ってどんな公式?」
「どうやって使えばいいの?」
今回は2倍角の公式に関する悩みを解決します。

高校生
公式をすぐに忘れちゃいます...

 

2倍角の公式は決して難しい公式ではありません。

2倍角の公式

見た目は難しそうにも見えますが、加法定理を応用した公式です。

 

難しい公式ではありませんが、三角関数における重要な公式です。

公式も覚えて欲しいし、いつでも使いこなせるように練習しておきましょう。

 

本記事では2倍角の公式について解説しました。

記事の後半に練習問題もあるので、2倍角に慣れていない方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

筆者の信頼性

記事の信頼性

国公立の教育大学を卒業
個別指導塾の数学講師6年目
担当した生徒150人以上

 

三角関数のまとめ記事へ

2倍角の公式

2倍角の公式は\(2 \alpha\)のように、角がある角の2倍のときに使う公式です。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha\\
\cos 2 \alpha&=&\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha\\
\displaystyle \tan 2 \alpha&=&\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}
\end{eqnarray}

 

\(\sin\)や\(\cos\)のあとの角の部分が、2倍の形をしていたら2倍角の公式を使うことが多いです。

2倍角の公式は2倍の角

 

高校生
2倍のときに使うから2倍角の公式なんですね!

2倍角の公式の求め方

2倍角の公式は加法定理を応用した公式です。

2倍角の求め方

どのような式変形をして、2倍角の公式が成り立っているのかを解説します。

 

\(\sin\)の2倍角の公式

\(\sin\)も\(\cos\)も2倍角の公式を求める手順は同じです。

加法定理の公式を思い出して、\(\beta\)を\(\alpha\)に置き換えるだけです。

sinの2倍角の公式の求め方

\(\sin\)の加法定理より、

\[\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta\]

ここで\(\beta\)を\(\alpha\)に置き換えると、

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \alpha)&=&\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha\\
\sin 2\alpha&=&2\sin \alpha \cos \alpha
\end{eqnarray}

したがって、\(\sin\)の2倍角の公式

\[\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\]

を求めることができました。

 

\(\cos\)の2倍角の公式

\(\cos\)も\(\sin\)と同様の手順で求めます。

 

\(\cos\)の加法定理より、

\[\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\]

ここで\(\beta\)を\(\alpha\)に置き換えると、

\begin{eqnarray}
\cos(\alpha + \alpha)&=&\cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha\\
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha
\end{eqnarray}

\(\cos\)の2倍角の公式はまだ変形することができます。

三角関数の相互関係より、

\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1\]

 

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\\
&=&\left(1-\sin^{2} \alpha \right) - \sin^{2} \alpha\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha
\end{eqnarray}

同様に、

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\\
&=&\cos^{2} \alpha - \left(1-\cos^{2} \alpha \right)\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1
\end{eqnarray}

 

したがって、\(\cos\)の2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\cos 2 \alpha&=&\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha
\end{eqnarray}

を求めることができました。

\(\tan\)の2倍角の公式

\(\tan\)の2倍角の公式も同様に求めます。

\(\tan\)の加法定理より、

\[\displaystyle \tan(\alpha +\beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\]

 

\(\beta\)を\(\alpha\)に置き換えて、

\[\displaystyle \tan (\alpha +\alpha)=\frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}\]

したがって、\(\tan\)の2倍角の公式

\[\displaystyle \tan 2 \alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\]

を求めることができました。

2倍角の公式 使い方

2倍角の公式を知っていても、使うことができなければ得点になりません。

例題を解きながら使い方を確認しましょう。

2倍角の公式 例題

\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3} \)のとき、\(\sin 2 \theta\)を求めよう。

ただし,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)とする。

 

解答

\(\sin 2 \theta\)を求めるので、2倍角の公式を使おうと考えます。

\[\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\]

\(\sin\)の2倍角の公式を使うには、\(\cos \theta\)を求める必要がありますね。

 

三角形の相互関係より

\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1\]

なので、

\[\displaystyle \left(\frac{1}{3} \right)^{2} + \cos^{2} \theta =1\]

\[\displaystyle \cos^{2} \theta =\frac{8}{9}\]

ここで,\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)なので、

\[\displaystyle \cos \theta =\frac{2\sqrt2}{3}\]

 

\(\displaystyle \cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}\)を2倍角の公式に代入して、

\begin{eqnarray}
\sin 2 \theta&=&2 \sin \theta \cos \theta\\
\displaystyle &=&2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{2}}{9}
\end{eqnarray}

 

したがって、

\[\displaystyle \sin 2 \theta=\frac{4\sqrt2}{9}\]

 

計算式から分かるように、難しい計算は一切ありません。

2倍角の公式を覚えて、公式に代入するために必要な値を求めるだけです。

 

高校生
難しいイメージがありましたが、できる気がしてきました!
公式を覚えたあとは練習あるのみだよ!
シータ

《応用》半角の公式

2倍角を応用した公式に半角の公式というものがあります。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

 

2倍角の公式が角を2倍した公式だったのに対して、半角の公式では角が半分になります。

半角の公式

半角の公式は2倍角の公式を式変形しただけなので、すぐに使いこなせるようになると思います。

半角の公式は別の記事で詳しく解説しました。

半角の公式まとめ!公式の覚え方や使い方を徹底解説!
半角の公式の覚え方や使い方を徹底解説!

「半角の公式ってなんだっけ」 「半角の公式の使 ...

2倍角の公式《練習問題》

2倍角の公式を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題1

\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \sin \theta=\frac{4}{5}\)のとき,

\[\cos 2 \theta,\sin 2 \theta\]

を求めよう。

解答

\[\cos 2 \theta=1-2 \sin^{2} \theta \]

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2 \theta&=&1-2 \left(\frac{4}{5} \right)^{2}\\
\displaystyle &=&-\frac{7}{25}
\end{eqnarray}

 

三角形の相互関係より

\(\displaystyle \sin^{2} 2 \theta=1 - \cos^{2} 2 \theta\)

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} 2 \theta&=&1 - \cos^{2} 2 \theta\\
\displaystyle &=&1- \left(-\frac{7}{25} \right)^{2}\\
\displaystyle &=&1-\frac{49}{625}\\
\displaystyle &=&\frac{576}{625}
\end{eqnarray}

\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\)より,

\[\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\]

 

練習問題2

\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi\)のとき,

関数\(y=\cos 2 \theta-2 \cos \theta\)の最大值と最小值を求めよ。

解答

まずは与えられた式を変形しましょう。

\begin{eqnarray}
y&=&\cos 2 \theta-2 \cos \theta\\
&=&\left(2 \cos ^{2} \theta-1 \right)-2 \cos \theta\\
&=&2\cos ^{2} \theta-2\cos \theta-1
\end{eqnarray}

右辺を平方完成をして、

\[\displaystyle 2\cos ^{2} \theta-2\cos \theta-1=2(\cos \theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\]

 

\(\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi\)より,\(\displaystyle -\frac{1}{2} < \cos \theta < 1\)

したがって、

\(\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{2}\) のとき最大值 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}\) のとき最小值 \(\displaystyle -\frac{3}{2}\)

2倍角の公式 まとめ

今回は2倍角の公式についてまとめました。

2倍角の公式

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha\\
\cos 2 \alpha&=&\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha\\
\displaystyle \tan 2 \alpha&=&\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}
\end{eqnarray}

\(\cos\)の2倍角の公式だけ、3パターンに変形できるので注意してください。

 

2倍角の公式は加法定理を応用して、公式を導くことができます。

2倍角の求め方

加法定理の重要ポイントはこちらにまとめました。

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