2倍角の公式と求め方！cosの変形をマスターしよう！

「2倍角の公式ってどんな公式？」
「どうやって使えばいいの？」
今回は2倍角の公式に関する悩みを解決します。

高校生

公式をすぐに忘れちゃいます...

2倍角の公式は決して難しい公式ではありません。

$2倍角の公式$

見た目は難しそうにも見えますが、加法定理を応用した公式です。

難しい公式ではありませんが、三角関数における重要な公式です。

公式も覚えて欲しいし、いつでも使いこなせるように練習しておきましょう。

本記事では2倍角の公式について解説しました。

記事の後半に練習問題もあるので、2倍角に慣れていない方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

2倍角の公式
公式の求め方
2倍角の公式　使い方
《応用》半角の公式
練習問題
まとめ

$筆者の信頼性$

記事の信頼性

国公立の教育大学を卒業
個別指導塾の数学講師6年目
担当した生徒150人以上

三角関数のまとめ記事へ

2倍角の公式

2倍角の公式は$2 \alpha$のように、角がある角の2倍のときに使う公式です。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha\\
\cos 2 \alpha&=&\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha\\
\displaystyle \tan 2 \alpha&=&\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}
\end{eqnarray}

$\sin$や$\cos$のあとの角の部分が、2倍の形をしていたら2倍角の公式を使うことが多いです。

$2倍角の公式は2倍の角$

高校生

2倍のときに使うから2倍角の公式なんですね！

2倍角の公式の求め方

2倍角の公式は加法定理を応用した公式です。

$2倍角の求め方$

どのような式変形をして、2倍角の公式が成り立っているのかを解説します。

参考

加法定理から確認したい方はこちら

加法定理の公式まとめ！加法定理の重要ポイントを徹底解説！

$\sin$の2倍角の公式

$\sin$も$\cos$も2倍角の公式を求める手順は同じです。

加法定理の公式を思い出して、$\beta$を$\alpha$に置き換えるだけです。

$sinの2倍角の公式の求め方$

$\sin$の加法定理より、

\[\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta\]

ここで$\beta$を$\alpha$に置き換えると、

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha + \alpha)&=&\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha\\
\sin 2\alpha&=&2\sin \alpha \cos \alpha
\end{eqnarray}

したがって、$\sin$の2倍角の公式

\[\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\]

を求めることができました。

$\cos$の2倍角の公式

$\cos$も$\sin$と同様の手順で求めます。

$\cos$の加法定理より、

\[\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta\]

ここで$\beta$を$\alpha$に置き換えると、

\begin{eqnarray}
\cos(\alpha + \alpha)&=&\cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha\\
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha
\end{eqnarray}

$\cos$の2倍角の公式はまだ変形することができます。

三角関数の相互関係より、

\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1\]

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\\
&=&\left(1-\sin^{2} \alpha \right) - \sin^{2} \alpha\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha
\end{eqnarray}

同様に、

\begin{eqnarray}
\cos 2\alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\\
&=&\cos^{2} \alpha - \left(1-\cos^{2} \alpha \right)\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1
\end{eqnarray}

したがって、$\cos$の2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\cos 2 \alpha&=&\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha\\
&=&2 \cos ^{2} \alpha-1\\
&=&1-2 \sin ^{2} \alpha
\end{eqnarray}

を求めることができました。

$\tan$の2倍角の公式

$\tan$の2倍角の公式も同様に求めます。

$\tan$の加法定理より、

\[\displaystyle \tan(\alpha +\beta)=\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\]

$\beta$を$\alpha$に置き換えて、

\[\displaystyle \tan (\alpha +\alpha)=\frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1-\tan \alpha \tan \alpha}\]

したがって、$\tan$の2倍角の公式

\[\displaystyle \tan 2 \alpha=\frac{2\tan \alpha}{1-\tan^{2} \alpha}\]

を求めることができました。

2倍角の公式　使い方

2倍角の公式を知っていても、使うことができなければ得点になりません。

例題を解きながら使い方を確認しましょう。

2倍角の公式　例題

$\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3} $のとき、$\sin 2 \theta$を求めよう。

ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする。

解答

$\sin 2 \theta$を求めるので、2倍角の公式を使おうと考えます。

\[\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\]

$\sin$の2倍角の公式を使うには、$\cos \theta$を求める必要がありますね。

三角形の相互関係より

\[\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta=1\]

なので、

\[\displaystyle \left(\frac{1}{3} \right)^{2} + \cos^{2} \theta =1\]

\[\displaystyle \cos^{2} \theta =\frac{8}{9}\]

ここで,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$なので、

\[\displaystyle \cos \theta =\frac{2\sqrt2}{3}\]

$\displaystyle \cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$を２倍角の公式に代入して、

\begin{eqnarray}
\sin 2 \theta&=&2 \sin \theta \cos \theta\\
\displaystyle &=&2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \\
\displaystyle &=&\frac{4\sqrt{2}}{9}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle \sin 2 \theta=\frac{4\sqrt2}{9}\]

計算式から分かるように、難しい計算は一切ありません。

2倍角の公式を覚えて、公式に代入するために必要な値を求めるだけです。

高校生

難しいイメージがありましたが、できる気がしてきました！

公式を覚えたあとは練習あるのみだよ！

シータ

《応用》半角の公式

2倍角を応用した公式に半角の公式というものがあります。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

2倍角の公式が角を2倍した公式だったのに対して、半角の公式では角が半分になります。

$半角の公式$

半角の公式は2倍角の公式を式変形しただけなので、すぐに使いこなせるようになると思います。

半角の公式は別の記事で詳しく解説しました。

$半角の公式まとめ！公式の覚え方や使い方を徹底解説！$: 半角の公式の覚え方や使い方を徹底解説！
「半角の公式ってなんだっけ」「半角の公式の使 ...

2倍角の公式《練習問題》

2倍角の公式を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題1

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \sin \theta=\frac{4}{5}$のとき,

\[\cos 2 \theta,\sin 2 \theta\]

を求めよう。

解答

\[\cos 2 \theta=1-2 \sin^{2} \theta \]

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos 2 \theta&=&1-2 \left(\frac{4}{5} \right)^{2}\\
\displaystyle &=&-\frac{7}{25}
\end{eqnarray}

三角形の相互関係より

$\displaystyle \sin^{2} 2 \theta=1 - \cos^{2} 2 \theta$

なので、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} 2 \theta&=&1 - \cos^{2} 2 \theta\\
\displaystyle &=&1- \left(-\frac{7}{25} \right)^{2}\\
\displaystyle &=&1-\frac{49}{625}\\
\displaystyle &=&\frac{576}{625}
\end{eqnarray}

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$より,

\[\displaystyle \sin 2\theta=\frac{24}{25}\]

練習問題2

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi$のとき,

関数$y=\cos 2 \theta-2 \cos \theta$の最大值と最小值を求めよ。

解答

まずは与えられた式を変形しましょう。

\begin{eqnarray}
y&=&\cos 2 \theta-2 \cos \theta\\
&=&\left(2 \cos ^{2} \theta-1 \right)-2 \cos \theta\\
&=&2\cos ^{2} \theta-2\cos \theta-1
\end{eqnarray}

右辺を平方完成をして、

\[\displaystyle 2\cos ^{2} \theta-2\cos \theta-1=2(\cos \theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\]

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi$より,$\displaystyle -\frac{1}{2} < \cos \theta < 1$

したがって、

$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{2}$ のとき最大值 $\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2}$ のとき最小值 $\displaystyle -\frac{3}{2}$