2倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説！

$2倍角の公式と証明、練習問題を用いて解説！$

・２倍角の公式って何？？
・２倍角の公式はいつ使うの？

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

２倍角はそんなに難しくないですよ

さっそく強気に宣言してみましたが

２倍角の問題は実はそんなに難しくありません。

２倍角の公式が少し長くて覚えづらいくらいです。

本記事では、三角関数から２倍角の公式について、証明や練習問題をまとめたので解説していきます。

記事の内容
・２倍角の公式
・２倍角の公式　使い方
・２倍角の公式　証明
・２倍角の公式＜練習問題＞

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

２倍角の公式

$２倍角の公式$

２倍角の公式というのは、

$\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta$

のように、角がなにかの２倍の形をしている三角関数の公式です。

使い方は、次の章で紹介します。

２倍角の公式$\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta$

$\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$
　　　$=2 \cos ^{2} \theta-1$
　　　$=1-2 \sin ^{2} \theta$

$\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$

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２倍角の公式　使い方

$２倍角の公式　使い方$

２倍角の公式は

$\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta$

のように、角が２倍の形をしているときに活躍します。

例えば,

$\sin 60^{\circ}=2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}$

などが成立することになります。

例題を見てみましょう。

例題$\sin \theta=\frac{1}{3} $のとき、$\sin 2 \theta$を求めよ。ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする。

解答

$\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta$を使いたいので、まずcosを求めます。

三角形の相互関係より

$sin^{2} \theta + cos^{2} \theta=1$

なので、

$\displaystyle (\frac{1}{3})^{2} + cos^{2} \theta =1 $

$\displaystyle cos^{2} \theta =\frac{8}{9}$

ここで,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$なので、

$\displaystyle cos \theta =\frac{2\sqrt2}{3}$

$cos \theta $の値が分かったので２倍角の公式に代入して、

$\sin 2 \theta=2 sin \theta cos \theta$

$\displaystyle =2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt2}{3}$

$\displaystyle =\frac{4\sqrt2}{9}$

したがって、

$\displaystyle \sin 2 \theta=\frac{4\sqrt2}{9}$

２倍角の公式　証明

$２倍角の公式　証明$

２倍角の公式はどれも加法定理の応用で導き出されます。

《加法定理の公式》証明と覚え方を語呂合わせで紹介！

sinの２倍角の公式

sinの加法定理
$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ$
を用いて、

$α=\theta,β=\theta$とすると

$sin(\theta+\theta)=2sin \theta cos \theta$

となり、証明終了。

cosの２倍角の公式

$cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ$
を用いて、

$α=\theta,β=\theta$とすると

$cos(\theta+\theta)=cos^{2} \theta - sin^{2} \theta$
$=2 \cos ^{2} \theta-1$
$=1-2 \sin ^{2} \theta$

となり、証明終了。

tanの２倍角の公式

tanの加法定理
$\displaystyle tan(α+β)=\frac{tan α + tan β}{1-tanαtanβ}$
を用いて、

$α=\theta,β=\theta$とすると

$\displaystyle tan (\theta+\theta)=\frac{2tan \theta}{1-tan^{2} \theta}$

となり、証明終了。

２倍角の公式＜練習問題＞

$２倍角の公式＜練習問題＞$

今回学習した加法定理を用いて、練習問題を解いてみましょう。

練習問題1$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \sin \theta=\frac{4}{5}$のとき,$\cos 2 \theta,\sin 2 \theta$の值を求めよ。

解答

$\cos 2 \theta=1-2sin^{2} \theta $

なので、

$\displaystyle \cos 2 \theta=1-2(\frac{4}{5})^{2} $

$\displaystyle \cos 2 \theta=-\frac{7}{25} $

三角形の相互関係より

$sin^{2} \theta + cos{2} \theta=1$

$\displaystyle cos{2} \theta=1-(\frac{4}{5})^{2} $

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$より,

$\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{5} $

$\displaystyle sin 2 \theta =2 sin \theta cos \theta$

$\displaystyle sin 2 \theta =2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5}$

$\displaystyle sin 2 \theta =\frac{24}{5}$

練習問題2$0 < \theta < \frac{2}{3} \pi$のとき, 関数$y=\cos 2 \theta-2 \cos \theta$の最大值と最小值を求めよ。

解答

$y=2 \cos ^{2} \theta-1-2 \cos \theta$

$=2(\cos ^{2} \theta-\cos \theta)-1$

$\displaystyle =2(\cos \theta-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}$

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{2}{3} \pi$より,$\displaystyle -\frac{1}{2} < \cos \theta < 1$

したがって、

$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{2}{3} \pi$ のとき最大值 $\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \theta=\frac{\pi}{3}$ のとき最小值 $\displaystyle -\frac{3}{2}$

２倍角の公式　まとめ

最後にもう一度、２倍角の公式を確認しておきましょう。

cosの公式が形を変えて３パターンあるのは要注意ですね。

２倍角の公式$\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta$
$\cos 2 \theta=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta$
　　　　$=2 \cos ^{2} \theta-1$
　　　　$=1-2 \sin ^{2} \theta$
$\displaystyle \tan 2 \theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$