半角の公式の覚え方や使い方を徹底解説!

半角の公式まとめ!公式の覚え方や使い方を徹底解説!


「半角の公式ってなんだっけ」
「半角の公式の使い方が知りたい」
今回は半角の公式に関するこんな悩みを解決します。

高校生
半角の公式をすぐに忘れてしまいます

 

半角の公式は三角関数の重要な公式の1つです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

半角の公式を使うことで、\(\sin 15^\circ\)などを求めることができます。

 

ただ、半角の公式は見た目も複雑ですし、使い方が分かりづらい公式です。

きっと半角の公式や2倍角の公式がニガテな方も多いと思います。

 

本記事では半角の公式の使い方などを徹底解説しています。

三角関数が苦手な方にとって参考になることも多いので、ぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

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三角関数のまとめ記事へ

半角の公式

三角関数には重要な公式がいくつかあります。

三角関数の重要公式

  • \(\sin,\cos,\tan\)の基本公式
  • 正弦定理
  • 余弦定理
  • 加法定理
  • 2倍角の公式 など

 

そして半角の公式も三角関数の重要公式の1つです。

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

半角の公式はこんな式の形をしています。

その他の重要公式についてはこちらの記事でまとめました。

三角関数まとめ
三角関数のまとめ【完全攻略】

「三角関数が苦手」 「三角関数の総復習がしたい ...

半角の公式 証明

半角の公式は\(\cos\)の2倍角の公式を変形して証明します。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\cos 2\theta&=&\cos^{2} \theta -\sin^{2} \theta\\
&=&1-2\sin^{2}\theta\\
&=&2\cos^{2} \theta-1
\end{eqnarray}

\(\cos\)の2倍角の公式

\[\cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta\]

\(\theta\)を\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)に置き換えると、

\[\displaystyle \cos 2\cdot \frac{\theta}{2}=1-2\sin^{2} \frac{\theta}{2}\]

ゆえに

\[\displaystyle \cos \theta=1-2\sin^{2} \frac{\theta}{2}\]

となり、式を整理すると

\[\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos \theta}{2}\]

これで\(\sin\)の半角の公式を示すことができました。

 

\(\displaystyle \cos^{2} \frac{\theta}{2}\)も同様に、2倍角の公式から証明することができます。

\(\cos\)と\(\tan\)の証明はこちらの記事で紹介しています。

半角の公式と証明・導き方を解説!もう公式を忘れても大丈夫!

「なんで半角の公式は成り立つの?」 「すぐ忘れ ...

半角の公式 使い方

半角の公式は\(\theta\)を使って、\(\displaystyle \frac{\theta}{2}\)の三角比を求めます。

公式から分かるように、\(\cos \theta\)さえ分かれば半角の公式が使えます。

半角の公式

例として、\(\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}\)を求めてみましょう。

\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\pi}{12}\)を求めるには、\(\displaystyle \cos \frac{\pi}{6}\)は必要です。

\[\displaystyle \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdots ①\]

①と半角の公式から、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\pi}{12}&=&\frac{1-\cos \frac{\pi}{6}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{2-\sqrt{3}}{4}
\end{eqnarray}

\(\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}>0\)より、

\[\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\]

 

まずは\(\cos \theta\)を求めることを意識しましょう。

シータ
公式を覚えたら、使いこなせるようになろう!

半角の公式を使う時の注意点

半角の公式を使う時の注意点が2つあります。

注意ポイント

  • 2乗であること忘れない
  • \(\theta\)の範囲に気を付けよう

半角の公式で気を付けたい2点を解説します。

シータ
油断するとミスするよ!

2乗であること忘れない

半角の公式は左辺が2乗であることに気を付けましょう。

半角の公式を使う時の注意点

半角の公式を忘れたときのために、2倍角の公式から半角の公式を作れるようにしておくと良いです。

\(theta\)の範囲に気を付けよう

もう1つ注意すべきなのが\(\theta\)の範囲です。

\(\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}\)から\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}\)を求めるとき、

\(\displaystyle \frac{\theta}{2}>0\)ならば、\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}>0\)

\(\displaystyle \frac{\theta}{2}<0\)ならば、\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}<0\)

難しいことではありませんが、ここでミスするともったいないです。

\(\sin\)に限らず、\(\cos\)や\(\tan\)を求めるときにも範囲を意識するようにしましょう。

高校生
2乗も符号も油断しないように気を付けます

半角の公式の覚え方

半角の公式の覚え方を紹介します。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}
\end{eqnarray}

どちらもここまでは同じ形をしています。
半角の公式覚え方
ここで右辺の符号に注目しましょう。

ポイント

右辺には\(\cos \theta\)があります。

\(\displaystyle \sin^{2}\frac{\theta}{2}\)⇒\(\cos\)と異なるのでマイナス

\(\displaystyle \cos^{2}\frac{\theta}{2}\)⇒\(\cos\)と同じなのでプラス

 

\(\tan\)の公式は丸暗記ではなく、

\[\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\]

を利用して作りましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan^{2}\frac{\theta}{2}&=&\frac{\sin^{2} \frac{\theta}{2}}{\cos^{2} \frac{\theta}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

 

\(\sin\)と\(\cos\)の半角の公式さえ覚えておけば、\(\tan\)は簡単に求めることができます。

 

高校生
両辺がcosのときが+になるんですね!
そうだよ!自分の覚えやすいように覚えよう!
シータ

2倍角の公式

2倍角の公式も三角関数の重要な公式です。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\sin 2 \alpha&=&2 \sin \alpha \cos \alpha\\
\cos 2 \alpha&=&\cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\\
&=&1-2 \sin^{2} \alpha\\
&=&2 \cos^{2}-1\\
\displaystyle \tan 2\alpha&=&\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^{2}\alpha}
\end{eqnarray}

高校生
2倍角の公式を使って半角の公式を証明しましたね!

 

その2倍角の公式は"加法定理"を活用して作ることができます。

加法定理

\begin{eqnarray}
\sin(\alpha+\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\\
\sin(\alpha-\beta)&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha+\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\\
\cos(\alpha-\beta)&=&\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\\
\displaystyle \tan(\alpha+\beta)&=&\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\\
\displaystyle \tan(\alpha-\beta)&=&\frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}

加法定理の重要ポイントは別の記事でまとめました。

加法定理の公式まとめ!加法定理の重要ポイントを徹底解説!
加法定理の公式まとめ!加法定理の重要ポイントを徹底解説!

「加法定理ってなんだっけ?」 「加法定理の公式 ...

半角の公式《練習問題》

半角の公式を使った練習問題にチャレンジしてみましょう。

練習問題

\(0<\theta<\pi\)で\(\displaystyle \cos \theta=-\frac{2}{3}\)のとき、

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2},\cos \frac{\theta}{2},\tan \frac{\theta}{2}\)を求めよう。

シータ
公式に代入していこう!

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}\)を求める

\(\displaystyle \cos \theta=-\frac{2}{3}\)を半角の公式に代入して、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1+\frac{2}{3}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{5}{6}
\end{eqnarray}

ここで\(0<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}\)なので、\(\sin \frac{\theta}{2}>0\)

したがって、

\[\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{30}}{6}\]

 

\(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}\)を求める

\(\sin\)と同様に、公式に代入して考えましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1-\frac{2}{3}}{2}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{6}
\end{eqnarray}

ここで\(0<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}\)なので、\(\cos \frac{\theta}{2}>0\)

したがって、

\[\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}\]

 

\(\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}\)を求める

\(\displaystyle \sin \frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{30}}{6},\cos \frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

よって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan\frac{\theta}{2}&=&\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{6}}\\
&=&\sqrt{5}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=\sqrt{5}\]

 

高校生
公式を覚えたので解けました!
すばらしい!!これで半角の公式もバッチリだね!
シータ

半角の公式 まとめ

今回は半角の公式についてまとめました。

半角の公式 まとめ

半角の公式

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \cos ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1+\cos \theta}{2}\\
\displaystyle \tan ^{2} \frac{\theta}{2}&=&\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}
\end{eqnarray}

半角の公式は2倍角の公式を式変形することで証明できます。

2倍角の公式

\begin{eqnarray}
\cos 2\theta&=&\cos^{2} \theta -\sin^{2} \theta\\
&=&1-2\sin^{2}\theta\\
&=&2\cos^{2} \theta-1
\end{eqnarray}

今回は半角の公式に焦点をあてて解説しました。

三角関数には加法定理2倍角の公式など重要な公式がたくさんあります。

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