数学ⅡB 高校数学

三角関数の合成公式と証明、練習問題で理解しよう!

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三角関数の合成公式と証明、練習問題で理解しよう!

 

三角関数の合成が分かりません

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

こんにちは。

三角関数の合成ってなんか難しそうなことやっているように見えますよね。

実はそんなことないんです!

 

実際、公式や証明を見てみるとそんなに難しいことはしてないんです!

ただ、入試問題で使うことが多い重要な公式なので確実に抑えておきたいところではあります。

 

本記事では三角関数の合成公式とその証明、使い方をわかりやすく伝えていくので、ぜひ最後まで読んでみてください。

 

記事の内容
・三角関数の合成 公式
・三角関数の合成が使えるとき
・三角関数の合成 証明
・三角関数の合成<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角関数の合成 公式

三角関数の合成 公式
 
三角関数の合成とは, sin と cos が混ざった式を, sin だけやcosだけの式で表す公式です。

 

三角関数の合成公式
 \(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

    \(a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\)

    \(a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\theta-\alpha)\)

ただし, \(\alpha\)は\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

 

 

三角関数の合成の使い方

角関数の合成の使い方
 
三角関数の合成をどのように使っていくのか例題を解きながら確認していきましょう。

 

まずこのような問題が出ます。

例題\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\)を,\(r\sin (\theta+\alpha)\)の形に变形せよ.
ただし, \(r>0,-\pi<\alpha<\pi\) とする.


解説

三角関数の合成は、斜辺の長さと中心角?(原点の周りを反時計回りに描く角)が分かれば解決です。

まず\(x\)座標が\(\sqrt{3}\)、\(y\)座標が\(1\)の三角形を描きます。

三角関数の合成の使い方

すると斜辺\(r\)の長さは三平方の定理より、

\(r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=2\)

となります。

これは中心角の大きさが\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)の三角形です。

三角関数の合成の使い方

 

三角形の斜辺の長さと中心角の大きさが分かりました。

\(\displaystyle \sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=2 \sin (\theta + \frac{\pi}{6})\)

 

これで三角関数の合成は完了です!

意外と簡単なんだね!

 

三角関数の合成 証明

三角関数の合成 証明

三角開数の合成公式の証明は加法定理を使っていきます。

三角関数の合成 sin編

三角関数の合成 sin編

上の図より、以下のことがいえる。

\(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

\(\displaystyle \sin α=\frac{b}{r} \Leftrightarrow b=r\sin α\)

\(\displaystyle \cos α=\frac{a}{r} \Leftrightarrow a=r\cos α\)

ここで

\(a \sin \theta + b \cos \theta\)

\(=r\cos α \sin \theta +r\sin α \cos \theta\)

\(=r(\sin \theta \cos α +\cos \theta \sin α)\)

\(=r\sin (\theta + α)\)

\(=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin (\theta + α)\)

よって、証明終了。

 

三角関数の合成 cos編

 

つぎはcosの形をした合成の証明をしていきます。

基本はsinの形に合成することがほとんどですが、cosの形にも変形できると考え方の幅が広がります。

\(a \sin \theta + b \cos \theta\)

sinの時は、\(\sin \theta\)の係数\(a\)を\(x\)座標,\(\cos \theta\)の係数\(b\)を\(y\)座標にしたのに対して、

cosの時は、逆にします。要するにこんな感じ!

それによって、

\(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)\(\displaystyle \sin α=\frac{a}{r} \Leftrightarrow a=r\sin α\)

\(\displaystyle \cos α=\frac{b}{r} \Leftrightarrow b=r\cos α\)

ここで

\(a \sin \theta + b \cos \theta\)

\(=r\sin α \sin \theta +r\cos α \cos \theta\)

\(=r(\cos \theta \cos α +\sin \theta \sin α )\)

\(=r\cos (\theta - α)\)

\(=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos (\theta - α)\)

よって、証明終了。

 

三角関数の合成<練習問題>

三角関数の合成<練習問題>
 

練習問題次の式を,\(r\sin (\theta+\alpha)\)の形に变形せよ.
ただし, \(r>0,-\pi<\alpha<\pi\) とする.
(1) \(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta\)
(2) \(\sin \theta-\cos \theta\)

解説

(1)\(\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta\)

\(\displaystyle =\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta)\)

\(\displaystyle =2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta)\)

\(\displaystyle =2(\sin \theta \cos \frac{\pi}{6}+\cos \theta \sin \frac{\pi}{6})\)

\(\displaystyle =2 \sin(\theta+\frac{\pi}{6})\)

 

(2)\(\sin \theta-\cos \theta\)

\(\displaystyle =\sqrt{1^{2}+1^{2}}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) \)

\(\displaystyle =\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) \)

\(\displaystyle =\sqrt{2}(\sin \theta \frac{1}{\sqrt{2}}-\cos \theta \frac{1}{\sqrt{2}}) \)

\(\displaystyle =\sqrt{2}(\sin \theta \cos \frac{\pi}{4}-\cos \theta \sin \frac{\pi}{4}) \)

\(\displaystyle =\sqrt{2} \sin (\theta-\frac{\pi}{4})\)

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おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から三角関数の合成についてまとめました。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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