三角関数の合成公式と証明!sin・cosの合成を徹底解説!

三角関数の合成公式と証明!sin・cosの合成を徹底解説!

「三角関数の合成がよく分からない」
「何を表してるの?」
今回は三角関数の合成に関する悩みを解決します。

高校生
三角関数の合成が分かりません

 

以下が今回解説する三角関数の合成公式です。

sinの合成公式

\(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\]

ただし, \(\alpha\)は\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

三角関数の合成って難しそうに見えますよね。

実はそんなことないよ!
シータ

 

公式の見た目は複雑ですが、証明や使い方は他と比べてもシンプルです。

ただ、入試でも使う重要な公式なので確実に抑えておきましょう。

 

本記事では三角関数の合成公式について解説しました。

図を用いて解説しているので、ぜひ最後までご覧ください。

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\(\sin\)の合成公式

まずは\(\sin\)の合成公式から解説します。

sinの合成公式

\(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\]

ただし, \(\alpha\)は\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

 

\(\sin \theta+\cos \theta\)を\(\sin\)で合成するときは以下の三角形を描きます。

sinの合成公式

ポイント

\(\sin \theta\)の係数⇒ 1

\(\cos \theta\)の係数⇒ 1

この場合は、(1,1)に点を打ちましょう。

したがって、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \theta+\cos \theta&=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\\
&=&\sqrt{2}\sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)
\end{eqnarray}

となります。

座標平面上に点を取って、三角形をイメージすると解きやすくなります。

高校生
分かったような分からないような...
使い方の解説もしているからぜひ読んでみて。
シータ

\(\cos\)の合成公式

次は\(\cos\)の合成公式を紹介します。

cosの合成公式

\(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos (\theta-\beta)\]

ただし, \(\beta\)は\(\displaystyle \sin \beta=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \beta=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

\(\sin \theta+\cos \theta\)を\(\cos\)で合成すると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin \theta+\cos \theta&=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}\cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)\\
&=&\sqrt{2}\cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)
\end{eqnarray}

\(\sin\)の合成と異なり、かっこの中身がマイナスなので注意しましょう。

合成公式の証明

合成公式の証明には加法定理を使います。

・三角関数の合成\(\sin\)

三角関数の合成 sin編

上図から以下のことがいえます。

\[r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]

\[\displaystyle \sin α=\frac{b}{r} \Leftrightarrow b=r\sin α\]

\[\displaystyle \cos α=\frac{a}{r} \Leftrightarrow a=r\cos α\]

ここで

\begin{eqnarray}
a \sin \theta + b \cos \theta&=&r\cos \alpha \sin \theta +r\sin \alpha \cos \theta\\
&=&r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha)\\
&=&r\sin (\theta + \alpha)\\
&=&\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin (\theta + \alpha)
\end{eqnarray}

 

よって、証明終了。

 

・三角関数の合成\(\cos\)

次は\(\cos\)の形をした合成の証明をします。

三角関数の合成は\(\sin\)の形にすることがほとんどですが、\(\cos\)の形にも変形できると考え方の幅が広がります。

 

\(a \sin \theta + b \cos \theta\)を用いて証明します。

\(\cos\)で合成するときは、点\(P(b,a)\)とします。

それによって、

\[r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\]

\[\displaystyle \sin α=\frac{a}{r} \Leftrightarrow a=r\sin α\]

\[\displaystyle \cos α=\frac{b}{r} \Leftrightarrow b=r\cos α\]

ここで、

\begin{eqnarray}
a \sin \theta + b \cos \theta&=&r\sin \alpha \sin \theta +r\cos \alpha \cos \theta\\
&=&r(\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha )\\
&=&r\cos (\theta - \alpha)\\
&=&\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos (\theta - \alpha)
\end{eqnarray}

よって、証明終了。

高校生
式変形して加法定理の形にしたんですね!

合成公式の使い方

三角関数の合成をどのように使うのか確認しましょう。

例題

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\)を,\(r\sin (\theta+\alpha)\)の形に变形せよ。

ただし, \(r>0,-\pi<\alpha<\pi\) とする.

そして、合成する際の主な手順はこちら

合成の手順

  1. 座標平面上に三角形を描く
  2. 三平方の定理で斜辺を求める
  3. 偏角を求める
  4. 合成公式に代入して完成

それでは具体的に求めてみましょう。

解説

三角関数の合成をするために、斜辺と偏角を求めます。

\(\sqrt{3}\sin \theta+\cos \theta\)の合成なので、

\(x\)座標が\(\sqrt{3}\)、\(y\)座標が\(1\)の三角形を描きましょう。

三角関数の合成の使い方

すると、斜辺\(r\)の長さは三平方の定理より、

\[r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=2\]

これは偏角の大きさが\(\displaystyle \frac{\pi}{6}\)の三角形です。

三角関数の合成の使い方

 

三角形の斜辺の長さと偏角が分かりました。

したがって、

\[\displaystyle \sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=2 \sin (\theta + \frac{\pi}{6})\]

 

これで三角関数の合成ができました。

高校生
思ったよりも簡単でした!
与えられた式から図が書ければ簡単だね
シータ

三角関数の合成《練習問題》

三角関数の合成に挑戦してみましょう。

練習問題

次の式を,\(r\sin (\theta+\alpha)\)の形に变形せよ。ただし, \(r>0,-\pi<\alpha<\pi\) とする。

(1) \(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta\)

(2) \(\sin \theta-\cos \theta\)

シータ
実際に手を動かして考えてみよう!

練習問題1の解説

\(\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta\)の合成を考えます。

まず、座標平面上に三角形を書きましょう。

練習問題1

三平方の定理より、

\begin{eqnarray}
r&=&\sqrt{1^{2}+\sqrt{3}^{2}}\\
&=&2
\end{eqnarray}

図から偏角は\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)だと分かるので

\[\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta=2 \sin(\theta+\frac{\pi}{3})\]

練習問題2の解説

\(\sin \theta-\cos \theta\)の合成を考えます。

まず、座標平面上に三角形を書きましょう。

練習問題2

三平方の定理より、

\begin{eqnarray}
r&=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}\\
&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray}

図から偏角は\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\)だと分かるので

\[\sin \theta - \cos \theta=\sqrt{2} \sin(\theta-\frac{\pi}{4})\]

三角関数の合成 まとめ

今回は三角関数の合成についてまとめました。

三角関数の合成

基本は\(\sin\)の合成公式を用いる。

sinの合成公式

\(a\)と\(b\)のいずれかが\(0\)でないとき

\[a \sin \theta+b \cos \theta=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (\theta+\alpha)\]

ただし, \(\alpha\)は\(\displaystyle \sin \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\cos \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\) を满たす角度とする。

合成の手順

  1. 座標平面上に三角形を描く
  2. 三平方の定理で斜辺を求める
  3. 偏角を求める
  4. 合成公式に代入して完成

三角関数の合成には加法定理が使われていましたね。

今回は合成公式について解説しましたが、三角関数には重要な公式がたくさんあります。

三角関数の重要ポイントはこちらの記事でまとめました。

三角関数まとめ
三角関数のまとめ【完全攻略】

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