数学ⅠA 高校数学

図形と計量まとめ【完全攻略】

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図形と計量まとめ【完全攻略】
 

  • 三角比が苦手
  • 図形の総復習がしたい

 

今回はこんな方の悩みを全部解決します。

好きと計量に関する基礎が詰まった「完全攻略」記事を書きました。

 

図形は共通テストにも出題されます

高校数学で習う図形と計量の単元をまとめたので、自分に必要な部分だけ読んでいただければ十分です。

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
数学講師歴5年
教えてきた生徒の数100人以上
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三角比

三角形の辺とその間の角を活用するといろいろな値を求めることができます。

三角比の定義

三角比の公式は覚えないと手も足も出ません。

三角比の定義

  • \(sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
  • \(cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
  • \(tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)

このように表される三角比の関数のことを、三角関数といいます。

三角関数の公式(sin,cos,tan)と覚え方

三角比の相互関係

三角関数の相互関係は必ず押さえておきたい重要な公式です。

三角形の相互関係\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

 

三角関数の相互関係を用いれば、sin,cos,tanのどれか1つが分かれば、他のすべて求めることができます。

三角関数の相互関係<必ず覚えたい重要公式3つ!>

三角比の拡張

三角比の拡張
 

\(sin(\theta+\pi)\)などの変換をまとめました。

    ~\(-\theta\)の公式~

  • \(\sin (-\theta)=-\sin \theta\)
  • \(\cos (-\theta)=\cos \theta\)
  • \(\tan (-\theta)=-\tan \theta\)
    ~\(\displaystyle \theta+\frac{\pi}{2}\)の公式~

  • \(\displaystyle \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta\)
  • \(\displaystyle \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin \theta \)
  • \(\displaystyle \tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta}\)
    ~\( \theta+\pi \)の公式 ~

  • \(\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta \)
  • \(\cos (\theta+\pi)=-\cos \theta \)
  • \(\tan (\theta+\pi)=\tan \theta\)

 

詳しくは「θ+π/2,θ+π三角関数の公式と導き方

三角比を利用した公式

三角比を利用した公式
 
その他にも三角比を利用した公式がいくつかあるので紹介します。

正弦定理

 

正弦定理は三角形に使う定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

正弦定理

正弦定理△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。

\(\displaystyle \frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C}=2R\)

正弦定理の証明や練習問題はこちら


 

余弦定理

 

余弦定理も三角形に辺や角を求められる定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

余弦定理

余弦定理△ABCにおいて、次が成り立つ。

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)

\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)

余弦定理の証明や練習問題はこちら


 

sinを使った面積公式

 
三角関数を使って三角形の面積を求めることもできるんです。

sin(サイン)を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。

sinを用いた面積公式

sinを用いた面積公式

2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は
\[
\begin{aligned}
S &=\frac{1}{2} b c \sin A \\
&=\frac{1}{2} c a \sin B \\
&=\frac{1}{2} a b \sin C
\end{aligned}
\]

と表すことができる。

sin(サイン)を用いる三角形の面積公式を解説!


 

図形と計量まとめ おわりに

 

今回は好きと計量について「完全攻略」記事としてまとめました。

すこしでも誰かに役に立てていたら幸いです。

 

教科書に内容に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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