三角比まとめ【完全攻略】

三角比記事一覧

「三角比が苦手」
「三角比の総復習がしたい」
今回は三角比に関する悩みを解決します。

高校生
三角比が苦手なんです...

三角比に関する基礎が詰まった「完全攻略」記事を書きました。

本記事では、数学ⅠAの三角比について徹底解説します。

長い記事ですがゆっくり読めば三角比の総復習ができるようになっています。

三角比

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三角比

三角比とは、三角形の各辺の長さを用いた比のことを指します。

ただ、辺の比と言われてもピンとこないので実際に文字で置いて解説していきます。

三角比の公式

三角比は\(sin\)(サイン)や\(cos\)(コサイン)という記号を使って表現します。

"三角比の定義</h3

 

以下の三角比の公式は覚えておかないと、手も足も出ないので必ず覚えてください。

三角比の公式

  • \(sin \theta =\displaystyle \frac{y}{r}\)
  • \(cos \theta =\displaystyle \frac{x}{r}\)
  • \(tan \theta =\displaystyle \frac{y}{x}\)

 

三角関数では中心角を\(360^\circ\)ではなく、\(2\pi\)と表します。

この表し方は弧度法といい、弧度法とは?弧度法の変換や面積公式すべて解説!で解説しています。

したがって、\(180^\circ=\pi\)、\(60^\circ=\displaystyle \frac{\pi}{3}\)のようになります。

 

まだピンと来ていないと思うので、実際に数字を代入してみます。

三角比

三角比

三角比

 

このように、斜辺の長さ、\(x\)座標、\(y\)座標が分かっていれば三角関数を表すことができます。

また、\(90^\circ\)を超える場合も、三角形をイメージすることで三角関数を求めることができます。

三角関数の公式

sin,cos,tanの覚え方を解説しました。
三角比の公式(sin,cos,tan)と覚え方

三角比の相互関係

三角比の相互関係は重要な公式です。

三角比の相互関係

\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

三角比の相互関係を用いれば、sin,cos,tanのどれか1つが分かれば、他のすべて求めることができます。

 

三角比の相互関係は必ず覚えよう!

三角関数の相互関係<必ず覚えたい重要公式3つ!>

三角比の拡張

\(sin(\theta+\pi)\)など三角関数の拡張公式をまとめました。

\(-\theta\)の公式

\(-\theta\)の公式は以下のようになります。

三角関数の拡張

ポイント

  • \(\sin (-\theta)=-\sin \theta\)
  • \(\cos (-\theta)=\cos \theta\)
  • \(\tan (-\theta)=-\tan \theta\)

符号の入れ替わりに注意してください。

 

\(\displaystyle \theta+\frac{\pi}{2}\)の公式

\(\theta\)に対して\(\displaystyle \frac{\pi}{2}=90°\)を加えると、以下のように変換することができます。

三角関数の拡張

ポイント

  • \(\displaystyle \sin (\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta\)
  • \(\displaystyle \cos (\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin \theta \)
  • \(\displaystyle \tan (\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan \theta}\)

\(\theta+\pi\)の公式

\(\theta\)に対して\(\pi=180°\)を加えると、以下のように変換することができます。

三角関数の拡張

ポイント

  • \(\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta \)
  • \(\cos (\theta+\pi)=-\cos \theta \)
  • \(\tan (\theta+\pi)=\tan \theta\)

詳しくは「θ+π/2,θ+π三角関数の公式と導き方

三角比を利用した公式

三角比を利用した公式がいくつかあるので紹介します。

正弦定理

正弦定理は三角形に使う定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

正弦定理

正弦定理△ABCの外接円の半径をRとすると、次が成り立つ。

\(\displaystyle \frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C}=2R\)

正弦定理の使い方と証明はこちら
正弦定理の公式と証明を5分でサクッと解説!

余弦定理

余弦定理も三角形に辺や角を求める定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

余弦定理

余弦定理△ABCにおいて、次が成り立つ。

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)

\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)

余弦定理の使い方と証明はこちら
余弦定理をサクッと解説!

sinを使った面積公式

三角関数を使って三角形の面積を求めることもできるんです。

sin(サイン)を用いた面積公式は三角形の2辺とその間の角が分かってるときに使うことができます。

sinを用いた面積公式

sinを用いた面積公式

2辺の長さ a, b とその間の角 A の三角形の面積は
\[
\begin{aligned}
S &=\frac{1}{2} b c \sin A \\
&=\frac{1}{2} c a \sin B \\
&=\frac{1}{2} a b \sin C
\end{aligned}
\]

と表すことができる。

sin(サイン)を用いる三角形の面積公式を解説!

sin(サイン)を用いる三角形の面積公式を解説!

  「三角関数から三角形の面積が求め ...

続きを見る

三角比まとめ おわりに

今回は三角比についての完全攻略記事としてまとめました。

三角比に関する記事を網羅的にまとめましたが、詳しいポイントは各単元の記事で解説しています。

そちらもぜひ参考にしてください。

三角比

三角関数以外の単元についてもまとめ記事を出しています。

教科書に内容に沿った解説記事を挙げているので、定期試験前に確認してください。

 

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それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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