場合の数と確率

順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方


「順列と組み合わせの意味が分からない」
「順列と組み合わせの見分け方を教えて」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
順列と組み合わせの使い分けがよく分からないんだよ...

 

さっそくですが1つ質問をします。

ここに「1」「2」「3」「4」「5」と書かれたカードがあります。

5枚のカード

この5枚のカードをつかって2種類の問題を用意しました。

問1 5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?

問2 5枚の中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?

この2つの問題の違いが分かりますか?

いまあげた2つの問題は同じ問題に見えますが解き方が違うのです。

➀の問題は\(_{5}P_{2}\)の順列の問題です。

➁の問題は\(_{5}C_{2}\)の組み合わせの問題です。

 

本記事では順列と組み合わせの違いと、見分け方を解説します。

記事の内容

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

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順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違い

では、さっそく順列と組み合わせの違いを解説していきます。

順列とは

まずは順列の定義から確認します。

順列
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方

 

順列とはあるものの中からいくつかを取り出して並べる作業です。

冒頭の①の問題では、5枚のなかから2枚のカードを取り出して2ケタの数字を作ります。

➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?

この問題の場合、「1」「2」「3」「4」「5」と書かれた5枚の異なるカードがあり、この中の2枚のカードを取り出します。

 

たとえば、「1」と「3」のカードを取り出す場合「1」「3」の順番でカードを置くと「13」

「3」「1」の順番でカードを置くと「31」

つまり、5枚のカードから2枚のカードを取り出して並べるということです。

 

このとき重要なことは、「13」と「31」は異なるものとして扱うということです。
したがって、この2つの置き方は2通りとして数えます。

 

このように、全体からいくつかを取り出して並べるものを順列といいます。

順列の使い方についてもっと知りたい方は別の記事で解説しています。
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組み合わせとは

つぎは組み合わせについて説明します。

組み合わせ
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ

 

順列が並べる作業なのに対して、組み合わせは組をつくる作業です。

始めの問題を思い出してみると、

➁ この5枚のカードの中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?

 

5枚のカードの中から2枚のカードの選び方は何通りあるか求めます。

 

この場合、順列と大きく違うのは

「1」「3」を選んだ時と、「3」「1」を選んだ時は同じものとして扱うということです。

トランプを想像してみてください。

1,3のカードを持っているのと、3,1のカードを持っているのは同じですよね。

そうです、それが組み合わせなのです。

組み合わせについてもっと知りたい方はこちらの記事で解説しています。

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順列と組み合わせの簡単な見分け方

順列と組み合わせの簡単な見分け方
では、順列と組み合わせの簡単な見分け方を紹介します。

 

見分け方の1つは、問題文のなかで"並べていたら"順列、"選んでいたら"組み合わせです。

 

問題文のなかに、並べるというワードがあれば順列です。

順列の問題

A~Eさんの5人の並び方は何通り?
AさんとBさんが隣り合う並び方は何通り?

一方で、選ぶというワードがあれば組み合わせです。

組み合わせの問題

男の子4人、女の子2人の中から3人選びます。

3人の選び方は何通り?
女の子を少なくとも1人選ぶ選び方は何通り?

見分け方の2つ目は、並べ方次第で別のものとみなすなら順列、同じものとして扱うなら組み合わせです。

先ほど例でいうと、「1」「3」の組と「3」「1」の組を別とするかどうかということですね。

 

この2つさえ押さえておけば、ほとんどの問題は見分けられます。

順列と組み合わせの見分け方

  • "並べる"ときは順列、"選ぶ"ときは組み合わせ
  • 順番を気にしないときは組み合わせ

難関大学になると順列と組み合わせの合わせ技も出てきますが、それはまた練習を積んでからの問題です。

まずは、この見分け方を使いこなせるように練習していきましょう。

順列と組み合わせの違い まとめ

今回は数学Aの順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方についてまとめました。

順列
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
組み合わせ
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ

順列と組み合わせは、"並べる"と"選ぶ"に大きな違いがあります。

並べるときは順列のPをつかって、組み合わせのときはCをつかって場合の数を求めます。

 

順列と組み合わせの見分け方も簡単なので、ぜひ活用してください。

  • "並べる"ときは順列、"選ぶ"ときは組み合わせ
  • 順番を気にしないときは組み合わせ

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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