
・順列と組み合わせの見分け方を教えて
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
ここに「1」「2」「3」「4」「5」と書かれたカードがあったとします。
この5枚のカードをつかって2種類の問題を用意しました。
➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?
➁ この5枚のカードの中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?
この問題の違いが分かりますか?
この2問は似た問題に見えますが、解き方が違うのです。
➀の問題は\(_{5}P_{2}\)の順列の問題です。
➁の問題は\(_{5}C_{2}\)の組み合わせの問題です。
今回は順列と組み合わせの違いと、その"簡単"な見分け方を伝えていきたいと思います。
・順列と組み合わせの違い
・順列と組み合わせの見分け方
順列と組み合わせの違い
では、さっそく順列と組み合わせの違いを解説していきます。
順列とは
まず順列とはなにかから説明していくと、
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
つまり、順列とはあるものの中からいくつかを取り出して並べる作業です。
冒頭の問題を思い出してみてください。
➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?
この問題の場合、
まず前提として、「1」「2」「3」「4」「5」と書かれた5枚の異なるカードがあります。
そして、その中の2枚のカードを使って2ケタの数字を作るという。
たとえば、「1」と「3」を取り出すとき
「1」「3」この順番で置くと、13
「3」「1」この順番で置くと、31
これは言い換えると、5枚のカードから2枚のカードを取り出して並べてくださいと言っているのです。
見て分かるように、「1」「3」この順番で置くときと、「3」「1」この順番で置くときでは出来上がる2ケタの数も異なるので、別物として数える必要がある。
このように、全体からいくつかを取り出して並べるものを順列といいます。
組み合わせとは
次は組み合わせについて説明していきます。
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ
順列が並べる作業だったのに対して、組み合わせは組の要素を選ぶ作業なのです。
始めの問題を思い出してみると、
➁ この5枚のカードの中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?
こんな問題でした。
5枚のカードの中から2枚のカードの選び方は何通りあるかを聞いているのです。
この場合、順列と大きく違うのは
「1」「3」を選んだ時と、「3」「1」を選んだ時は同じものとして扱うということです。
想像してみてください、トランプで大富豪でもしていたとしましょう。
1,3のカードを持っているのと、3,1のカードを持っているのは同じですよね。
そうです、それが組み合わせなのです。
順列と組み合わせの簡単な見分け方
では、順列と組み合わせの違いを解説したところで、それらの簡単な見分け方を紹介します。
見分け方の1つ目
問題設定が"並べていたら"順列、"選んでいたら"組み合わせです。
問題文から、その作業を想像したときに机などに並べるのが順列です。
一方で、選んで順番は気にしていなかったら組み合わせです。
見分け方の2つ目
並べ方次第で別のものとみなす場合は順列、同じものとして扱う場合は組み合わせです。
先ほど説明した、「1」「3」と「3」「1」を別とするかどうかということですね。
この2つさえ押さえておけば、ほとんどの問題は見分けられるようになります。
難関大学などになると、一部は順列で、そこから組み合わせを使うなどの合わせ技も出てきますが、それはまた練習を積んでからの問題です。
まずは、この見分け方を使いこなせるように練習していきましょう。
おわりに
今回は数学Aの順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方についてまとめました。
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では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
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