数学ⅠA 高校数学

順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方

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順列Pと組み合わせCの違いと

・順列と組み合わせの違いが分からない
・順列と組み合わせの見分け方を教えて

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

 

ここに「1」「2」「3」「4」「5」と書かれたカードがあったとします。

5枚のカード

この5枚のカードをつかって2種類の問題を用意しました。

 

➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?

➁ この5枚のカードの中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?

 

 

この問題の違いが分かりますか?

この2問は似た問題に見えますが、解き方が違うのです。

 

➀の問題は\(_{5}P_{2}\)の順列の問題です。

➁の問題は\(_{5}C_{2}\)の組み合わせの問題です。

 

今回は順列と組み合わせの違いと、その"簡単"な見分け方を伝えていきたいと思います。

記事の内容
・順列と組み合わせの違い
・順列と組み合わせの見分け方
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順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違い

では、さっそく順列と組み合わせの違いを解説していきます。

 

順列とは

 

まず順列とはなにかから説明していくと、

 

順列
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方

 

つまり、順列とはあるものの中からいくつかを取り出して並べる作業です。

 

冒頭の問題を思い出してみてください。

 

➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、2ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか?

 

 

この問題の場合、

まず前提として、「1」「2」「3」「4」「5」と書かれた5枚の異なるカードがあります。

 

そして、その中の2枚のカードを使って2ケタの数字を作るという。

 

たとえば、「1」と「3」を取り出すとき

「1」「3」この順番で置くと、13

「3」「1」この順番で置くと、31

 

これは言い換えると、5枚のカードから2枚のカードを取り出して並べてくださいと言っているのです。

 

見て分かるように、「1」「3」この順番で置くときと、「3」「1」この順番で置くときでは出来上がる2ケタの数も異なるので、別物として数える必要がある。

 

このように、全体からいくつかを取り出して並べるものを順列といいます。

 

組み合わせとは

 

次は組み合わせについて説明していきます。

 

組み合わせ
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ

 

順列が並べる作業だったのに対して、組み合わせは組の要素を選ぶ作業なのです。

 

始めの問題を思い出してみると、

 

➁ この5枚のカードの中から2枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか?

 

 

こんな問題でした。

5枚のカードの中から2枚のカードの選び方は何通りあるかを聞いているのです。

 

この場合、順列と大きく違うのは

「1」「3」を選んだ時と、「3」「1」を選んだ時は同じものとして扱うということです。

 

想像してみてください、トランプで大富豪でもしていたとしましょう。

1,3のカードを持っているのと、3,1のカードを持っているのは同じですよね。

そうです、それが組み合わせなのです。

 

順列と組み合わせの簡単な見分け方

順列と組み合わせの簡単な見分け方
では、順列と組み合わせの違いを解説したところで、それらの簡単な見分け方を紹介します。

 

見分け方の1つ目

 

問題設定が"並べていたら"順列、"選んでいたら"組み合わせです。

 

問題文から、その作業を想像したときに机などに並べるのが順列です。

一方で、選んで順番は気にしていなかったら組み合わせです。

 

 

見分け方の2つ目

 

並べ方次第で別のものとみなす場合は順列、同じものとして扱う場合は組み合わせです。

 

先ほど説明した、「1」「3」と「3」「1」を別とするかどうかということですね。

 

 

この2つさえ押さえておけば、ほとんどの問題は見分けられるようになります。

難関大学などになると、一部は順列で、そこから組み合わせを使うなどの合わせ技も出てきますが、それはまた練習を積んでからの問題です。

まずは、この見分け方を使いこなせるように練習していきましょう。

 

 

おわりに

 

今回は数学Aの順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方についてまとめました。

 

教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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