「順列と組み合わせの意味が分からない」
「順列と組み合わせの見分け方を教えて」
今回はこんな悩みを解決します。
さっそくですが1つ質問をします。
ここに「1」「2」「3」「4」「5」と書かれたカードがあります。
この5枚のカードをつかって2種類の問題を用意しました。
➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、２ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
➁ この５枚のカードの中から２枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか？
この問題の違いが分かりますか？
いまあげた2つの問題は同じ問題に見えますが解き方が違うのです。
➀の問題は\(_{5}P_{2}\)の順列の問題です。
➁の問題は\(_{5}C_{2}\)の組み合わせの問題です。
今回は順列と組み合わせの違いと、"簡単"な見分け方を徹底解説します。
・順列と組み合わせの違い
・順列と組み合わせの見分け方
ライター紹介
国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中
順列と組み合わせの違い
では、さっそく順列と組み合わせの違いを解説していきます。
順列とは
まずは順列の定義から確認します。
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
順列とはあるものの中からいくつかを取り出して並べる作業です。
冒頭の①の問題では、5枚のなかから2枚のカードを取り出して2ケタの数字を作ります。
➀ この5枚の中から2枚のカードを使って、２ケタの数字を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
この問題の場合、「1」「2」「3」「4」「5」と書かれた５枚の異なるカードがあり、この中の２枚のカードを取り出します。
「3」「1」の順番でカードを置くと「31」
つまり、５枚のカードから２枚のカードを取り出して並べるということです。
このとき重要なことは、「1」「3」の順番でカードを置いた「13」と、「3」「1」の順番でカードを置いた「31」は異なるものとして扱うということです。
したがって、この2つの置き方は2通りとして数えます。
このように、全体からいくつかを取り出して並べるものを順列といいます。
順列の使い方についてもっと知りたい方は別の記事で解説しています。
⇨順列Pの公式と使い方を5分でサクッと解説！
組み合わせとは
つぎは組み合わせについて説明します。
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ
順列が並べる作業なのに対して、組み合わせは組をつくる作業です。
始めの問題を思い出してみると、
➁ この５枚のカードの中から２枚のカードを選んでペアを作るとき、選び方は何通りありますか？
５枚のカードの中から２枚のカードの選び方は何通りあるか求めます。
この場合、順列と大きく違うのは
「1」「3」を選んだ時と、「3」「1」を選んだ時は同じものとして扱うということです。
トランプを想像してみてください。
1,3のカードを持っているのと、3,1のカードを持っているのは同じですよね。
そうです、それが組み合わせなのです。
組み合わせについてもっと知りたい方はこちらの記事で解説しています。
順列と組み合わせの簡単な見分け方
では、順列と組み合わせの簡単な見分け方を紹介します。
見分け方の１つは、問題文のなかで"並べていたら"順列、"選んでいたら"組み合わせです。
問題文のなかに、並べるというワードがあれば順列です。
順列の問題
A~Eさんの5人の並び方は何通り？
AさんとBさんが隣り合う並び方は何通り？
一方で、選ぶというワードがあれば組み合わせです。
組み合わせの問題
男の子4人、女の子2人の中から3人の選びます。
3人の選び方は何通り？
女の子を少なくとも1人選ぶ選び方は何通り？
見分け方の２つ目は、並べ方次第で別のものとみなす場合は順列、同じものとして扱う場合は組み合わせです。
先ほど説明した、「1」「3」と「3」「1」を別とするかどうかということですね。
この２つさえ押さえておけば、ほとんどの問題は見分けられます。
順列と組み合わせの見分け方
- "並べる"ときは順列、"選ぶ"ときは組み合わせ
- 順番を気にしないときは組み合わせ
難関大学になると順列と組み合わせの合わせ技も出てきますが、それはまた練習を積んでからの問題です。
まずは、この見分け方を使いこなせるように練習していきましょう。
順列と組み合わせの違い まとめ
今回は数学Aの順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方についてまとめました。
- 順列
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
- 組み合わせ
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ
順列と組み合わせは、"並べる"と"選ぶ"に大きな違いがあります。
並べるときは順列のPをつかって、組み合わせのときはCをつかって場合の数を求めます。
順列と組み合わせの見分け方も簡単なので、ぜひ活用してください。
- "並べる"ときは順列、"選ぶ"ときは組み合わせ
- 順番を気にしないときは組み合わせ
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
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