数学ⅠA 高校数学

重複順列とは?重複順列の公式と使い方

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重複順列とは?重複順列の公式と使い方
 

・重複順列って何?
・順列との違いは?

 

今回はこんな生徒さんに向けて、重複順列の公式と使い方についてまとめていきたいと思います。

「重複順列」これなんて読むんですか?
それを「ちょうふくじゅんれつ」と読むんだよ!

 

順列を習い、組み合わせが登場して、そこに重複順列まで出てきて困っている人多いですよね。

 

今回は重複順列の公式と使い方を伝えていきます。

記事の内容
・重複順列とは?
・重複順列の公式と使い方
・重複順列の見分け方
・重複順列<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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重複順列とは?

重複順列とは?

重複順列とはどういったものなのか説明していきます。

重複順列とは

重複が許された順列のことです!!

それは言われなくてもそんな気がしてました

「重複が許された」というのは、

同じものを使って良いということです。

 

順列との一番の違いはここです!

 

つぎに重複順列の公式と使い方を確認していきましょう。

 

 

重複順列の公式と使い方

重複順列の公式と使い方
 

異なる\(n\)種類のものから、重複を許して\(r\)個取り出して並べる順列を、\(n\)個から\(r\)個取る重複順列という。

重複順列では、\(r \leq n\)とは限らず、\(r \gt n\)であってもよい。

\(n\)個から\(r\)個取る重複順列

\(n^{r}\)

 

文字で説明しても分かりづらいと思うので、例題を解いてみます。

例題3個の数字1,2,3を重複を許して並べるとき、3ケタの数字は何通り作れますか。

 

この問題のポイントは

重複を許してというところにあります。

 

パッと見て

順列の問題だから、3の階乗だ!

という気持ちも分からなくはないのですが、

不正解です!

 

3つの数字を重複を許して3ケタの数字を作るので

「111」や「122」のように同じ数字を複数回使うことが許されます。

つまり、並び替えの順列とは別物ということになります。

 

したがって、

百の位に1,2,3の3パターン

十の位に1,2,3の3パターン

一の位に1,2,3の3パターンとなり

\(3\times{3}\times{3}=3^{3}\)

よって27通りの数字が作れることが分かりました。

 

重複順列なのか順列なのかで解答が変わってくるので、そこの見分けはしっかりする必要があります。

つぎに重複順列の見分け方を確認していきます。

 

重複順列の見分け方

重複順列の見分け方
 
では見分け方について確認していきます。

 

やはり、一番の違いは同じものを何度も使ってよいかというところです。

 

頭の中で問題の様子をイメージしたときに、同じものを何度も使って並べていたらそれは重複順列になります。

 

4種類のカードA,J,Q,Kを重複をゆるして左から3枚並べる。

{AJQ},{AJJ},{KKA},{KAQ},{AAA}

これは4個のものを重複を許して、3枚並べているので重複順列となり、\(4^{3}\)通り。

 

一方で、4枚のカードA,J,Q,Kの中から3枚取り出し左から3枚並べる。

{AJQ},{JQK},{AQK},{AJK},{KQJ}

これは4個のものの中から異なる3個を取り出して並べる順列となり、\(_{4}P_{3}\)通り。

 

こんな問題もあります。

例題2色の異なるボールが6個袋に入っている。
この中から好きなボールを少なくとも1個以上取り出すとき、その取り出し方は何通りありますか。

 

この問題も重複順列の問題なんです。

考え方としては、ボールを1つ取り出す時、ボールを2つ取り出すときのように場合分けして和の法則を使っても良いのですが、

視点を少し変えましょう。

 

袋の中の6つのボールに注目します。

この問題は取り出して並べるわけではないので、取り出された順番は気にしなくて良いです。

 

そこで6つのボールに「取り出す」「取り出さない」のシールをつけると考えましょう。

6色の玉
6色の玉

そうすることで、

\(2\times{2}\times{2}\times{2}\times{2}\times{2}=2^{6}=64\)

64通りの取り出し方があることが分かる。

 

ここで油断してはいけません。

 

1個以上取り出すときの取り出し方なので、「すべて取り出さない」場合を引く必要があります。

よって\(64-1=63\)

答えは63通りです。

 

重複順列の見分け方が身についてところで、練習問題に挑戦しよう!

 

重複順列<練習問題>

重複順列<練習問題>

では、練習問題をやっていきましょう!

 

練習問題
1.1枚の硬貨を5回投げるとき、表と裏の出方は何通りあるか。

2.4人でじゃんけんをするとき、4人の出し方は何通りあるか。

 

解答
1.5回とも硬貨の出方は表か裏の2通りである。
 よって表と裏の出方は
 \(2\times{2}\times{2}\times{2}\times{2}=2^{5}=32\)(通り)
 
 
2.じゃんけんの出し方はグー、チョキ、パーの3通りで、それは4人とも同じである。
 したがって、出し方の総数は
 \(3\times{3}\times{3}\times{3}=3^{4}=81\)(通り)

 

おわりに

 

今回は数学Aの重複順列の公式と使い方についてまとめました。

 

教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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