数学ⅠA 高校数学

因数分解の公式

更新日:


【数学Ⅰ】因数分解の公式

・因数分解の公式が覚えられない
・定期試験に向け復習がしたい

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

因数分解の公式ってややこしいですよね。

今回は因数分解の公式についてまとめました。

 

記事の内容
・共通因数のくくり出し
・二次式の因数分解
・たすき掛けの因数分解
・因数分解の工夫
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共通因数のくくり出し

 
まずは因数分解の基礎の基礎!
 

共通因数のくくり出しから紹介します。

共通因数のくくり出し
\(AB+AC=A(B+C)\)

このようにすべての項が同じ因数を持っているとき、それを共通因数といいます。

 

そして共通因数は、かっこの外にくくり出すことができるのです。

因数分解の問題ではまず共通因数のくくり出しが最優先に行われます。

 

実際にやってみるとこんな感じです。

例題
\(3ax^2+6axy\) の因数分解
\(3ax^2+6axy=3ax(x+2y)\)

 

練習問題をつけておきます。

共通因数のくくり出し

二次式の因数分解

 

共通因数のくくり出しをしたあとに、式の因数分解をしていきます。

公式といっても展開の逆でしかないので、展開の公式を覚えるか、因数分解の公式で覚えるかはそれぞれに任せます。

 

因数分解の公式Ⅰ

 

因数分解の公式Ⅰ
1. \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
2. \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
3. \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
4. \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)

 

よく見る因数分解はこれですよね。

2の公式は1の公式の符号をいじって

\(a^2-2ab+b^2=a^2+2a(-b)+(-b)^2=\{a+(-b)\}^2=(a-b)^2\)

こうしただけなので、

マイナスの位置を間違えそうとは心配な人は1の公式だけ覚えておけば良いです。

例題
(1) \(x^2+10x+25=(x+5)^2\)
(2) \(x^2-2x+1=(x-1)^2\)
(3) \(9x^2-4y^2=(3x+2y)(3x-2y)\)

 

では、練習問題やってみましょう。

因数分解の公式Ⅰ

 

因数分解の公式Ⅱ

 

では、つぎは少し難易度が上がります。

 

たすき掛けって知っていますか?

そうそう、クロスにかけてドーンのやつです。

 

公式はこのようになっています。

因数分解の公式Ⅱ
\(acx+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\)
例題
\(3x^2+14x+8\) を因数分解せよ。
\(3x^2+14x+8\)
\(=1\times{3}\times{x}+(1\times{2}+3\times{4})x+2\times{4}\)
\(=(x+4)(3x+2)\)

式にするとこのようになります。

 

慣れてくると直感でかっこ内の数字も分かるようになってくるのですが、はじめはそうはいかないと思います。

そこでたすき掛けのやり方も紹介しておきます。

 

たすき掛けの因数分解

 

さきほどの例題

\(3x^2+14x+8=(x+4)(3x+2)\)

これを使ってたすき掛けのやり方を説明していきます。

 

まず\(x^2\)の係数と一番後ろの定数項に注目します。

 

今回ならば、\(x^2\)の係数が3定数項が8です。

そして、掛けて3になる数の組と掛けて8になる数の組を考えます。

掛けて3になる組
{1,3}、{-1,3}

掛けて8になる組
{1,8}、{2,4}、{-1,-8}、{-2,-8}

 

あとはステップの従っていくだけ。

たすき掛けの説明1

たすき掛けの説明2

たすき掛けの説明3

たすき掛けの説明4

たすき掛けの説明5

たすき掛けの説明6

 

先ほども言ったように慣れてくると、直感で数字の組が分かるようになってきます。

 

それまではたすき掛けで経験値を積んでいきましょう。

では、練習問題です。

たすき掛けの因数分解

 

因数分解の工夫

 

最後にちょっとした応用です。

こんな問題はどうでしょう。

 次の式を因数分解せよ。
\((x+y)^2+2(x+y)-8\)

 

中学校ではこの類の問題を解くときは

\((x+y)\)の部分を\(A\)と置き換えて解きましたが、高校生になったのでそのステップは飛ばしましょう。

\((x+y)^2+2(x+y)-8\)
\(=\{(x+y)+4\}\{(x+y)-2\}\)
\(=(x+y+4)(x+y-2)\)

このようにスマートに解けるようになりたいですね!

練習問題をつけておきます。

因数分解の工夫

因数分解の公式 おわりに

 

今回は数学Ⅰの「因数分解の公式」についてまとめました。

 

こんな感じで教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

 

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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