数学ⅠA 高校数学

隣り合う順列と隣り合わない順列の解き方のポイント!!

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隣り合う順列と隣り合わない順列の解き方のポイント!!

 

隣り合う順列と隣り合わない順列の解き方が分からない

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

順列の問題を解いていると、「隣り合う順列」と「隣り合わない順列」って言葉が出ててきますよね。

この2つは解き方が大きく違うので、しっかり理解しておく必要があります。

そこで今回はこのような問題を解けるようにしていきます。

 

今回の課題男子3人と女子4人を以下のように並べるとき、その並べ方は何通りありますか。
(1) 男子3人が隣り合う
(2) 男子が隣り合わない
(3) 少なくとも2人の男子が隣り合う
(4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

 

記事の内容
・解き方のポイント
・今日の課題
・練習問題

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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解き方のポイント

 

「隣り合う」と「隣り合わない」の解き方のポイントは次の2つである。

1.隣り合うときは、1つの塊として並べる。
2.隣り合わないときは、それ以外を並べた後に、両端または間に入れていく。

 

隣り合うときのポイント

隣り合うときのポイント

1.隣り合うときは、1つの塊として並べる。

隣り合うときの順列は、まずは隣り合うものを1つの塊とみなして並び替えます。

そのあとに、塊の中で並び替えをします。

 

隣り合わないときのポイント

隣り合わないときのポイント

2.隣り合わないときは、それ以外を並べた後に、両端または間に入れていく。

隣り合わないというのは、交互に並べていくイメージです。

まずは隣り合わないもの以外を並べます。

次に並べた列の両端と間に隣り合わないもの入れていく。

 

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今日の課題

 

では、解き方のポイントを使って今日の課題を解いていきましょう。

今回の課題男子3人と女子4人を次のように並べるとき、その並べ方は何通りありますか?
(1) 男子3人が隣り合う
(2) 男子が隣り合わない
(3) 少なくとも2人の男子が隣り合う
(4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

 

(1) 男子3人が隣り合う

男子3人が隣り合う

これは隣り合うときの問題なので、男子3人を1つの塊とみなしましょう。

そうすることで、問題が男子の塊と女子4人の並び替えに変わります。

男子の塊と女子4人の並び方の総数は、
\(5!=5・4・3・2・1=120\)通り

男子3人が隣り合う

次に、男子の塊の中でも並び替えがあるので
\(3!=3・2・1=6\)通り

したがって、男子3人が隣り合う並び方は
\(120\times{6}=720\)
答え 720通り

 

(2) 男子が隣り合わない

今回は隣り合わない問題なので、女子を並び替えて、あとから両端と間に男子を入れていきます。

男子が隣り合わない""

まず女子を並び替えます。
\(4!=4・3・2・1=24\)通り

つぎの男子3人を入れる箇所を選びます。

\(_{5}C_{3}=\displaystyle \frac{5\times{4}\times{3}}{3\times{2}\times{1}=10}\)

男子が隣り合わない

入れる男子の順番を決めます。
\(3!=3・2・1=6\)通り

よって男子が隣り合わない時の並び方の総数は
\(24\times{10}\times{6}=1440\)

答え 1440通り

 

(3) 少なくとも2人の男子が隣り合う

少なくとも2人の男子が隣り合う

「少なくとも2人の男子が隣り合う」の補集合は「男子が隣り合わない」

よって、男子3人と女子4人の並び替えの総数から、「男子が隣り合わない」並び方を引けば「少なくとも2人の男子が隣り合う」並び方が求められる。

男子3人と女子4人の並び替えの総数は
\(7!=7・6・5・4・3・2・1=5040\)通り

(2)で男子が隣り合わない並び方の総数は1440通りと求められているので、
\(5040-1440=3600\)

答え 3600通り

 

(4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

男子3人のうち2人だけが隣り合う
まず女子を並べて、その両端または間に男子2人組と1人を入れていく。

女子の並び方が
\(4!=4・3・2・1=24\)通り

男子3人のうち2人だけが隣り合う
男子3人から2人を並べる
\(_{3}P_{2}=3・2=6\)通り

そして2人組を入れる場所が5か所
男子1人を入れる場所が4か所

したがって、
\(24\times{6}\times{5}\times{4}=2880\)

答え 2880通り

 

練習問題

練習問題

練習問題1男子2人と女子3人が1列に並ぶとき,男子2人が隣り合う並び方は何通りあるか。

解説
男子2人をセットにして、その並び方は2通りである。

また、男子ペアと女子3人で並ぶときの並び方は
\(4!=4・3・2・1=24\)通り

よって、男子2人が隣り合う並び方は
\(2\times{24}=48\)

答え 48通り

練習問題2男子4人と女子3人が1列に並ぶとき,女子A,B,CのうちAとBが隣り合い、BとCが隣り合わない並び方は何通りあるか。

解説

まず男子4人を並べる。
\(4!=4・3・2・1=24\)通り

男子の両端とその間の5か所のうち1か所にAとBを並べていれる。
そのときAB,BAの2つの並び方があるので
\(5\times{2}=10\)通り

最後にBの隣を除く5か所のうちの1か所にCをいれる。

したがって、
\(24\times{10}\times{5}=1200\)

答え 1200通り

おわりに

 

今回は数学Aの順列から、「隣り合う順列」と「隣り合わない順列」とまとめました。

場合の数は、解き方が分かれば点数が取れるところなので、少しでも参考になれば幸いです。
教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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