隣り合う順列と隣り合わない順列の解き方のポイント!!

隣り合う順列と隣り合わない順列

今回解決する悩み

「隣り合うってどういうこと?」
「隣り合わない順列の解き方が分からない」

 

順列の問題を解いていると、「隣り合う順列」と「隣り合わない順列」という言葉が出ててきますよね。

この2つは解き方が大きく違うので、しっかり理解しておく必要があります。

 

そこで今回はこのような問題を解けるようにしていきます。

本日の課題男子3人と女子4人を以下のように並べるとき、その並べ方は何通りありますか。
(1) 男子3人が隣り合う
(2) 男子が隣り合わない
(3) 少なくとも2人の男子が隣り合う
(4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

 

本記事では、隣り合う順列と隣り合わない順列の解き方を解説します。

記事の内容

    隣り合うときのポイント

    隣り合うときのポイント

    隣り合うときのポイントは、隣り合うものを1つの塊として並べることです

    隣り合うときの順列は、まずは隣り合うものを1つの塊とみなして並び替えます。

    そのあとに、塊の中で並び替えをします。

     

    隣り合わないときのポイント

    隣り合わないときのポイント

    隣り合わないときのポイントは、隣り合わせたくないもの以外を並べたあとに、両端もしくは間に隣り合わせたくないものを入れていくことです。

    隣り合わないというのは、交互に並べていくイメージです。

    今日の課題

    では、解き方のポイントを使って今日の課題を解いていきましょう。

    今回の課題男子3人と女子4人を次のように並べるとき、その並べ方は何通りありますか?
    (1) 男子3人が隣り合う
    (2) 男子が隣り合わない
    (3) 少なくとも2人の男子が隣り合う
    (4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

     

    (1) 男子3人が隣り合う

    男子3人が隣り合う

    これは隣り合うときの問題なので、男子3人を1つの塊とみなしましょう。

    そうすることで、問題が男子の塊と女子4人の並び替えに変わります。

    男子の塊と女子4人の並び方の総数は、
    \(5!=5・4・3・2・1=120\)通り

    男子3人が隣り合う

    次に、男子の塊の中でも並び替えがあるので
    \(3!=3・2・1=6\)通り

    したがって、男子3人が隣り合う並び方は
    \(120\times{6}=720\)
    答え 720通り

     

    (2) 男子が隣り合わない

    今回は隣り合わない問題なので、女子を並び替えて、あとから両端と間に男子を入れていきます。

    男子が隣り合わない""

    まず女子を並び替えます。
    \(4!=4・3・2・1=24\)通り

    つぎの男子3人を入れる箇所を選びます。

    \(_{5}C_{3}=\displaystyle \frac{5\times{4}\times{3}}{3\times{2}\times{1}=10}\)

    男子が隣り合わない

    入れる男子の順番を決めます。
    \(3!=3・2・1=6\)通り

    よって男子が隣り合わない時の並び方の総数は
    \(24\times{10}\times{6}=1440\)

    答え 1440通り

     

    (3) 少なくとも2人の男子が隣り合う

    少なくとも2人の男子が隣り合う

    「少なくとも2人の男子が隣り合う」の補集合は「男子が隣り合わない」

    よって、男子3人と女子4人の並び替えの総数から、「男子が隣り合わない」並び方を引けば「少なくとも2人の男子が隣り合う」並び方が求められる。

    男子3人と女子4人の並び替えの総数は
    \(7!=7・6・5・4・3・2・1=5040\)通り

    (2)で男子が隣り合わない並び方の総数は1440通りと求められているので、
    \(5040-1440=3600\)

    答え 3600通り

     

    (4) 男子3人のうち2人だけが隣り合う

    男子3人のうち2人だけが隣り合う
    まず女子を並べて、その両端または間に男子2人組と1人を入れていく。

    女子の並び方が
    \(4!=4・3・2・1=24\)通り

    男子3人のうち2人だけが隣り合う
    男子3人から2人を並べる
    \(_{3}P_{2}=3・2=6\)通り

    そして2人組を入れる場所が5か所
    男子1人を入れる場所が4か所

    したがって、
    \(24\times{6}\times{5}\times{4}=2880\)

    答え 2880通り

     

    練習問題

    練習問題

    練習問題1男子2人と女子3人が1列に並ぶとき,男子2人が隣り合う並び方は何通りあるか。

    解説
    男子2人をセットにして、その並び方は2通りである。

    また、男子ペアと女子3人で並ぶときの並び方は
    \(4!=4・3・2・1=24\)通り

    よって、男子2人が隣り合う並び方は
    \(2\times{24}=48\)

    答え 48通り

    練習問題2男子4人と女子3人が1列に並ぶとき,女子A,B,CのうちAとBが隣り合い、BとCが隣り合わない並び方は何通りあるか。

    解説

    まず男子4人を並べる。
    \(4!=4・3・2・1=24\)通り

    男子の両端とその間の5か所のうち1か所にAとBを並べていれる。
    そのときAB,BAの2つの並び方があるので
    \(5\times{2}=10\)通り

    最後にBの隣を除く5か所のうちの1か所にCをいれる。

    したがって、
    \(24\times{10}\times{5}=1200\)

    答え 1200通り

    隣り合う順列 まとめ

    今回は数学Aの順列から、「隣り合う順列」と「隣り合わない順列」とまとめました。

    隣り合う順列は、隣り合うものを1つの塊(セット)として考える。

    隣り合わない順列は、隣り合わせたくないもの以外で並べたあとに、両端もしくは間に隣り合わせたくないものを入れていく。

    では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

     

    みんなの努力が報われますように!

     

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