「組み合わせがよくわからない」
「順列との違いがわからない」
今回はこんな悩みを解決します。
「順列の公式と使い方」で順列の並び方について考えました。
ここでは組み合わせCを用いて選び方を考えます。
さっそくですが1つ問題です。
男の子6人と女の子4人がいます。
この中から3人の委員を選ぶとき、3人の選び方は何通りありますか。
このように異なるもののなかから、いくつかのものを"選ぶ"ときに組み合わせをつかいます。
本記事では、組み合わせの公式とその使い方をサクッと解説します。
・組み合わせの公式
・組み合わせの使い方
・組み合わせの公式<練習問題>
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組み合わせの公式
組み合わせのことばの定義から確認します。
- 組み合わせ
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ
複数のものからいくつかを選んで組をつくるのが組み合わせです。
"組み合わせの数は\(C\)を用いて考えます。
\[\displaystyle _{n}C_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)......(n-r+1)}{r(r-1)(r-2).....1}\]
組み合わせの公式はこのようになり、分母が\(r!\)で分子が\(_{n}P_{r}\)になっています。
5人のなかから3人を選ぶときの組み合わせを求めます。
「5人」のなか「3人」を選ぶので、
\begin{eqnarray}
\displaystyle _{5}C_{3} &=&\frac{5\times{4}\times{3}}{3\times{2}\times{1}}\\
&=&10
\end{eqnarray}
このように考えて、10通りの選び方があることが分かりました。
次の章でもっと具体的に組み合わせの公式の使い方を解説します。
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順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方
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組み合わせの使い方
冒頭の問題で組み合わせの使い方を解説していきましょう。
男の子6人と女の子4人がいます。
このなかから3人の委員を選ぶとき、3人の選び方は何通りありますか。
繰り返しになりますが、組み合わせは複数の中からいくつかのものを"選ぶ"ときに使います。
今回の場合は10人の中から3人を"選ぶ"ので組み合わせの問題だとわかります。
10人から3人を選ぶので、
\(\displaystyle _{10}C_{3}=\frac{10\times{9}\times{8}}{3\times{2}\times{1}}=120\)
したがって、10人から3人の選び方は120通りだと分かりました。
ここで注意しなければいけないことがあります。
組み合わせは"選ぶ"だけの問題なので、順番は気にしません。
なぜなら、1~5までの数字から3つ選ぶとき{1,2,3}と{2,1,3}は順番が違うだけで選び方は同じです。
したがって、組み合わせの問題では順番が異なるものは同じ選び方として考えます。
組み合わせは選び方だから順番は気にしないんだね！
これだけでは、すこし心配なので練習問題を解きましょう。
組み合わせの公式＜練習問題＞
組み合わせの公式をつかって練習問題を解いていきます。
この中から男の子２人、女の子２人を選ぶとき、その選び方は何通りありますか。２．正七角形の７個の頂点のうち、３点を結んで三角形を作るとき、三角形は何個できますか。
１．男の子の選び方は\(_{5}C_{2}\)通り。
それに対して、女の子の選び方が\(_{4}C_{2}\)通りあるので、\(_{5}C_{2}\times{_{4}C_{2}}\)\(\displaystyle =\frac{5\times{4}}{2\times{1}}\times{\frac{4\times{3}}{2\times{1}}}\)\(=60\)したがって60通り。
２．７個の頂点はどの３点も１直線状に集まることがないので、３個の点を選ぶと考えると三角形が１つできる。
したがって三角形の個数は、
\(\displaystyle _{7}C_{3}=\frac{7\times{6}\times{5}}{3\times{2}\times{1}}=35\)
３５個の三角形が作れる。
組み合わせの公式と使い方 まとめ
今回は数学Aの組み合わせの公式と使い方についてサクッとまとめました。
- 組み合わせ
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して作る組み合わせ
組み合わせも慣れればすぐにできるようになるので、たくさん問題に挑戦しましょう！
順列と組み合わせの違いがよく分からない方は「順列と組み合わせの違いと"簡単"な見分け方」にて詳しく解説しています。
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