・学校予習がしたい
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
さっそくですが問題です。
ここに男の子6人と女の子4人がいます。
この中から3人の委員を選ぶとき、3人の選び方は何通りありますか。
今回は組み合わせの公式とその使い方を５分で読めるように解説していきます。
・順列と組み合わせの違い
・順列と組み合わせの見分け方
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
組み合わせの公式
そもそも、組み合わせとは
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して、順序を考えないで1組にしたものを、
n個からr個取る組み合わせという。
また、その総数を\(_{n}C_{r}\)で表す。
\(_{n}C_{r}=\frac{n(n-1)(n-2)......(n-r+1)}{r(r-1)(r-2).....1}\)
組み合わせの公式はこのようになっており、分母が\(r!\)で分子が\(_{n}P_{r}\)になっています。
実際に計算してみると
\(_{5}C_{3}\)
\(=\frac{5\times{4}\times{3}}{3\times{2}\times{1}}\)
\(=10\)
このようになります。
では、具体的にどのように使うのか解説していきます。
組み合わせの使い方
冒頭の問題で組み合わせの使い方を解説していきましょう。
ここに男の子6人と女の子4人がいます。
このなかから3人の委員を選ぶとき、3人の選び方は何通りありますか。
こんな問題でしたね。
組み合わせは複数の中からいくつかのものを"選ぶ"ときに使います。
今回の場合は10人の中から3人を"選んで"いるので組み合わせの問題だとわかります。
10人から3人を選ぶなので\(_{10}C_{3}\)
\(_{10}C_{3}=\frac{10\times{9}\times{8}}{3\times{2}\times{1}}=120\)
したがって120通りだとわかりますね。
上でも言いましたが、組み合わせは"選ぶ"問題です。
なので、{a,b,c}{a,c,b}{b,a,c}この三組のように順番が違うのは同じものとして考えるので注意してさい。
これだけでは、理解できたか心配なので練習問題をやりましょう。
組み合わせ＜練習問題＞
１．男の子５人、女の子４人います。
この中から男の子２人、女の子２人を選ぶとき、その選び方は何通りありますか。
２．正七角形の７個の頂点のうち、３点を結んで三角形を作るとき、三角形は何個できますか。
１．男の子の選び方は\(_{5}C_{2}\)通り。
それに対して、女の子の選び方が\(_{4}C_{2}\)通りあるので、
選び方の総数は
\(_{5}C_{2}\times{_{4}C_{2}}\)
\(=\frac{5\times{4}}{2\times{1}}\times{\frac{4\times{3}}{2\times{1}}}\)
\(=60\)
したがって60通り。
２．７個の頂点はどの３点も１直線状に集まることがないので、３個の点を選ぶと考えると三角形が１つできる。
したがって三角形の個数は、
\(_{7}C_{3}=\frac{7\times{6}\times{5}}{3\times{2}\times{1}}=35\)
３５個の三角形が作れる。
おわりに
今回は数学Aの組み合わせCの公式とその使い方についてまとめました。
教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。
Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。
質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
みんなの努力が報われますように！
