数学ⅠA 高校数学

階乗の計算をサクッと解説!

更新日:

階乗の計算をサクッと解説!

 

・階乗の計算が苦手
・テスト対策がしたい

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

 

順列を習うと

5!

こんなのが出てきます。

計算にビックリマークが出てくるの!?

 

そうなんです。

!これはビックリマークではなく、

エクスクラメーションマーク」といいます。

そして、5!は「5の階乗」と読みます。

今回は階乗の計算について伝えていきたいと思います。

記事の内容
・階乗の計算
・階乗<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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階乗の計算

階乗の計算
階乗の計算について見ていきましょう。

まず階乗とは、1からある数までの連続する自然数の積のことです。
 
1から\(n\)までの連続する\(n\)個の自然数の積を\(n\)の階乗といい、\(n!\)と表します。

なお、0の階乗は1と定められています。

 

階乗の計算方法

\(n!=n(n-1)(n-2)......3・2・1\)
\(0!=1\)

 

文字だとピンとこないです...
そうですよね、実際に計算してみよう!

例題で計算方法を確認していきましょう!

 

5の階乗を計算せよ。

5の階乗(5!)ということは、1から5までの数を掛け算するということです。

つまり

\(5!=5\times{4}\times{3}\times{2}\times{1}=120\)

よって5の階乗は120だと求めることできました。

 

こんな問題もあります。

\(\displaystyle \frac{5!}{3!}\)を計算せよ。

 

これは厄介そうな問題ですが、実際は大したことありません。

\(\displaystyle \frac{5!}{3!}=\displaystyle \frac{5\times{4}\times{3}\times{2}\times{1}}{3\times{2}\times{1}}=5\times{4}=20\)

このようになり、\(\displaystyle \frac{5!}{3!}\)は20である。

 

数字で計算する分には落ち着いて対処すれば問題ないでしょう。

難しい問題になってくると文字の階乗とかも出てくるので、見落としがないように注意しましょう。

 

次は階乗の練習問題を解いていきましょう。

 

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階乗<練習問題>

階乗<練習問題>
階乗を使った練習問題を解いていきましょう。

練習問題
1.4人の生徒全員を1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。
2.男子4人と女子3人が1列に並ぶとき、女子3人が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。

解答
1.1列を作るとき先頭を誰にするのかで4通り、次に残りの3人の中で2番目を誰にするのか3通り、同様に3番目に2通り、最後尾は残った1通りとなる。
 
よって、4!となるので
\(4!=4\times{3}\times{2}\times{1}=24\)
 
したがって、24通りである。
 
 
2.女子3人をひとまとめにして考える。
男子4人と女子のまとまりの並び方は、5!通りである。
 
また、ひとまとめにした女子3人の並び方も考えなければいけない。
女子3人の並び方は3!通りである。
 
よって、並び方の総数は、積の法則により
\(5!\times{3!}=5\times{4}\times{3}\times{2}\times{1}\times{3}\times{2}\times{1}=720\)

したがって、720通りである。

 

0の階乗が1になる理由 おまけ

0の階乗が1になる理由 おまけ

0!が1になる理由を解説していきます。

0の階乗

\(0!=1\)

 

まず順列の計算方法を思い出してください。

n個の異なるものからr個を取り出して並べる順列の総数を\(_{n}P_{r}\)と書き、積の法則より次のように表しました。

 

n個の異なるものからr個を取り出して並べる順列の総数\(_{n}P_{r}=n(n-1)......(n-r+2)(n-r+1)\)

 

この公式を少し式変形すると、

\(n(n-1)......(n-r+2)(n-r+1)=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}\)

このようになる。

 

つまり
\(_{n}P_{r}=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}\)
 

この式で\(r=n\)としたとき
\(_{n}P_{n}=\displaystyle \frac{n!}{0!}\)
となる。

 

これは「n個の異なるものからn個を取り出して並べる順列の総数」を表す。

n個の異なるものからn個を取り出して並べる順列の総数は\(n!\)なので、

\(\displaystyle \frac{n!}{0!}=n!\)である。

 

したがって、\(0!=1\)であることがわかる。

 

おわりに

 

今回は数学Aの階乗の計算についてまとめました。

 

教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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