「順列の公式ってなんだっけ？」
「順列の使い方がよく分からない」
今回はこんな悩みを解決します。
数学Aでは順列や組み合わせをつかってそれぞれの事象の場合の数を求めます。
そもそも順列の意味が分かっていない方、順列の公式を使いこなせない方が多くいるはずです。
場合の数を求めるには順列をつかいこなせるようにしておきたいです。
ここに4枚のカード「1」「2」「3」「4」があります。
この4枚のカードの中から３枚を使って、３ケタの自然数を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
ここで使いたいのが順列という考え方です。
本記事では、順列の公式とその使い方を5分でサクッと解説します。
・順列の公式
・順列の使い方
・順列＜練習問題＞
ライター紹介
国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中
それでは順列の公式について解説します。
順列の公式
まず順列の定義から確認します。
- 順列
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
"順"番に"列"にするから順列なのです。
順列の総数とは、並べ方のパターンの総数を指しています。
その順列の総数を\(_{n}P_{r}\)と表します。
\(_{n}P_{r}=n(n-1)(n-2).....(n-r+1)\)
計算はかんたんです。
スタートの\(n\)から1ずつ数字を下げて\(r\)個の項の積を求めます。
たとえば、\(_{6}P_{3}\)の場合
\(_{6}P_{3}=6\times{5}\times{4}=120\)
このようにPの左側についている数字から1ずつ数字を下げていき、Pの右側についている個数の項の積を求めます。
次に順列の公式の使い方を解説します。
順列の使い方
順列の公式を確認したので、つぎは順列の公式の使い方を解説します。
冒頭の問題を思い出してください。
ここに4枚のカード「1」「2」「3」「4」があります。
この4枚のカードの中から３枚を使って、３ケタの自然数を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
この問題のポイントは、「3ケタの数字を作る」ではなく「左から3つ数字を並べる」と考えましょう。
そうすると、4枚のカードの中から3枚を取り出して並べる順列の問題だと分かります。
つまり、\(_{4}P_{3}\)を求めればよいわけです。
\(_{4}P_{3}=4\times{3}\times{2}=24\)
したがって、3ケタの数字の作り方は24通りだと分かりました。
このように、いくつかのものを並べるときの並べ方を求めるときに順列は使われます。
順列の公式＜練習問題＞
これで終わってしまうとまだ不安な方もいるでしょう。
もう少し順列の公式をつかって練習しましょう。
練習問題
- ７人から3人選んで1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。
- １０人の生徒から委員長、副委員長、書記を選ぶとき、選び方は何通りありますか。
１．先頭、真ん中、最後尾の３か所に３人を並べればよいので
\(_{7}P_{3}=7\times{6}\times{5}=210\)
A.210通り
２．１０人の中から、委員長、副委員長、書記の３か所に３人を並べるので
\(_{10}P_{3}=10\times{9}\times{8}=720\)
A.720通り
順列の公式と使い方 まとめ
今回は数学Aの順列Pの公式と使い方についてサクッとまとめました。
- 順列
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
順列のはむずかしいものではないので、たくさん問題に挑戦すればきっとできるようになります。
順列と組み合わせの違いがよく分からない方は「順列と組み合わせの違いと"簡単"な見分け方」にて詳しく解説しています。
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