「順列の公式ってなんだっけ？」
「順列の使い方がよく分からない」
今回は順列に関するこんな悩みを解決します。
数学Aでは順列や組み合わせを用いて事象の場合の数を求めます。
順列Pは以下のような問題で活用します。
4枚のカード「1」「2」「3」「4」があります。
この4枚のカードの中から３枚を使って、３ケタの自然数を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
ここで使いたいのが順列という考え方です。
本記事では、順列の公式とその使い方を5分でサクッと解説します。
記事の内容
順列の公式
まず順列の定義から確認します。
- 順列
- 異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
"順"番に"列"にするから順列なのです。
順列の総数とは、並べ方のパターンの総数を指しています。
その順列の総数を\(_{n}P_{r}\)と表します。
\[_{n}P_{r}=n(n-1)(n-2).....(n-r+1)\]
スタートの\(n\)から1ずつ数字を下げて\(r\)個の項の積を求めます。
例えば\(_{6}P_{3}\)の場合
\[_{6}P_{3}=6\times{5}\times{4}=120\]
このようにPの左下の数から1ずつ数字を下げていき、Pの右側についている個数の項の積を求めます。
次に順列の公式の使い方を解説します。
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順列の使い方
順列の公式を確認したので、次は順列の使い方を解説します。
冒頭の問題を思い出してください。
ここに4枚のカード「1」「2」「3」「4」があります。
この4枚のカードの中から３枚を使って、３ケタの自然数を作るとき、全部で何通りの数字を作ることができますか？
この問題のポイントは、「3ケタの数字を作る」ではなく「左から3つ数字を並べる」と考えましょう。
そうすると、4枚のカードの中から3枚を取り出して並べる順列の問題だと分かります。
つまり、\(_{4}P_{3}\)を求めればよいわけです。
\(_{4}P_{3}=4\times{3}\times{2}=24\)
したがって、3ケタの数字の作り方は24通りだと分かりました。
このように、いくつかのものを並べるときの並べ方を求めるときに順列は使われます。
順列の公式＜練習問題＞
これで終わってしまうとまだ不安な方もいるでしょう。
もう少し順列の考えを使って練習しましょう。
練習問題
- ７人から3人選んで1列に並べるとき、並べ方の総数を求めよ。
- １０人の生徒から委員長、副委員長、書記を選ぶとき、選び方は何通りありますか。
１．先頭、真ん中、最後尾の３か所に３人を並べればよいので
\[_{7}P_{3}=7\times{6}\times{5}=210\]
A.210通り
２．１０人の中から、委員長、副委員長、書記の３か所に３人を並べるので
\[_{10}P_{3}=10\times{9}\times{8}=720\]
A.720通り
順列のおすすめ勉強法
場合の数は問題パターンが無限にあるといっても良いです。
順列の問題もサイコロやトランプだけでなく、人の並び方などたくさんの種類の問題があります。
そこで次は順列Pのおすすめ勉強法を紹介します。
- 教科書やノートを見直す
- 問題集で応用力を磨く
- 分かりやすい解説を見る
自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。
教科書やノートを見直す
まずは基本に立ち返って、教科書問題をマスターしましょう。
教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。
公式の確認など基礎から怪しい方はまず教科書の復習をしてみて下さい。
問題集で応用力を磨く
順列の考え方や公式に慣れてきたら、次は応用力を磨きましょう。
- 教科書の例題
- 問題集の基本問題
- 問題集の応用問題
問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。
順列の勉強におすすめの問題集を紹介します。
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分かりやすい解説を見る
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順列の公式と使い方 まとめ
今回は数学Aの順列Pの公式と使い方についてまとめました。
順列 まとめ順列
異なる\(n\)個のものから異なる\(r\)個を取り出して並べるときの並べ方
順列は難しいものではありません。
カードや数字を並べて、その順番によって異なるパターンになるなら順列の問題です。
順列と組み合わせの違いがよく分からない方は「順列と組み合わせの違いと"簡単"な見分け方」にて詳しく解説しています。
場合の数をマスターするには、それぞれの公式や意味を理解する必要があります。
場合の数と確率についてまとめているのでぜひご覧ください。
場合の数と確率を復習したい方はこちらの記事がおすすめです。
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