数学ⅠA 高校数学

場合の数~和の法則・積の法則~

更新日:


  • 場合の数ってなに?
  • 足すのか掛けるのか分からない
  • テストになるとできなくなる

今回はこんな悩みを解決します。

記事の内容としては

記事の内容
・場合の数とは
・樹形図
・和の法則を解説
・積の法則を解説
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場合の数を徹底解説

場合の数を徹底解説

場合の数と確率から「場合の数」についてまとめていきます。

場合の数とは

ある事柄Aが起こる確率を知るためには、

起こりうる事象が全部で何通りで、Aが起こる場合の数は何通りあるのかを知りたい。

 

そこで事象Aが起こるすべての場合をもれなくかつ重複なく数える必要がある。

 

例えば、サイコロの目は1~6までの6通り。

しかし、{1、2、3、4、6}と数え洩れがあったり

{1、2、3、4、5、5、6}と重複して数えてしまうと

正確な場合の数ではなくなってしまいますよね。

 

場合の数を正しく求められないと、

この後の確率でかなり苦戦することになるでしょう。

樹形図

下の図のように道路が通っている町がある。

樹形図""

交差点Oから交差点Hまで最短の行き方は何通りありますか?
 

すべて書き出してみると
樹形図

このようになり

全部で6通りであることが分かります。

これでは少し見づらいので、下の図の様に枝分かれの図でも表せる。

樹形図

これが樹形図です。

例題1
大小2種類のサイコロを投げるとき、目の和が4になる場合は何通りありますか。

<解答>
大小のサイコロの出目を樹形図で書き出していく。

樹形図

サイコロの出目の和が4になるときなので、

大きいサイコロの目が4以上は確かめなくても良い。

よって、(1,3),(2,2),(3,1)の3通りである。

応用例題1
1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が2回出たら賞品がもらえるゲームをする。
ただし、投げられる回数は5回までとして、2回目の表が出たらそこで終了とする。
1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

 

<解答>
これも頭の中で難しく考えるよりも、

実際に樹形図を書いてしまった方が早い。

樹形図

書き出してみるとこのようになり、4通りと分かる。

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和の法則・積の法則

場合の数を数えるときに、足す場合と掛け合わせる場合がありますね。

ここで混乱する方が多いのではないでしょうか?

ここからは和の法則と積の法則について解説していきます。

和の法則

和の法則の定義
2つの事柄AとBの起こり方に重複はないとする。
Aの起こり方がa通りあり、Bの起こり方がb通りあれば、
AまたはBが起こる場合は、a+b通りある。

和の法則の特徴は、2つ事象A,Bが重複しないこと

重複ってなんだよ...

重複しないというのは、同時に起きないということです

例えば、事象Aを「サイコロの1の目が出る」,事象Bを「サイコロの6の目が出る」だとします。

このときサイコロを1回振って、事象AとBは同時には起きませんよね?

1でもあり6でもある目なんてサイコロにはありえませんね。

したがって、事象Aと事象Bは重複しません。

例題2
1個のサイコロを2回投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。目の和が4、8、12になる場合を探していく。

4になるのは、
(1,3),(2,2),(3,1)
の3通り。

8になるのは、
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2)
の5通り。

12になるのは、
(6,6)
の1通り。

よって、和の法則より
\(3+5+1=9\)
A.9通り

積の法則

2種類の飲み物と3種類のケーキからそれぞれ1種類ずつ選ぶ。

飲み物を2種類から選んでからのケーキを3種類から選ぶ。

 

よって、飲み物とケーキのセットは
\(2\times3=6\) すなわち 6通りである。

 

このような「~からの」で繋げられる事象の場合の数を求めるときは、

次の積の法則が成り立つ。

積の法則 
事柄Aの起こり方がa通りあり、そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が
b通りあれば、Aが起こり、そしてBが起こる場合はa×b通りである
例題3
大中小3個のサイコロを投げるとき、すべての目が偶数である場合は何通りあるか。

<解答>
1個のサイコロで偶数の目の出方は3通りある。

 

よって、積の法則により
\(3\times3\times3=27\)
A.27通り

応用例題2
次の数について、正の約数は何個あるか。
(1) 8
(2) 72

<解答>
(1) \(8=2^{3}\)なので、8の約数は\(1,2,2^{2},2^{3}\)である。

  よって4個である。

(2) \(72=2^{3}\times 3^{2}\)なので、72の正の約数は\(2^{3}\)と\(3^{2}\)の約数の積で表される。

  つまり、\(2^{3}\)の約数は(1)より4個。

  \(3^{2}\)の約数は\(1,3,3^{2}\)の3個。

  したがって、積の法則より \(4\times3=12\)

  12個である。

場合の数~和の法則・積の法則~おわりに

今回は数学Aの「場合の数」についてまとめました。

教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

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では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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