場合の数を数えるには？和の法則と積の法則について解説！《場合の数》

こんな方におすすめ

場合の数ってなに？
足すのか掛けるのか分からない

「場合の数を求めるのが苦手なんだよね...」

場合の数の数え方には"和の法則"と"積の法則"の2つの数え方しかありません。

実際には、両方の合わせ技で解く問題もありますが、基本的には"和の法則"と"積の法則"をマスターしておけば問題ないです。

本記事を読めば、場合の数の数え方をしっかりとマスターすることができます。

場合の数にまだ不安がある方は、ぜひ最後まで読んでいってください。

記事の内容
・場合の数とは
・樹形図
・和の法則を解説
・積の法則を解説

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場合の数とは

ある事柄Aが起こる確率を知るためには、起こりうる事象が全部で何通りで、Aが起こる場合の数は何通りあるのかを知る必要があります。

なので、事象Aが起こるすべての場合をもれなく、かつ重複なく数える必要があるのです。

例えば、サイコロの目は１～６までの６通り。

しかし、{１、２、３、４、６}と数え洩れがあったり

{１、２、３、４、５、５、６}と重複して数えてしまうと

正確な場合の数ではなくなってしまいますよね。

場合の数を正しく求められないと、

この後の確率でかなり苦戦することになるでしょう。

樹形図

下の図のように道路が通っている町があるとしましょう。

交差点Oから交差点Hまで最短の行き方は何通りありますか？
すべて書き出してみると

全部で6通りであることが分かります。

これでは少し見づらいので、下の図の様に枝分かれの図でも表すことができます。

これが樹形図です。

例題1
大小２種類のサイコロを投げるとき、目の和が４になる場合は何通りありますか。<解答>
大小のサイコロの出目を樹形図で書き出していく。

サイコロの出目の和が４になるときなので、大きいサイコロの目が4以上は確かめなくても良い。よって、(1,3),(2,2),(3,1)の３通りである。

応用例題1
1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が2回出たら賞品がもらえるゲームをする。
ただし、投げられる回数は5回までとして、2回目の表が出たらそこで終了とする。
1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。<解答>
これも頭の中で難しく考えるよりも、実際に樹形図を書いてしまった方が早い。

書き出してみるとこのようになり、4通りと分かる。

和の法則・積の法則

場合の数を数えるときに、足す場合と掛け合わせる場合がありますね。

ここで混乱する方が多いのではないでしょうか？

ここからは和の法則と積の法則について解説していきます。

和の法則

和の法則の定義
2つの事柄AとBの起こり方に重複はないとする。
Aの起こり方がa通りあり、Bの起こり方がb通りあれば、
AまたはBが起こる場合は、a+b通りある。

和の法則の特徴は、2つ事象A,Bが重複しないこと

シータ

重複ってなんだ...

重複しないというのは、同時に起きないということです

例えば、事象Aを「サイコロの1の目が出る」,事象Bを「サイコロの6の目が出る」だとします。

このときサイコロを1回振って、事象AとBは同時には起きませんよね？

１でもあり6でもある目なんてサイコロにはありえませんね。

したがって、事象Aと事象Bは重複しません。

例題2
1個のサイコロを2回投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。目の和が４、８、１２になる場合を探していく。４になるのは、(1,3),(2,2),(3,1)の3通り。８になるのは、(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2)の5通り。１２になるのは、(6,6)の1通り。よって、和の法則より
\(3+5+1=9\)
A.9通り

積の法則

2種類の飲み物と3種類のケーキからそれぞれ1種類ずつ選ぶ。

飲み物を2種類から選んでからのケーキを3種類から選ぶ。

よって、飲み物とケーキのセットは
\(2 \times 3 = 6\)　すなわち　6通りである。

このような「～からの」で繋げられる事象の場合の数を求めるときは、

次の積の法則が成り立つ。

積の法則　
事柄Aの起こり方がa通りあり、そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が
b通りあれば、Aが起こり、そしてBが起こる場合はa×b通りである

例題3
大中小3個のサイコロを投げるとき、すべての目が偶数である場合は何通りあるか。<解答>
1個のサイコロで偶数の目の出方は3通りある。よって、積の法則により
\(3\times3\times3=27\)
A.２７通り

応用例題2
次の数について、正の約数は何個あるか。
(1)　8
(2)　72<解答>
(1)　\(8=2^{3}\)なので、8の約数は\(1,2,2^{2},2^{3}\)である。よって4個である。(2)　\(72=2^{3}\times 3^{2}\)なので、72の正の約数は\(2^{3}\)と\(3^{2}\)の約数の積で表される。つまり、\(2^{3}\)の約数は(1)より４個。\(3^{2}\)の約数は\(1,3,3^{2}\)の３個。したがって、積の法則より　\(4\times3=12\)

１２個である。