数学ⅠA 高校数学

【数学A】場合の数を徹底解説~和の法則・積の法則~

更新日:


・場合の数が分からない
・確率でつまづいた
・定期試験に向け

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

記事の内容としては

記事の内容
・場合の数とは
・樹形図
・和の法則・積の法則
記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
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場合の数を徹底解説

場合の数を徹底解説

高校数学の1番始めである

第1章 場合の数と確率から
場合の数」について

まとめていきます。

まずは記事を見ていただいた後に

動画でも解説と練習問題の解説しているのでそちらも見ていただけたらと思います。

場合の数とは

ある事柄Aが起こる確率を知るためには、

起こりうる事象が全部で何通りあって、

Aが起こる場合の数は何通りあるのかを知りたい。

 

そこで、事象Aが起こるすべての場合をもれなくかつ重複なく数える必要がある。

 

例えば、サイコロの目は1~6までの6通り。

しかし、{1、2、3、4、6}と数え洩れがあったり

{1、2、3、4、5、5、6}と重複して数えてしまうと

正確な場合の数ではなくなってしまいますよね。

 

場合の数を正しく求められないと、

この後の節で扱う確率でかなり苦戦することになるでしょう。

樹形図

下の図のように道路が通っている町がある。

樹形図""

交差点Oから交差点Hまで最短の行き方は
何通りありますか。

 

すべて書き出してみると
樹形図

このようになり

全部で6通りであることが分かる。

しかし、これでは少し見づらいので

下の図の様に枝分かれしていく図としても表せる。

樹形図

これが樹形図である。

例題1
大小2種類のサイコロを投げるとき、目の和が4になる場合は何通りありますか。

<解答>
大小のサイコロの出目を樹形図で書き出していく。

樹形図

サイコロの出目の和が4になるときなので、

大きいサイコロの目が4以上は確かめなくても良い。

よって、(1,3),(2,2),(3,1)の3通りである。

応用例題1
1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が2回出たら賞品がもらえるゲームをする。
ただし、投げられる回数は5回までとして、2回目の表が出たらそこで終了とする。
1回目に裏が出たとき、賞品がもらえるための表裏の出方の順は何通りあるか。

 

<解答>
これも頭の中で難しく考えるよりも、

実際に樹形図を書いてしまった方が早い。

樹形図

書き出してみるとこのようになり、4通りと分かる。

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和の法則・積の法則

和の法則

和の法則
2つの事柄AとBの起こり方に重複はないとする。
Aの起こり方がa通りあり、Bの起こり方がb通りあれば、
AまたはBが起こる場合は、a+b通りある。
例題2
1個のサイコロを2回投げるとき、目の和が4の倍数になる場合は何通りあるか。目の和が4、8、12になる場合を探していく。

4になるのは、
(1,3),(2,2),(3,1)
の3通り。

8になるのは、
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3)(6,2)
の5通り。

12になるのは、
(6,6)
の1通り。

よって、和の法則より
\(3+5+1=9\)
A.9通り

積の法則

2種類の飲み物と3種類のケーキからそれぞれ1種類ずつ選ぶ。

飲み物を2種類から選んでからの、

ケーキを3種類から選ぶ。

 

よって、飲み物とケーキのセットは
\(2\times3=6\) すなわち 6通りである。

 

このような「~からの」で繋げられる事象の場合の数を求めるときは、

次の積の法則が成り立つ。

積の法則 
事柄Aの起こり方がa通りあり、そのどの場合に対しても事柄Bの起こり方が
b通りあれば、Aが起こり、そしてBが起こる場合はa×b通りである
例題3
大中小3個のサイコロを投げるとき、すべての目が偶数である場合は何通りあるか。

<解答>
1個のサイコロで偶数の目の出方は3通りある。

 

よって、積の法則により
\(3\times3\times3=27\)
A.27通り

応用例題2
次の数について、正の約数は何個あるか。
(1) 8
(2) 72

<解答>
(1) \(8=2^{3}\)なので、8の約数は\(1,2,2^{2},2^{3}\)である。

  よって4個である。

(2) \(72=2^{3}\times 3^{2}\)なので、72の正の約数は\(2^{3}\)と\(3^{2}\)の約数の積で表される。

  つまり、\(2^{3}\)の約数は(1)より4個。

  \(3^{2}\)の約数は\(1,3,3^{2}\)の3個。

  したがって、積の法則より \(4\times3=12\)

  12個である。

おわりに

今回は数学Aの「場合の数」についてまとめました。

教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

Youtubeでも解説動画を載せているので、
そちらもぜひご覧ください。

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!




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