・二項定理が覚えられない
・定期試験に向け復習したい
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
・二項定理を理解しよう
・パスカルの三角形
・二項定理<練習問題>
・二項定理の応用
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
二項定理の使い方と分かりやすい解説
第１章 式と証明から「二項定理」について
まとめていきます。
公式に突然組み合わせの\(\mathrm{C}\)が現れて
少し戸惑いますよね
しかし、式の意味を理解してしまえば結構簡単
むしろ便利！！
今回は二項定理の練習問題の前に
どうしてこんな公式になるのか理解するところから確認していきましょう。
まずは記事を見ていただいた後に
動画でも解説と練習問題の解説しているのでそちらも見ていただけたらと思います。
二項定理を理解しよう
では、さっそく二項定理について解説していきます。
二項定理を使ってみよう
\((a+b)^2\)と\((a+b)^3\)の展開式は以下のようになる。
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
では、\((a+b)^4,(a+b)^5,…,(a+b)^\mathrm{n}\)はどうなっていくのだろう。
結論から言うと
これが二項定理です。
二項定理は\((a+b)^5\)や\((a+b)^{10}\)のような
二項のなんとか乗を計算するときに大活躍します！
公式だけ見せられてもピンと来ないので具体的に見ていきましょう
具体的に数字を入れてみる
\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)
まず初めに\((a+b)^2\)で試していきましょう
つまり二項定理の\(\mathrm{n}=2\)ということです。
普通は\((a+b)^2\)くらいならば分配法則で計算しますね
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)となります
これを二項定理に当てはめると
(a+b)^{2}&=&_{2}C_{0}a^{2}b^{0}+_{2}C_{1}a^{2-1}b^{1}+_{2}C_{2}a^{2-2}b^{2}\\
&=&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
\end{eqnarray}\)
このようになり
分配法則で展開するのも
二項定理を用いて展開するのも同じ式になります
つぎは\((a+b)^5\)で試してみましょう
分配法則で展開していくと
(a+b)^5&=&(a+b)^2(a+b)^3\\
&=&(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&a^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+2ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&(a^5+3a^4b+3a^3b^2+a^2b^3)+(2a^4b+6a^3b^2+6a^2b^3+2ab^4)+(a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5)\\
&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\\
\end{eqnarray}\)
このようになり
展開することはできるけど
結構大変ですよね...
つぎは二項定理を使います
\(\mathrm{n}=5\)とすることで
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)
となり、スマートですよね！
とりあえず二項定理の便利さはわかってもらえたと思います
二項定理の公式が頭に入っていれば、
\((a+b)^{\mathrm{n}}\)の展開に怖いものなし！
次に二項定理の公式が
なぜこのような公式になるのかを
考えていきましょう。
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二項定理の意味を考える
なぜ式の展開に組み合わせの\(\mathrm{C}\)が登場するのかというと
展開は文字の組み合わせであるからです。
\((a+b)^2\)の展開は
前半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つと
後半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つ選んでかけ合わせることで\(\mathrm{a^{2}}\)が１つ完成します
こんな調子で( )から文字を選んで組み合わせると考えて
この中でも\(\mathrm{ab}\)に注目してみると
\(\mathrm{ab}\)の項がでてくるときというのは
\(\mathrm{a}\)を1つ、\(\mathrm{b}\)を1つ選んだときです。
つまり、2つある\((a+b)\)から1つ\(\mathrm{b}\)を選んだと考えると
\(_{2}C_{1}\)通り
そして、その組み合わせは2通りとなり\(2ab\)となる。
これが二項定理の係数に\(\mathrm{C}\)が出てくる正体である！
\((a+b)^5\)でも確かめると
となり
⇒ \(_{5}C_{0}a^{5}=a^{5}\)
・\(a^{4}b\)は5つの( )から1個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{1}\)通り
⇒ \(_{5}C_{1}a^{4}b=5a^{4}b\)
・\(a^{3}b^{2}\)は5つの( )から2個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{2}\)通り
⇒ \(_{5}C_{2}a^{3}b^{2}=10a^{3}b^{2}\)
・\(a^{2}b^{3}\)は5つの( )から3個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{3}\)通り
⇒ \(_{5}C_{3}a^{2}b^{3}=10a^{2}b^{3}\)
・\(ab^{4}\)は5つの( )から4個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{4}\)通り
⇒ \(_{5}C_{4}ab^{4}=5ab^{4}\)
・\(b^{5}\)は5つの( )から5個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{5}\)通り
⇒ \(_{5}C_{5}b^{5}=b^{5}\)
よって\((a+b)^5\)の展開は
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)
となるのだ。
パスカルの三角形
ここで少し余談です！
「パスカルの三角形」って知ってますか？
このような三角形をパスカルの三角形といいます。
それぞれの数字は、左上と右上の数字の和として出てきます。
なぜ今回パスカルの三角形を紹介したのかというと
\((a+b)^{n}\)の展開と深い関わりがあるからです。
このように\((a+b)^{n}\)の展開で出てくる係数はパスカルの三角形と同じ規則性を持っているのです。
なので、次数が低い展開や本当に困ったときはパスカルの三角形を書いてしまった方が早い場合もあるので
ぜひ、覚えておいてください。
二項定理<練習問題>
\((x+2)^5\)の展開式を求める。
\(\begin{eqnarray}
(x+2)^5&=&_{5}C_{0}x^5+_{5}C_{1}x^{4}2^{1}+_{5}C_{2}x^{3}2^{2}+_{5}C_{3}x^{2}2^{3}+_{5}C_{4}x^{1}2^{4}+_{5}C_{5}2^{5}\\
&=&x^5+5x^{4}2+10x^{3}4+10x^{2}8+5x16+32\\
&=&x^5+10x^{4}+40x^{3}+80x^{2}+80x+32\\
\end{eqnarray}\)
\((2x-1)^5\) の展開式における\(x^3\)の項の係数を求めよ。
\(x^3\)の項が出てくるのは
\(_{5}C_{2}(2x)^{3}(-1)^{3}\)の項なので
これを計算して
\(10\times8x^{3}\times(-1)=-80x^{3}\)
したがって、\(x^3\)の係数は\(-80\)
二項定理の応用
実は二項定理といいながら、３項以上の展開にも使うことができるんです。
\((a+b+c)^{5}\)の展開において
\(a^{2}b^{2}c\)の項の係数を求める。
\((a+b+c)^{5}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\)なので
まず、５つの( )から\(a\)を取り出す( )を２つ選ぶ
\(_{5}C_{2}a^{2}\)
つぎに残った３つの( )から\(b\)を取り出す( )を２つ選ぶ
\(_{3}C_{2}b^{2}\)
最後に残った１つの( )から\(c\)を取り出すとして
\(_{1}C_{1}c\)
したがって\(a^{2}b^{2}c\)の係数は
\(_{5}C_{2}a^{2}\times_{3}C_{2}b^{2}\times_{1}C_{1}c\)
\(10a^{2}\times3b^{2}\times{c}=30a^{2}b^{2}c\)
となり、30である。
このように3項以上の展開にも活用できるので
ぜひ、覚えておいてください。
おわりに
今回は数学Ⅱの「二項定理」についてまとめました。
教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。
Youtubeでも解説動画を載せているので、
そちらもぜひご覧ください。
質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
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