いろいろな式

二項定理の公式と証明をわかりやすく解説(公式・証明・係数・問題)

二項定理の公式と証明をわかりやすく解説(公式・証明・係数・問題)


こんな方におすすめ

  • 二項定理の公式ってなんだっけ
  • 二項定理の公式が覚えられない
  • 二項定理の仕組みを解説して欲しい

二項定理は「式も長いし、Cが出てくるし、よく分からない。」と思っている方もいるかもしれません。

しかし、二項定理は仕組みを理解してしまえば、とても単純な式です。

本記事では、二項定理の公式について分かりやすく徹底解説します。

記事の内容
・二項定理の公式
・パスカルの三角形
・二項定理の証明
・二項定理<練習問題>
・二項定理の応用

 

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
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二項定理の公式

二項定理の公式について解説していきます。

二項定理の公式

\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

Youtubeでは、「とある男が授業をしてみた」の葉一さんが解説しているので動画で見たい方はぜひご覧ください。

二項定理はいつ使う?

\((a+b)^2\)と\((a+b)^3\)の展開式は簡単です。

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

では、\((a+b)^4,(a+b)^5,…,(a+b)^\mathrm{n}\)はどうでしょう。

 

このときに役に立つのが二項定理です。

\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

 

二項定理は\((a+b)^5\)や\((a+b)^{10}\)のような

二項のなんとか乗を計算するときに大活躍します!
公式だけ見せられてもピンと来ないので具体的に見ていきましょう

二項定理を使ってみる

二項定理
\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

まず初めに\((a+b)^2\)で試していきましょう

つまり二項定理における\(\mathrm{n}=2\)の場合です。

\((a+b)^2\)くらいならば展開公式で簡単に展開できます。

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

 

これを二項定理に当てはめると

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{2}&=&_{2}C_{0}a^{2}b^{0}+_{2}C_{1}a^{2-1}b^{1}+_{2}C_{2}a^{2-2}b^{2}\\
&=&a^2+2ab+b^2\\
\end{eqnarray}\)

分配法則で展開するのも

二項定理を用いて展開するのも同じ結果になります

 

つぎは\((a+b)^5\)で試してみましょう

分配法則で展開していくと

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^5&=&(a+b)^2(a+b)^3\\
&=&(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&a^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+2ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&(a^5+3a^4b+3a^3b^2+a^2b^3)+(2a^4b+6a^3b^2+6a^2b^3+2ab^4)+(a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5)\\
&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\\
\end{eqnarray}\)

 

分配法則ではこのようになり

数字が大きくなると展開することはできるけど結構大変ですよね...

 

つぎは二項定理を使います

\(\mathrm{n}=5\)とすることで

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)

となり、とってもスマートですよね!

 

これで二項定理の便利さはわかってもらえたと思います

二項定理の公式が頭に入っていれば、

\((a+b)^{\mathrm{n}}\)の展開に怖いものなし!

 

次に二項定理の公式がなぜこのような公式になるのか考えていきましょう。

二項定理には組み合わせのC

なぜ式の展開に\(\mathrm{C}\)が登場するのかというと、展開は文字の組み合わせだからです。

\((a+b)^2\)の展開は

前半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つと
後半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つ選んでかけ合わせることで\(\mathrm{a^{2}}\)が1つ完成します

こんな調子で( )から文字を選んで組み合わせると考えて

二項定理の意味を考える

この中でも\(\mathrm{ab}\)に注目してみましょう。

 

\(\mathrm{ab}\)の項がでてくるときというのは

\(\mathrm{a}\)を1つ、\(\mathrm{b}\)を1つ選んだときです。

二項定理の意味を考える

 

つまり、2つある\((a+b)\)から1つ\(\mathrm{b}\)を選んだと考えると\(_{2}C_{1}\)通り

そして、その組み合わせは2通りとなり\(2ab\)となる。

これが二項定理に\(\mathrm{C}\)が出てくる正体です。

 

\((a+b)^5\)でも確かめてみましょう。

\((a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\)
・\(a^{5}\)は5つの( )から0個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{0}\)通り
⇒ \(_{5}C_{0}a^{5}=a^{5}\)・\(a^{4}b\)は5つの( )から1個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{1}\)通り
⇒ \(_{5}C_{1}a^{4}b=5a^{4}b\)・\(a^{3}b^{2}\)は5つの( )から2個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{2}\)通り
⇒ \(_{5}C_{2}a^{3}b^{2}=10a^{3}b^{2}\)

・\(a^{2}b^{3}\)は5つの( )から3個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{3}\)通り
⇒ \(_{5}C_{3}a^{2}b^{3}=10a^{2}b^{3}\)

・\(ab^{4}\)は5つの( )から4個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{4}\)通り
⇒ \(_{5}C_{4}ab^{4}=5ab^{4}\)

・\(b^{5}\)は5つの( )から5個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{5}\)通り
⇒ \(_{5}C_{5}b^{5}=b^{5}\)

よって\((a+b)^5\)の展開は

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)

展開する式の次数が大きくなるほど、二項定理のありがたみも大きくなります。

パスカルの三角形

ここで少し余談です。

「パスカルの三角形」をご存じでしょうか。

パスカルの三角形

このような三角形をパスカルの三角形といいます。

それぞれの数字は、左上と右上の数字の和として出てきます。

 

なぜ今回パスカルの三角形を紹介したのかというと

\((a+b)^{n}\)の展開と深い関わりがあるからです。

パスカルの三角形
このように\((a+b)^{n}\)の各項の係数はパスカルの三角形と同じ規則性があります

次数が低い展開や二項定理を忘れたときはパスカルの三角形でも展開をすることができます。

二項定理<練習問題>

二項定理<練習問題>

例題1
\((x+2)^5\)の展開式を求めなさい。

 

\(\begin{eqnarray}
(x+2)^5&=&_{5}C_{0}x^5+_{5}C_{1}x^{4}2^{1}+_{5}C_{2}x^{3}2^{2}+_{5}C_{3}x^{2}2^{3}+_{5}C_{4}x^{1}2^{4}+_{5}C_{5}2^{5}\\
&=&x^5+5x^{4}2+10x^{3}4+10x^{2}8+5x16+32\\
&=&x^5+10x^{4}+40x^{3}+80x^{2}+80x+32\\
\end{eqnarray}\)

 

例題2
\((2x-1)^{5}\) の展開式における\(x^3\)の項の係数を求めなさい。

二項定理を活用することで、指定された文字の係数だけを求めることができます。

\((2x-1)^{5}=_{5}C_{n}(2x)^{5-n}(-1)^{n}\)

\(x^3\)の項が出てくるのは
\(_{5}C_{2}(2x)^{3}(-1)^{2}\)の項なので
これを計算して
\(10\times8x^{3}\times 1=80x^{3}\)
したがって、\(x^3\)の係数は\(80\)

二項定理の応用

実は二項定理といいながら、3項の展開にも使うことができるんです。

3項の展開公式

\((a+b+c)^{n}\)の\(a^{s}b^{t}c^{r}\)の項の係数は

\(\displaystyle \frac{n!}{s!t!r!}\)

ただし、\(s+t+r=n\)

\((a+b+c)^{5}\)の展開において

\(a^{2}b^{2}c\)の項の係数を求める。

 

それぞれの指数の和が5になるので公式を使うことができます。

\(\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}=30\)

したがって、\(a^{2}b^{2}c\)の項の係数は30であることが分かる。

 

\((a+b+c)^{5}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\)なので

まず、5つの( )から\(a\)を取り出す( )を2つ選ぶ

\(_{5}C_{2}a^{2}\)

つぎに残った3つの( )から\(b\)を取り出す( )を2つ選ぶ

\(_{3}C_{2}b^{2}\)

最後に残った1つの( )から\(c\)を取り出すとして

\(_{1}C_{1}c\)

 

したがって\(a^{2}b^{2}c\)の係数は

\(_{5}C_{2}a^{2}\times_{3}C_{2}b^{2}\times_{1}C_{1}c\)

\(10a^{2}\times3b^{2}\times{c}=30a^{2}b^{2}c\)

このように3項の展開公式も便利なのでぜひ覚えておいてください。
 

二項定理 おわりに

今回は二項定理の公式についてまとめました。

二項定理
\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

最後まで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!
 

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