数学ⅡB 高校数学

二項定理の意味と二項展開の解説


こんな方におすすめ

  • 二項定理の意味が分からない
  • 二項定理の覚え方が知りたい
  • 問題になると分からなくなる

今回はこんな悩みを解決します。

記事の内容
・二項定理を理解しよう
・パスカルの三角形
・二項定理<練習問題>
・二項定理の応用

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業

数学講師歴6年目に突入

教えた生徒の人数は130人以上

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二項定理の意味と二項展開の解説

二項定理の意味と二項展開の解説

数学Ⅱの一つの壁「二項定理」についてまとめていきます。

公式に突然組み合わせの\(\mathrm{C}\)が現れて戸惑う人も多いのではないでしょうか。
しかし、式の意味を理解してしまえば簡単!!

むしろ便利!!

 

二項定理の問題に触れる前にどうしてこんな公式になるのか確認していきましょう。

二項定理を理解しよう

では、さっそく二項定理について解説していきます。

二項定理を使ってみよう

\((a+b)^2\)と\((a+b)^3\)の展開式は以下のようになる。

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

では、\((a+b)^4,(a+b)^5,…,(a+b)^\mathrm{n}\)はどうなっていくのだろう。

 

結論から言うと

\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

これが二項定理です。

 

二項定理は\((a+b)^5\)や\((a+b)^{10}\)のような

二項のなんとか乗を計算するときに大活躍します!
公式だけ見せられてもピンと来ないので具体的に見ていきましょう

具体的に数字を入れてみる

二項定理
\((a+b)^{n}=_{n}C_{0}a^{n}b^{0}+_{n}C_{1}a^{n-1}b^{1}+_{n}C_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}C_{n-1}a^{1}b^{n-1}+_{n}C_{n}a^{0}b^{n}\)

まず初めに\((a+b)^2\)で試していきましょう

つまり二項定理の\(\mathrm{n}=2\)ということです。
普通は\((a+b)^2\)くらいならば分配法則で計算しますね

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)となります

 

これを二項定理に当てはめると

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{2}&=&_{2}C_{0}a^{2}b^{0}+_{2}C_{1}a^{2-1}b^{1}+_{2}C_{2}a^{2-2}b^{2}\\
&=&(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
\end{eqnarray}\)

分配法則で展開するのも

二項定理を用いて展開するのも同じ結果になります

 

つぎは\((a+b)^5\)で試してみましょう

分配法則で展開していくと

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^5&=&(a+b)^2(a+b)^3\\
&=&(a^2+2ab+b^2)(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&a^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+2ab(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b^2(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\\
&=&(a^5+3a^4b+3a^3b^2+a^2b^3)+(2a^4b+6a^3b^2+6a^2b^3+2ab^4)+(a^3b^2+3a^2b^3+3ab^4+b^5)\\
&=&a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\\
\end{eqnarray}\)

 

分配法則ではこのようになり

数字が大きくなると展開することはできるけど結構大変ですよね...

 

つぎは二項定理を使います

\(\mathrm{n}=5\)とすることで

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)

となり、とってもスマートですよね!

 

これで二項定理の便利さはわかってもらえたと思います

二項定理の公式が頭に入っていれば、

\((a+b)^{\mathrm{n}}\)の展開に怖いものなし!

 

次に二項定理の公式がなぜこのような公式になるのか考えていきましょう。

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二項定理の意味を考える

なぜ式の展開に組み合わせの\(\mathrm{C}\)が登場するのかというと、展開は文字の組み合わせだから

\((a+b)^2\)の展開は

前半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つと
後半の\((a+b)\)から\(\mathrm{a}\)を1つ選んでかけ合わせることで\(\mathrm{a^{2}}\)が1つ完成します

こんな調子で( )から文字を選んで組み合わせると考えて

二項定理の意味を考える

この中でも\(\mathrm{ab}\)に注目してみると

\(\mathrm{ab}\)の項がでてくるときというのは

\(\mathrm{a}\)を1つ、\(\mathrm{b}\)を1つ選んだときです。

二項定理の意味を考える

つまり、2つある\((a+b)\)から1つ\(\mathrm{b}\)を選んだと考えると
\(_{2}C_{1}\)通り

そして、その組み合わせは2通りとなり\(2ab\)となる。

これが二項定理の係数に\(\mathrm{C}\)が出てくる正体である!

\((a+b)^5\)でも確かめると

\((a+b)^5=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\)

となり

・\(a^{5}\)は5つの( )から0個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{0}\)通り
⇒ \(_{5}C_{0}a^{5}=a^{5}\)・\(a^{4}b\)は5つの( )から1個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{1}\)通り
⇒ \(_{5}C_{1}a^{4}b=5a^{4}b\)

・\(a^{3}b^{2}\)は5つの( )から2個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{2}\)通り
⇒ \(_{5}C_{2}a^{3}b^{2}=10a^{3}b^{2}\)

・\(a^{2}b^{3}\)は5つの( )から3個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{3}\)通り
⇒ \(_{5}C_{3}a^{2}b^{3}=10a^{2}b^{3}\)

・\(ab^{4}\)は5つの( )から4個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{4}\)通り
⇒ \(_{5}C_{4}ab^{4}=5ab^{4}\)

・\(b^{5}\)は5つの( )から5個のbを選ぶと考えて、\(_{5}C_{5}\)通り
⇒ \(_{5}C_{5}b^{5}=b^{5}\)

よって\((a+b)^5\)の展開は

\(\begin{eqnarray}
(a+b)^{5}&=&_{5}C_{0}a^5+_{5}C_{1}a^{4}b^{1}+_{5}C_{2}a^{3}b^{2}+_{5}C_{3}a^{2}b^{3}+_{5}C_{4}a^{1}b^{4}+_{5}C_{5}b^{5}\\
&=&a^5+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\\
\end{eqnarray}\)

となるのだ。

パスカルの三角形

ここで少し余談です!

パスカルの三角形」って知ってますか?

パスカルの三角形

このような三角形をパスカルの三角形といいます。

それぞれの数字は、左上と右上の数字の和として出てきます。

なぜ今回パスカルの三角形を紹介したのかというと

\((a+b)^{n}\)の展開と深い関わりがあるからです。

パスカルの三角形
このように\((a+b)^{n}\)の展開で出てくる係数はパスカルの三角形と同じ規則性を持っているので

なので、次数が低い展開や本当に困ったときはパスカルの三角形を書いてしまった方が早い場合もあるので覚えておいてください。

二項定理<練習問題>

二項定理<練習問題>

例題1
\((x+2)^5\)の展開式を求める。
\(\begin{eqnarray}
(x+2)^5&=&_{5}C_{0}x^5+_{5}C_{1}x^{4}2^{1}+_{5}C_{2}x^{3}2^{2}+_{5}C_{3}x^{2}2^{3}+_{5}C_{4}x^{1}2^{4}+_{5}C_{5}2^{5}\\
&=&x^5+5x^{4}2+10x^{3}4+10x^{2}8+5x16+32\\
&=&x^5+10x^{4}+40x^{3}+80x^{2}+80x+32\\
\end{eqnarray}\)
例題2
\((2x-1)^5\) の展開式における\(x^3\)の項の係数を求めよ。
\(x^3\)の項が出てくるのは
\(_{5}C_{2}(2x)^{3}(-1)^{3}\)の項なので
これを計算して
\(10\times8x^{3}\times(-1)=-80x^{3}\)
したがって、\(x^3\)の係数は\(-80\)

二項定理の応用

実は二項定理といいながら、3項以上の展開にも使うことができるんです。

\((a+b+c)^{5}\)の展開において

\(a^{2}b^{2}c\)の項の係数を求める。

\((a+b+c)^{5}=(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\)なので

まず、5つの( )から\(a\)を取り出す( )を2つ選ぶ

\(_{5}C_{2}a^{2}\)

つぎに残った3つの( )から\(b\)を取り出す( )を2つ選ぶ

\(_{3}C_{2}b^{2}\)

最後に残った1つの( )から\(c\)を取り出すとして

\(_{1}C_{1}c\)

 

したがって\(a^{2}b^{2}c\)の係数は

\(_{5}C_{2}a^{2}\times_{3}C_{2}b^{2}\times_{1}C_{1}c\)
\(10a^{2}\times3b^{2}\times{c}=30a^{2}b^{2}c\)

となり、30である。

このように3項以上の展開にも活用できるので、覚えておいてください。

二項定理 おわりに

二項定理 おわりに

今回は数学Ⅱの「二項定理」についてまとめました。

教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

最後まで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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