集合の要素の個数を求める方法

こんな方におすすめ

集合の要素ってなに？
要素の数え方を知りたい

集合は理解してしまえば点数が取れる

本記事では、集合の要素の数え方を解説していきます。

記事の内容
・集合の要素の個数
・倍数の個数
・集合の応用

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
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集合の要素の個数

「１から２０までの自然数の集まり」

範囲がはっきりとしたものの集まりのことを集合といいます。

そして、集合を構成している１つ１つを要素といいます。

例えば１から２０までの自然数の集合

｛1, 2, 3, … , 20｝

この集合の要素の数は20個である。

集合Aの要素の個数をn(A)と表します。

要素を持たない集合を空集合といい、$\phi$と表す。
ちなみに、n($\phi$)=0である。

例題1
集合の要素の個数を求める。
全体集合を$\mathrm{U}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7\}$とする。
$\mathrm{U}$の部分集合　A=$\{1, 2, 3, 4\}$、B=$\{2, 5, 6\}$　について
n(A)=4 、 n(B)=3
また、$A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$
$A \cap B=\{2\}$
$n(\overline{ A })=3$ $集合の要素と個数$

ここで突然出てきた

$A \cup B$　こんなのとか、$A \cap B$　こんなの

びっくりしますよね(笑)

$\cup$　は　"または"　と読みます。

つまり$A \cup B$は、AまたはBと読み、
「Aでもいいし、Bでもいい」を表します。
今回だったら、7以外を表します。
$\cap$　は　"かつ" と読みます。

$A \cap B$は、AかつBと読み、
「Aでもあるし、Bでもある」を表します。
今回だと、2がAとBのどちらにもあります。

$集合の要素と個数$

和集合、補集合の要素の個数

和集合、補集合の要素の個数
$1 \quad n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
$2 \quad n(\bar{A})=n(U)-n(A)$

こんな公式があります。

式で見るより、実際に図を書いてみたほうが分かりやすいと思います。

例題2
和集合、補集合の要素の個数を求める。
全体集合Uの部分集合A,Bについて
$\mathrm{n}(\mathrm{U})=30 \quad \mathrm{n}(\mathrm{A})=11 \quad \mathrm{n}(\mathrm{B})=17 \quad \mathrm{n}(A \cap B)=6$であるとき
解答
$(1) \mathrm{n}(A \cup B)$
$=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)$
$=11+17-6=22$$(2) \mathrm{n}(\overline{ A })$
$=\mathrm{n}(U)-\mathrm{n}(A)$
$=30-11=19$

$和集合、補集合の要素の個数$

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倍数の個数

$倍数の個数$
つぎは倍数の個数について見ていきましょう。

シータ

倍数の個数ってなに？

そんな方が多いと思います。

つまり〇の倍数の数いくつありますかということです。

例題を見ていきましょう。

100以下の自然数のうち、次のような個数を求めよ。
(1)　3の倍数
(2)　3の倍数でない数
(3)　3の倍数かつ７の倍数
(4)　3の倍数または7の倍数
100以下の自然数全体の集合をUとして、
Uの部分集合で3の倍数全体の集合をA、7の倍数全体の集合をBとすると
$A=\{3\times{1}, 3\times{2},...,3\times{33}\}$
$B=\{7\times{1}, 7\times{2},...,7\times{14}\}$

解答
$(1)\mathrm{n}(\mathrm{A})=33$
$(2)$求めるのは$\mathrm{n}(\overline{ A })$である。
$\mathrm{n}(\overline{ A })=\mathrm{n}(\mathrm{U})-\mathrm{n}(\mathrm{A})=100-33=67$
$(3)$求めるのは$\mathrm{n}(A \cap B)$である。
3の倍数かつ7の倍数なので21の倍数を探せばよい。
$A \cap B =\{21\times{1},21\times{2},...,21\times{4}\}$
よって　　$\mathrm{n}(A \cap B)=4$
$(4)$求めるのは$\mathrm{n}(A \cup B)$である。
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
こんな公式がありましたね。
これを用いて
$n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)$
$=33+14-4=43$

では、練習問題をやってみてください。
$倍数の個数$

集合の応用

最後に少しレベルアップして応用問題です。

ドモルガンの法則
1 $\overline{ A \cup B }=\overline{ A } \cap \overline{ B }$
2 $\overline{ A \cap B }=\overline{ A } \cup \overline{ B }$

ドモアブルの法則は当たり前のように登場するので覚えておきましょう

例題 1
100人を対象に、2つの提案a,bの賛否を調べたところ、aに賛成の人は67人
bに賛成の人は84人、aにもbにも賛成の人は60人いた。
aにもbにも賛成ではない人は何人いるか。

解答
この100人の集合をUとして、
aに賛成の人の集合をA、bに賛成の人の集合をBとすると、
$\mathrm{n}(\mathrm{A})=67 \quad \mathrm{n}(\mathrm{B})=84 \quad \mathrm{n}(A \cap B)=60$
aにもbにも賛成でない人の集合は
$\overline{ A } \cap \overline{ B }$、すなわち$\overline{ A \cup B }$である。
$\mathrm{n}(A \cup B )=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)$
$=67+84-60=91$
よって　$\mathrm{n}(\overline{ A \cup B })=\mathrm{n}(U)-\mathrm{n}(A \cup B)$
$=100-91=9$
答え　9人
$集合の応用$