数学ⅠA 高校数学

【数学A】集合の要素の個数

更新日:


・集合がわからない
・学校の予習をしたい
・定期試験に向け復習したい

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

記事の内容としては

記事の内容
・集合の要素の個数
・倍数の個数
・集合の応用
記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
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集合の要素の個数

集合の要素の個数
高校数学の1番始めである

第1章 場合の数から

「集合の要素の個数」について

まとめていきます。

集合は理解してしまえば点数が取れるところです。

まずは記事を見ていただいた後に

動画でも解説と練習問題の解説しているのでそちらも見ていただけたらと思います。

集合の要素の個数

集合の要素の個数

集合の要素と個数

「1から20までの自然数の集まり」のような、
範囲がはっきりとしたものの集まりのことを集合といい、
集合を構成している1つ1つを集合の要素という。

たとえば、1から20までの自然数の集合

{1, 2, 3, … , 20}

この集合の要素の数は20個である。

集合Aの要素の個数が有限であるとき、その個数をn(A)と表す。

要素を持たない集合を空集合といい、\(\phi\)と表す。
ちなみに、n(\(\phi\))=0である。

例題1
集合の要素の個数を求める。
全体集合を\(\mathrm{U}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7\}\)とする。
\(\mathrm{U}\)の部分集合 A=\(\{1, 2, 3, 4\}\)、B=\(\{2, 5, 6\}\) について
   n(A)=4 、 n(B)=3
また、\(A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\)
  \(A \cap B=\{2\}\)
  \(n(\overline{ A })=3\)

集合の要素と個数

ここで突然出てきた

\(A \cup B\) こんなのとか、\(A \cap B\) こんなの

びっくりしますよね(笑)

\(\cup\) は "または" と読みます。

つまり\(A \cup B\)は、AまたはBと読み、
Aでもいいし、Bでもいい」を表します。
今回だったら、7以外を表します。
\(\cap\) は "かつ" と読みます。

\(A \cap B\)は、AかつBと読み、
Aでもあるし、Bでもある」を表します。
今回だと、2がAとBのどちらにもあります。

集合の要素と個数

和集合、補集合の要素の個数

和集合、補集合の要素の個数
\(1 \quad n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
\(2 \quad n(\bar{A})=n(U)-n(A)\)

こんな公式があります。

式で見るより、実際に図を書いてみたほうが分かりやすいと思います。

例題2
和集合、補集合の要素の個数を求める。
全体集合Uの部分集合A,Bについて
\(\mathrm{n}(\mathrm{U})=30 \quad \mathrm{n}(\mathrm{A})=11 \quad \mathrm{n}(\mathrm{B})=17 \quad \mathrm{n}(A \cap B)=6\)であるとき
解答
\((1) \mathrm{n}(A \cup B)\)
  \(=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)\)
  \(=11+17-6=22\)

\((2) \mathrm{n}(\overline{ A })\)
  \(=\mathrm{n}(U)-\mathrm{n}(A)\)
  \(=30-11=19\)

和集合、補集合の要素の個数

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倍数の個数

倍数の個数
つぎは倍数の個数について見ていきましょう。

倍数の個数というと

ん??どゆこと?

という感じだと思いますが、

要するに

集合の中に〇の倍数はいくつありますかということです。

例題を見ていきましょう。

例題3
100以下の自然数のうち、次のような個数を求めよ。
(1) 3の倍数
(2) 3の倍数でない数
(3) 3の倍数かつ7の倍数
(4) 3の倍数または7の倍数
  100以下の自然数全体の集合をUとして、
  Uの部分集合で3の倍数全体の集合をA、7の倍数全体の集合をBとすると
  \(A=\{3\times{1}, 3\times{2},...,3\times{33}\}\)
  \(B=\{7\times{1}, 7\times{2},...,7\times{14}\}\)

解答
\((1)\mathrm{n}(\mathrm{A})=33\)
\((2)\)求めるのは\(\mathrm{n}(\overline{ A })\)である。
  \(\mathrm{n}(\overline{ A })=\mathrm{n}(\mathrm{U})-\mathrm{n}(\mathrm{A})=100-33=67\)
\((3)\)求めるのは\(\mathrm{n}(A \cap B)\)である。
  3の倍数かつ7の倍数なので21の倍数を探せばよい。
  \(A \cap B =\{21\times{1},21\times{2},...,21\times{4}\}\)
  よって  \(\mathrm{n}(A \cap B)=4\)
\((4)\)求めるのは\(\mathrm{n}(A \cup B)\)である。
  \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
  こんな公式がありましたね。
  これを用いて
  \(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
  \(=33+14-4=43\)

では、練習問題を実際にやってみてください。
倍数の個数

集合の応用

では、

最後に少しレベルアップして応用問題です。

ドモルガンの法則
1 \(\overline{ A \cup B }=\overline{ A } \cap \overline{ B }\)
2 \(\overline{ A \cap B }=\overline{ A } \cup \overline{ B }\)

ドモルガンの法則は入試で必要になることは少ないけど

式変形の途中に当たり前のように登場したりするので覚えておきましょう

例題 1
100人を対象に、2つの提案a,bの賛否を調べたところ、aに賛成の人は67人
bに賛成の人は84人、aにもbにも賛成の人は60人いた。
aにもbにも賛成ではない人は何人いるか。

解答
この100人の集合をUとして、
aに賛成の人の集合をA、bに賛成の人の集合をBとすると、
\(\mathrm{n}(\mathrm{A})=67 \quad \mathrm{n}(\mathrm{B})=84 \quad \mathrm{n}(A \cap B)=60\)
aにもbにも賛成でない人の集合は
\(\overline{ A } \cap \overline{ B }\)、すなわち\(\overline{ A \cup B }\)である。
\(\mathrm{n}(A \cup B )=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)\)
\(=67+84-60=91\)
よって \(\mathrm{n}(\overline{ A \cup B })=\mathrm{n}(U)-\mathrm{n}(A \cup B)\)
\(=100-91=9\)
答え 9人

集合の応用

おわりに

今回は数学Aの「集合の要素の個数」についてまとめました。

教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

Youtubeでも解説動画を載せているので、
そちらもぜひご覧ください。

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!




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