集合の要素の個数を求める方法

集合は理解してしまえば点数が取れる

本記事では、集合の要素の数え方を解説していきます。

集合の要素の個数

「１から２０までの自然数の集まり」

範囲がはっきりとしたものの集まりのことを集合といいます。

そして、集合を構成している１つ１つを要素といいます。

例えば１から２０までの自然数の集合

｛1, 2, 3, … , 20｝

この集合の要素の数は20個である。

集合Aの要素の個数をn(A)と表します。

要素を持たない集合を空集合といい、\(\phi\)と表す。
ちなみに、n(\(\phi\))=0である。

例題1
集合の要素の個数を求める。
全体集合を\(\mathrm{U}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7\}\)とする。
\(\mathrm{U}\)の部分集合　A=\(\{1, 2, 3, 4\}\)、B=\(\{2, 5, 6\}\)　について
n(A)=4 、 n(B)=3
また、\(A \cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\)
\(A \cap B=\{2\}\)
\(n(\overline{ A })=3\)

ここで突然出てきた

\(A \cup B\)　こんなのとか、\(A \cap B\)　こんなの

びっくりしますよね(笑)

\(\cup\)　は　"または"　と読みます。

つまり\(A \cup B\)は、AまたはBと読み、
「Aでもいいし、Bでもいい」を表します。
今回だったら、7以外を表します。
\(\cap\)　は　"かつ" と読みます。

\(A \cap B\)は、AかつBと読み、
「Aでもあるし、Bでもある」を表します。
今回だと、2がAとBのどちらにもあります。

和集合、補集合の要素の個数

こんな公式があります。

式で見るより、実際に図を書いてみたほうが分かりやすいと思います。

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倍数の個数

つぎは倍数の個数について見ていきましょう。

シータ

倍数の個数ってなに？

そんな方が多いと思います。

つまり〇の倍数の数いくつありますかということです。

例題を見ていきましょう。

解答
\((1)\mathrm{n}(\mathrm{A})=33\)
\((2)\)求めるのは\(\mathrm{n}(\overline{ A })\)である。
\(\mathrm{n}(\overline{ A })=\mathrm{n}(\mathrm{U})-\mathrm{n}(\mathrm{A})=100-33=67\)
\((3)\)求めるのは\(\mathrm{n}(A \cap B)\)である。
3の倍数かつ7の倍数なので21の倍数を探せばよい。
\(A \cap B =\{21\times{1},21\times{2},...,21\times{4}\}\)
よって　　\(\mathrm{n}(A \cap B)=4\)
\((4)\)求めるのは\(\mathrm{n}(A \cup B)\)である。
\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
こんな公式がありましたね。
これを用いて
\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)
\(=33+14-4=43\)

では、練習問題をやってみてください。

集合の応用

最後に少しレベルアップして応用問題です。

ドモアブルの法則は当たり前のように登場するので覚えておきましょう

解答
この100人の集合をUとして、
aに賛成の人の集合をA、bに賛成の人の集合をBとすると、
\(\mathrm{n}(\mathrm{A})=67 \quad \mathrm{n}(\mathrm{B})=84 \quad \mathrm{n}(A \cap B)=60\)
aにもbにも賛成でない人の集合は
\(\overline{ A } \cap \overline{ B }\)、すなわち\(\overline{ A \cup B }\)である。
\(\mathrm{n}(A \cup B )=\mathrm{n}(A)+\mathrm{n}(B)-\mathrm{n}(A \cap B)\)
\(=67+84-60=91\)
よって　\(\mathrm{n}(\overline{ A \cup B })=\mathrm{n}(U)-\mathrm{n}(A \cup B)\)
\(=100-91=9\)
答え　9人

集合の要素の個数　まとめ

今回は数学Aの「集合の要素の個数」についてまとめました。

教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

最後まで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！

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