数学ⅡB 高校数学

【数学Ⅱ】判別式とは?よく分かる二次方程式の判別式

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【数学Ⅱ】判別式とは?よく分かる二次方程式の判別式

・判別式って?
・結局何を表しているの?

この辺のモヤモヤを一掃できる内容になっています。

判別式?というまだ習っていなくてもわかるように段階を踏んで解説していくのでぜひ読んでみてください。

 

記事の内容としては

記事の内容
・判別式とは
・なんで判別式はDなの?
・判別式から解の個数を求める
・判別式D/4の使い方
・練習問題
記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

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判別式とは

そもそも判別式とは?

判別式とは二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)に対して、\(b^2+4ac\)を判別式といいます。

 

\(b^2+4ac\)ってどこかで見覚えがありませんか?

ピンと来た人もいるのではないでしょうか。

 

2次方程式の解の公式に出てくるここ!

ここの中身だけを取り出したものを判別式といい、

\(D=b^2+4ac\)として表します。

判別式から解の個数を求める

 

判別式の重要な性質の1つに、

判別式Dの符号をみればその2次方程式の解の個数が分かるというものがあります。

判別式で解の個数が分かる

 

判別式を用いることで、二次方程式の解の個数が分かります。

 

判別式で解の個数が分かる

このようにDの符号によって、その2次方程式の解の個数が分かるのです

例題
二次方程式\(3x^2+5x-1=0\) において、
判別式は\(D=5^2-4\times{3}\times{-1}=37\)となりD>0
よって、、実数解を2つ持つとわかる。

 

なぜ個数が分かるのか

 

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\)の解は、解の公式より\(x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

 

つまり判別式のDが表しているのは、解の公式のここの部分

なぜ個数が分かるのか

 

このルート部分の中身が正のとき
なぜ個数が分かるのか
このようになり、実数解を2つ持つことが分かる。

 

また、ルートの中身が0のとき

なぜ個数が分かるのか
このようになり、実数解を1つしか持たないことが分かる。

 

そしてルートの中身が負のとき
なぜ個数が分かるのか
このように虚数iが現れるため、虚数解を2つ持つようになる。

 

判別式でx軸との交点の数を求める

 

判別式のもう一つの性質として、x軸との交点の数を求めることができます。

 

方程式の解の個数というのは、言い換えれば交点の数を表しています。

 

なので二次方程式の場合は

判別式を用いることで、このようなことが言えるのです。

 

 

以上の3つの場合分けで示したように、

判別式を用いることで、二次方程式とx軸の交点の個数を求めることができるのです。

 

なんで判別式はDなの?

ここで少し余談です。

なぜ判別式はDで表すのだろう

それにはちゃんとした由来があります。

 

Dは英語の略称から来ていて、

英単語の「discriminant」が由来になっています。

 

このように何気なく使っている数学の文字にはちゃんと意味があるので、そこを気にしてみても面白いですね!

 

判別式D/4の使い方

判別式にはD/4という使い方もできるんですよ!

いつ使えるの?

 

D/4が使えるのは、二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の\(b\)が偶数のときです!

そのとき、判別式\(\frac{D}{4}=(\frac{b}{2})^2-ac\)として使うことができます。

 

使い方は判別式Dと同じ

D/4が正の数ならば実数解を2つ持ち、
0ならば実数解を1つ持ち、
負の数ならば虚数解を2つ持つことになる。

こんなに役に立つ

判別式D/4は一見、そんなに変わらないように見えますが

\(b\)の数字が大きくなってくるとスピードに差が出てきます。

2次方程式\(3x^2+16x+8=0\)のとき、D/4を用いることで

\(D/4=(\frac{16}{2})^2-3\times{8}=40\)となり、

2次方程式\(3x^2+16x+8=0\)が実数解を2つ持つことが分かります。

D/4は計算を早めるだけでなく、入試の穴埋めに出題されることもあったので、これからの大学入学共通テストで出題されることも全然ありえるので、ぜひ身に付けておきたい小技ですね。

練習問題

問題
次の二次方程式の解の個数を求めなさい。
\((1) 2x^2+5x-2=0\)
\((2) 3x^2-2x+4=0\)
解答
(1) \(D=5^2-4\times{2}\times{(-2)}=25+16=41\)
したがって、実数解を2つ持つ。(2) \(D/4=(-1)^2-3\times{4}=1-12=-11\)
したがって、虚数解を2つ持つ。

おわりに

今回は数学Ⅱの二次方程式の判別式にフォーカスしてまとめました。

このサイトでは中学・高校の数学を教科書に合わせてどんどん解説していくので、
お気に入り登録しておいてもらえると授業の予習や定期試験前に確認できると思います。

Youtubeでも解説動画を載せているので、
そちらもぜひご覧ください。

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!




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