二次方程式の判別式と解の個数を求める方法

二次方程式の判別式と解の個数を求める方法


「判別式Dの公式は?」
「解の個数はどうやって求めるの?」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
解の個数が求められなくて...

 

高校数学において、判別式Dは非常に重要な公式の1つです。

判別式の公式

判別式Dの符号によって、二次方程式の解の個数が判断することができます。

2次関数の判別式

本記事では、判別式Dの公式と解の個数との関係について解説します。

判別式をまだ習っていなくてもわかるように段階を踏んで解説していくのでぜひ読んでみてください。

記事の内容

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判別式Dとは

判別式Dとは以下の公式を指します。

判別式の公式

判別式Dの符号によって、二次方程式を満たす解の個数が分かります。

判別式Dと解の個数

判別式Dと解の個数

D>0のとき、異なる実数解を2つもつ。
D=のとき、実数解を1つもつ。(重解)
D<0のとき、実数解をもたない。

なぜ解の個数が分かるの?

高校生
なんで判別式の符号から解の個数が分かるのですか?

判別式Dの公式は以下の数式でした。

判別式の公式

判別式は解の公式のルート部分と同じ形をしています。

解の公式

参考

解の公式とは?という方は以下の記事がおすすめ
二次方程式の解の公式をマスターしよう!

\(D>0\)のとき

\(D>0\)のとき、解の公式におけるルート部分が正の数になります。

つまり、二次方程式を満たす解が2つあることを指します。

Dが正のとき

したがって、D>0のとき二次方程式は異なる実数解を2つもつことが分かりました。

\(D=0\)のとき

\(D=0\)のとき、解の公式におけるルートの中身も0になります。

これは二次方程式を満たす解が1つしかないことを指します。

Dが0のとき

したがって、D=0のとき二次方程式は実数解を1つもつことが分かりました。

\(D<0\)のとき

\(D<0\)のとき、解の公式におけるルートの中身がマイナスになります。

Dが負のとき

ルートの中身がマイナスになってしまうので、D<0のとき実数解を持たないことが分かります。

判別式でx軸との交点の数を求める

判別式Dの符号によって、二次関数とx軸との交点の個数が分かります。

2次方程式の解

シータ
むずかしく見えますが、内容は単純なので安心してね。

 

そもそも\(ax^{2}+bx+c=0\)というのは、\(y=ax^{2}+bx+c\)とx軸の交点を求めています。

具体的に言うと\(x^{2}-6x+8=0\)という二次方程式の解は

\begin{eqnarray}
x^{2}-6x+8&=&0\\
(x-2)(x-4)&=&0\\
x&=&2,4
\end{eqnarray}

となりますが、これは二次関数\(y=x^{2}-6x+8\)が\(x=2,4\)でx軸と交わることを表しています。

判別式とx軸の交点

 

したがって、判別式Dの符号によって以下の3つのことがいえます。

判別式Dとx軸との関係

①D>0のとき、二次方程式は異なる2つに実数解をもつので、x軸と2か所で交わる。

②D=0のとき、二次方程式は1つの実数解をもつので、x軸と接している。

③D<0のとき、二次方程式は実数解をもたないのでx軸とは交わらない。

このように判別式を用いることで、二次方程式とx軸の交点の個数を求めることができます。

判別式D/4を活用しよう

判別式Dを少し応用したもので、\(\displaystyle \frac{D}{4}\)というものがあります。

\(\displaystyle \frac{D}{4}\)は与えられた二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)の\(b\)が偶数のときにだけ使える公式です。

判別式D/4

\(y=ax^{2}+bx+c\)において、\(b\)が偶数のとき\(\displaystyle b'=\frac{b}{2}\)とすると

\(\displaystyle \frac{D}{4}=b'^{2}-ac\)

例として、二次方程式\(x^{2}+6x+3=0\)の解の個数を求めましょう。

\(x\)の係数が\(6\)で偶数なので、判別式\(\displaystyle \frac{D}{4}\)を使うことができます。

\(b'=3\)とすると、

\begin{eqnarray}
\frac{D}{4}&=&b'^{2}-ac\\
&=&3^{2}-1 \cdot 3\\
&=&6
\end{eqnarray}

\(\displaystyle \frac{D}{4}>0\)より、与えられた二次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

この判別式がどうしても覚えきれない人は、ふつうの判別式Dでも問題ないので基本から慣れていきましょう。
シータ

なんで判別式はDなの?

ここで少し余談です。

高校生
なんで判別式の記号は"D"なんだろう?

それにはちゃんとした由来があります。

 

Dは英語の略称で英単語の「discriminant」(日本語訳:判別、差別、区別)が由来になっています。

このように何気なく使っている数学の文字にはちゃんと意味があるので、そこを気にしてみても面白いですね!

判別式D《練習問題》

判別式を使って二次方程式の解の個数を求める練習をしましょう。

練習問題

次の二次方程式の解の個数を求めなさい。
(1) \(2x^2+5x-2=0\)
(2) \(4x^2-12x+9=0\)

\(2x^2+5x-2=0\)の解の個数

二次方程式\(2x^2+5x-2=0\)より、\(a=2,b=5,c=-2\)として判別式Dの符号を求めます。

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&5^{2}-4 \cdot 2 \cdot (-2)\\
&=&25+16\\
&=&41
\end{eqnarray}

\(D>0\)より、二次方程式\(2x^2+5x-2=0\)は異なる2つの実数解をもつ。

\(4x^2-12x+9=0\)の解の個数

二次方程式\(4x^2-12x+9=0\)より、\(a=4,b=-12,c=9\)として判別式Dの符号を求めます。

\begin{eqnarray}
D&=&b^{2}-4ac\\
&=&(-12)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 9\\
&=&144-144\\
&=&0
\end{eqnarray}

\(D=0\)より、二次方程式\(2x^2+5x-2=0\)は実数解を1つもつ。

二次方程式の判別式 まとめ

今回は二次方程式の判別式についてまとめました。

二次方程式の判別式 まとめ

 

判別式D

2次関数の判別式

判別式Dとx軸との共有点の個数

2次方程式の解

 

判別式Dは重要な公式なので必ず押さえておきましょう!

また、判別式Dの符号によって解の個数が定まる理由も覚えておくことで、より理解が深まります。

 

\(x\)軸との共有点の個数は、二次関数の頂点の位置からも判断できます。

二次関数の軸と頂点についてはこちらの記事で解説しています。

二次関数の軸と頂点
二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説!

「二次関数の頂点の求め方が分からない」 「頂点 ...

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二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

 

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