数学ⅡB 高校数学

【数学Ⅱ】3次式の展開を徹底解説!

更新日:


3次式の展開と因数分解を徹底解説!

・3次式の展開公式が知りたい
・因数分解が苦手

こんな生徒さんの悩みを解決します。

3次式の展開って2次式の展開と比べて、急に難しくなったように見えますよね!

実は難しくなったように見えているだけなのです。

やることは2次式も3次式も同じなので、一緒に確認していきましょう。

本記事では、数学Ⅱの1番始めである「3次式の展開と因数分解」についてまとめていきます。

記事の内容
・3次式の展開
・3次式の因数分解
・まとめ
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3次式の展開

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

3次式の展開はこの2次式の展開が自力で出来れば、公式を覚えていなくてもゴリ押しでできちゃいます。

しかし、公式を知っているのと知らないのではスピードに大きく差が出ます

ここは反復練習で身に付けておきましょう。

展開の公式Ⅰ

 

展開の公式Ⅰ
  \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
  \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

例題1

\((1)(x+1)^3=x^3+3\times{x^2}\times{1}+3\times{x}\times{1^2}+1^3\)
 \(=x^3+3x^2+3x+1\)
 
\((2)(2x-y)^3=(2x)^3-3\times{(2x)^2}\times{y}+3\times{2x}\times{(-y)^2}-y^3\)
 \(=8x^3-3\times{4x^2}\times{y}+3\times{2x}\times{y^2}-y^3\)
 \(=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\)

 

ポイント!

展開の公式で困るのはマイナスの符号の位置
しかし\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)も
\(\{a+(-b)\}^3\)だと考えれば
\(\{a+(-b)\}^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\)となり
自然と\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)が出てくる。
覚えるのは
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
上の公式だけで良いのです。

展開の公式Ⅰ

展開の公式Ⅱ

 
少し変わったパターンも紹介します。

展開の公式Ⅱ
  \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
  \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
例題2\((1)(x+1)(x^2-x+1)\)
 \(=x^3+1^3\)
 \(=x^3+1\)
 
\((2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)\)
 \(=x^3+(-2y)^3\)
 \(=x^3-8y^3\)

展開の公式Ⅱ

3次式の因数分解

3次式の因数分解

展開の公式は覚えられそうですか?

展開の逆が因数分解なので

展開の公式を利用すると、因数分解の公式がみえます。

展開したり、因数分解したりスムーズに変換できるとよいです。
 

3次式の因数分解

 

因数分解の公式
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
例題3\((1)x^3+27\)
 \(=x^3+3^3\)
 \(=(x+3)(x^2-3x+3)\)
 
\((2)8x^3-a^3\)
 \(=(2x)^3-a^3\)
 \(=(2x-a)\{(2x)^2-(2x)a+a^2\}\)
\(=(2x-a)(4x^2-2ax+a^2)\)

3次式の因数分解

3次式の因数分解 補題

 

上の3次式の因数分解の公式を用いて、こんな問題もあるので紹介します。
 

例題4

\((1)x^6-64y^6\)
\(=(x^2)^3-(4y^2)^3\)
\(=(x^2-4y^2)\{(x^2)^2+x^2\times(4y^2)+(4y^2)^2\}\)
\(=(x^2-4y^2)(x^4+4x^2y^2+16y^4)\)
 
\((2)a^6-1\)
\(=(a^2)^3-(1^2)^3\)
\(=(a^2-1^2)\{(a^2)^2+a^2\times(1^2)+(1^2)^2\}\)
\(=(a^2-1)(a^4+a^2+1)\)

おわりに

 

今回は数学Ⅱの「3次式の展開と因数分解」についてまとめました。

教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

Youtubeでも解説動画を載せているので、
そちらもぜひご覧ください。

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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