数学ⅡB 高校数学

3次式の展開公式を徹底解説!

3次式の展開公式を徹底解説!

こんにちは、ゆうやです。

今回は3次式の展開公式に関する疑問を解決していきます。

  • 3次式の展開の公式が知りたい
  • 3次式の展開の具体例が見たい

3次式の因数分解公式があるならば、逆は展開の公式になります。

展開の公式を覚えておけば、因数分解もできるようになるのでぜひ押さえておきましょう。

展開ができれば因数分解もできる

今回は3次式の展開の公式について紹介します。

では順を追ってまとめていきます。

記事の内容
・3次式の展開
・因数定理と使った因数分解

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

3次式の展開

3次式の展開はこの2次式の展開が自力で出来れば、公式を覚えていなくてもゴリ押しでできちゃいます。

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

しかし、公式を知っているのと知らないのではスピードに大きく差が出ます

3次式の展開公式も身に付けておきましょう。

展開の公式Ⅰ

展開の公式Ⅰ
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

例題1

\((1)(x+1)^3=x^3+3\times{x^2}\times{1}+3\times{x}\times{1^2}+1^3\)
\(=x^3+3x^2+3x+1\)\((2)(2x-y)^3=(2x)^3-3\times{(2x)^2}\times{y}+3\times{2x}\times{(-y)^2}-y^3\)
\(=8x^3-3\times{4x^2}\times{y}+3\times{2x}\times{y^2}-y^3\)
\(=8x^3-12x^2y+6xy^2-y^3\)

 

ポイント!

展開の公式で困るのはマイナスの符号の位置です。
しかし\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)も
\(\{a+(-b)\}^3\)だと考えれば
\(\{a+(-b)\}^3=a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\)となり
自然と\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)が出てくる。
覚えるのは\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)の公式だけで良いです。

展開の公式Ⅱ

少し変わったパターンも紹介します。

展開の公式Ⅱ
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
例題2\((1)(x+1)(x^2-x+1)\)
\(=x^3+1^3\)
\(=x^3+1\)\((2)(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)\)
\(=x^3+(-2y)^3\)
\(=x^3-8y^3\)

3次式の展開公式 まとめ

今回は3次式の展開についてまとめました。

展開の公式①  \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
展開の公式②  \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)

 

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