ベクトル

ベクトルの大きさの求め方!なぜ2乗の公式で求められるの?

ベクトルの大きさの求め方!なぜ2乗の公式で求められるの?


こんな方におすすめ

  • ベクトルってなに?
  • 等しいベクトルとは?
  • ベクトルの大きさって?

ベクトルの大きさとは長さを表しています。

大きさの求め方は簡単なので必ず押さえておきましょう。

本記事では、ベクトルの大きさを求める公式を紹介しています。

シータ
展開ができれば因数分解もできる
記事の内容
・ベクトルの大きさの求め方
・単位ベクトル

 

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

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ベクトルの大きさと求め方

図のように、向きと大きさだけで定まるものをベクトルといいます。

有効線分とベクトル

有向線分ABで表されるベクトルを、\(\overrightarrow{ AB }\)と書き表す。

このとき、線分ABの長さをベクトルABの"大きさ"として\(|\overrightarrow{ AB }|\)と表します。

平面ベクトルのとき

平面ベクトルの大きさの求め方を紹介します。

\(\vec{AB} = (x, y)\)の大きさ\(|\overrightarrow{ AB }|\)は、

\(|\overrightarrow{ AB }|=\sqrt{x^2 + y^2}\)

\(A(0,0),B(3,4)\)とすると\(\vec{AB} = (3, 4)\)の大きさは、

\(|\overrightarrow{ AB }|=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{25}=5\)

したがって、\(\vec{AB} = (3, 4)\)の大きさは5ということが分かりました。

空間ベクトルのとき

空間ベクトルの大きさは成分が3つになります。

\(\vec{AB} = (x, y, z)\)の大きさ\(|\overrightarrow{ AB }|\)は、

\(|\overrightarrow{ AB }|=\sqrt{x^2 + y^2 +z^2}\)

\(A(0,0,0),B(3,4,5)\)とすると\(\vec{AB} = (3, 4,5)\)の大きさは、

\(|\overrightarrow{ AB }|=\sqrt{3^2 + 4^2 +5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)

したがって、\(\vec{AB} = (3, 4 ,5)\)の大きさは\(5\sqrt{2}\)ということが分かりました。

単位ベクトルは大きさ1

単位ベクトルとは、大きさが1のベクトルです。

 

\(\displaystyle A(0,0),B(\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)とすると\(\displaystyle \vec{AB} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})\)の大きさは、

\(\displaystyle |\overrightarrow{ AB }|=\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2}=\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}}=1\)

有効線分とベクトル

大きさの等しいベクトルとは?

\(\vec{a}と\vec{b}\)の向き大きさが等しいとき、

2つのベクトルは等しいといい、\(\vec{a}=\vec{b}\)と書く。

したがって、等しいベクトルは平行移動することで

ぴったりと重ね合わせることができます。

等しいベクトルとは?

なぜベクトルの大きさは2乗?

ベクトルの大きさを求めるときに2乗してから求めることもあります。

\(A(0,0),B(3,4)\)とすると

\(|\overrightarrow{ AB }|^{2}=3^2 + 4^2=25\)

\(|\overrightarrow{ AB }| \ge 0\)なので、

\(|\overrightarrow{ AB }|=5\)

シータ
新しい公式に見えるけどさっきと同じだよ

先ほど解説した公式では、ルートを使いましたがこの公式ではルートを後回しにできます。

ベクトルの大きさ おわりに

今回はベクトルの大きさについて解説しました。

ベクトルにニガテ意識がある方も多いと思いますが、慣れるまでは矢印だと思って取り掛かればいいと思います。

教科書に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

最後まで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

 

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