・加法定理の証明が知りたい
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
三角形の加法定理しっかりと覚えられていますか？
「咲いたコスモス コスモス咲いた」など語呂合わせて覚えている方も多いのではないでしょうか？
本記事では、三角形から加法定理の公式とその証明、覚え方をまとめました。
それでは三角関数の加法定理について解説していきます！
・加法定理の公式
・加法定理の証明
・加法定理の覚え方
・加法定理＜練習問題＞
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
加法定理の公式
加法定理の公式一覧をまとめました。
公式が知りたかっただけの方は、ここまででOKです！
加法定理\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
\(\displaystyle tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}\)
\(\displaystyle tan(α-β)=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}\)
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加法定理の証明
まず初めに
３ \(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
を証明していきます。
これが他の公式の証明の土台になってきます。
上の図において、AP間の距離を求めると
\(AP^{2}=\{\cos(α+β)-1\}^{2}+\sin^{2}(α+β)\)
\(=2-2cos(α+β)\)
次に、２点P,Aを、原点Oを中心に-αだけ回転した位置にある点を、それぞれQ,Rとする。
Q,Rの座標は
Q(cosβ,sinβ),R(cosα,-sinα)である。
QR間の距離を求めると、
\(RQ^{2}=(cosβ-cosα)^{2}+(sinβ+sinα)^{2}\)
\(=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)\)
\(\angle AOP =\angle ROQ\)より、\(AP^{2}=RQ^{2}\)なので
したがって、
３の\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)が成り立ちます。
\cos (\alpha-\beta)&=&\cos \{\alpha+(-\beta)\} \\
&=&\cos \alpha \cos (-\beta)+\sin \alpha \sin (-\beta)\\
&=&\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\\
\end{eqnarray}
\sin (\alpha+\beta)&=&\cos \{90-(\alpha+\beta)\}\\
&=&\cos \{(90-\alpha)-\beta\} \\
&=&\cos (90-\alpha) \cos \beta+\sin (90-\alpha) \sin \beta \\
&=&\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
\sin (\alpha-\beta)&=&\sin \{\alpha+(-\beta)\} \\
&=&\sin \alpha \cos (-\beta)+\cos \alpha \sin (-\beta) \\
&=&\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan (\alpha+\beta)&=&\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} \\
\displaystyle &=&\frac{\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta }
\end{eqnarray}
分子, 分母を \(\cos \alpha \cos \beta\)で割って、
\begin{eqnarray}
\displaystyle &=&\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan (\alpha-\beta)&=&\frac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)} \\
\displaystyle &=&\frac{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta}
\end{eqnarray}
分子, 分母を\(\cos \alpha \cos \beta \)で割って、
\begin{eqnarray}
\displaystyle &=&\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
\end{eqnarray}
加法定理の覚え方
加法定理はsinとかcosが並びすぎて覚えにくいんですよね(^^;)
学校や学習塾ごとに語呂合わせでの覚え方を紹介されると思います。
自分が一番覚えやすいもので覚えればよいです。
ぼくからも定番の語呂合わせを紹介します。
sin(α+β) 「咲いた コスモス コスモス 咲いた」
cos(α+β) 「ことしは コスモス コスモス 咲かない 咲かない」
符号がマイナスなのでマイナスなイメージで「咲かない」で覚えましょう。
tan(α+β) 「タンタンが いま立った」
今回は加法の形のものだけ語呂合わせを紹介しました。
減法の場合は、公式内の符号が入れ替わるので注意してください。
加法定理＜練習問題＞
それでは今回学んだ加法定理を使って、練習問題を解いていきましょう。
練習問題１．sin \(75^\circ\)
２．sin \(105^\circ\)
３．cos \(15^\circ\)
解答
１．\(sin 75^\circ=sin(30^\circ + 45^\circ)\)
\(=sin30^\circ cos45^\circ + cos30^\circ sin45^\circ\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt2} + \frac{\sqrt3}{2} \times \frac{1}{\sqrt2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt2}{4} + \frac{\sqrt6}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}\)
２．\(sin 105^\circ=sin (135^\circ-30^\circ)\)
\(=sin 135^\circ cos 30^\circ - cos 135^\circ sin 30^\circ\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt2} \times \frac{\sqrt3}{2} - (-\frac{1}{\sqrt2}) \times \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt6}{4} + \frac{\sqrt2}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
３．\(cos 15^\circ=cos (45^\circ-30^\circ)\)
\(=cos45^\circ cos30^\circ + sin45^\circ sin30^\circ\)
\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt2} \times \frac{\sqrt3}{2}+ \frac{1}{\sqrt2} \times \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt6}{4}+ \frac{\sqrt2}{4}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\)
加法定理 まとめ
加法定理の公式をもう一度まとめておきます。
加法定理\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
\(cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
\(\displaystyle tan(α+β)=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}\)
\(\displaystyle tan(α-β)=\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}\)
見慣れない形の三角関数が出てきたら、加法定理を疑ってみてください。
加法定理を応用した公式として、２倍角の公式や半角の公式といったものもあるので、そちらも確認しておきましょう。
おわりに
今回は数学Ⅱの三角関数から加法定理についてまとめました。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。
お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。
Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。
質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
みんなの努力が報われますように！
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