三角比の相互関係を使いこなそう！必ず覚えたい３つの重要公式

高校生

三角比がとっても苦手です...

本記事では、三角比の相互関係についてまとめていきます。

三角比には重要公式がたくさんありますが、その中でも三角比の相互関係は必ず覚えて欲しい公式です。

三角比の相互関係は数Ⅱ,Ⅲでも使うので、この機会に必ず覚えましょう。

高校生

でも覚えづらいし,使い方もよく分からないです..

とはいえ、初めは使い方もよく分からないですよね。ぼくも覚えられるまでは、何度も調べてました。

本記事では三角比の相互関係を丁寧に解説していきますので、ぜひ最後までご覧ください。

三角比の相互関係

三角比の相互関係は必ず押さえておきたい重要な公式です。

それでは、各公式の証明と使い方を解説していきます。

三角関数まとめ記事

三角比の相互関係　証明

三角比の相互関係がなぜ成り立つのか、それぞれの式を証明しておきましょう。

証明が必要ない方は、次の「三角関数の相互関係　使い方」へ進んでください。

下の図のような三角形を元に証明していきます。

相互関係①\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)

まずは\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)から証明していきます。

これが１番の軸となる公式なので、最優先で\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)を叩き込んでください。

\(\displaystyle \sin \theta=\frac{y}{r}, \cos \theta=\frac{x}{r}\)を変形すると、各辺を下図のように表すことができます。

三平方の定理より、

\[r^2=(r \sin \theta)^{2}+(r \cos \theta)^{2}\]

\[r^2=r^{2} \sin^{2} \theta+r^{2} \cos^{2} \theta\]

両辺を\(r^{2}\)で割って、

\[1=\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\]

よって、\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)の証明終了です。

相互関係②\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

相互関係①が理解できた方はすぐにピンときますね。

まず三角比の定義より、

\[\tan \displaystyle \theta=\frac{y}{x}\]

先ほどの三角形の図から分かるように\(y=r \sin \theta,x=r \cos \theta\)なので、

\begin{eqnarray}
\tan \displaystyle \theta &=& \frac{y}{x}\\
&=& \displaystyle \frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\\
&=& \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\end{eqnarray}

よって、\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)の証明終了です。

相互関係③\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

相互関係①を変形して証明します。

\[\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\]

両辺を\(\cos^{2} \theta\)で割ります

\[\displaystyle \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\frac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}=\frac{1}{\cos^{2} \theta}\]

\[\displaystyle \tan^{2} \theta+1=\frac{1}{\cos^{2} \theta}\]

よって、証明終了です。

三角比の相互関係　使い方

高校生

３つの公式が大事なのは分かったけど、どうやって使うの？

公式を覚えていても使いこなせなければ何の役にも立ちません。

例題3つを用意したので、それぞれの使い方を見ていきましょう！

\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)

この公式は、\(\sin \theta\)もしくは\(\cos \theta\)が分かるときに使う公式です。

例えば\(\theta\)が鋭角で\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3}\)だとしましょう。

このとき三角比の相互関係①を用いて、

\[\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\]

\[\displaystyle (\frac{1}{3})^{2}+\cos^{2} \theta=1\]

\[\displaystyle \frac{1}{9}+\cos^{2} \theta=1\]

\[\displaystyle \cos^{2} \theta=\frac{8}{9}\]

このように\(\cos\)の式にすることができました。

ここで、\(\cos \theta\)を求める際に符号の正負に気を付けましょう。

今回は\(\theta\)が鋭角なので、\(\cos \theta > 0\)

\[\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\]

\(\sin \theta\)もしくは\(\cos \theta\)が分かるときは相互関係①を用いることで、もう一方も求めることができます。

\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)

相互関係①の公式で\(\sin \theta,\cos \theta\)を求めた後に\(\tan \theta\)を求めましょう。

\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3}\),\(\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)のとき、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\
\displaystyle &=& \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}\\
\displaystyle &=& \frac{1}{3} × \frac{3}{2\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=& \frac{1}{2\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=& \frac{\sqrt{2}}{4}
\end{eqnarray}

逆に\(\tan \theta\)と\(\sin \theta\)が分かっていて、\(\cos \theta\)を求めるパターンもあります。

公式を暗記するだけでなく、式を変形して使いこなせるように慣れていきましょう！

\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)

この公式は\(\tan \theta\)もしくは\(\cos \theta\)が分かる時に使う公式です。

\(\theta\)が鋭角で、\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{2}}{4}\)のとき、

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle 1+\frac{2}{16} &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle \frac{9}{8} &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle \cos ^{2} \theta &=& \frac{8}{9}
\end{eqnarray}

\(\theta\)が鋭角なので、\(\cos \theta >0\)

\[\displaystyle \cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}\]

三角比の相互関係＜練習問題＞

それでは、今回学んだことを活かして練習問題を解いてみましょう。

解答

\begin{eqnarray}
\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta &=& 1\\
\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{2}+\cos^{2} \theta &=& 1\\
\displaystyle \frac{4}{9}+\cos^{2} \theta &=& 1\\
\displaystyle \cos^{2} \theta &=& \frac{5}{9}\\
\displaystyle \cos \theta &=& ±\sqrt{\frac{5}{9}}\\
\displaystyle &=& ±\frac{\sqrt{5}}{3}
\end{eqnarray}

\(\theta\)が鋭角なので、\(\cos \theta>0\)なので、

\[\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\]

これで\(\sin \theta\)と\(\cos \theta\)が分かったので、相互関係②の公式に代入しましょう。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \tan \theta &=& \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\\
\displaystyle &=& \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\\
\displaystyle &=&\frac{2}{3} × \frac{3}{\sqrt{5}}\\
\displaystyle &=&\frac{2}{\sqrt{5}}
\end{eqnarray}

有理化して、

\[\displaystyle \tan \theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

解答

\begin{eqnarray}
\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle 1+(\frac{1}{2})^{2} &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle 1+\frac{1}{4} &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle \frac{5}{4} &=& \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\\
\displaystyle \cos ^{2} \theta &=& \frac{4}{5}\\
\displaystyle \cos \theta &=& ±\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
\end{eqnarray}

\(\theta\)は鋭角なので、

\[\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}\]

\begin{eqnarray}
\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta &=&1\\
\displaystyle \sin^{2} \theta+\left(\frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^{2}&=&1\\
\displaystyle \sin^{2} \theta+\frac{20}{25}&=&1\\
\displaystyle \sin^{2} \theta &=& \frac{5}{25}
\end{eqnarray}

\(\theta\)は鋭角なので、

\[\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}\]

三角比の相互関係まとめ

今回は必ず覚えたい重要公式の1つ"三角比の相互関係"を解説しました。

くり返しになりますが、三角比の相互関係は当たり前のように使えるようにしましょう。

これから習う数Ⅱ,数Ⅲでも式変形に必須の公式です。

三角比の相互関係以外にも重要な公式はたくさんあります。

三角比や三角関数に関する記事をピックアップしたので、ぜひ参考にしてください。

みんなの努力が報われますように！

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