・どうやって使うんだっけ？
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
数学Ⅰの三角関数から、「三角関数の相互関係」についてまとめていきます。
三角関数にはとっても重要な公式が３つありました。
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
三角関数だけでなく、数学Ⅱ,Ⅲの微分積分でも使う公式なので、必ず覚えておきたい公式です。
使い方が分からないんだよなぁ...
そうなんですよね(^^;)
ぼくも覚えられるまでは、何度も調べていた記憶があります。
本記事では三角関係の相互関係を丁寧に解説していきますので、ぜひ最後までご覧ください。
・三角関数の相互関係 証明
・三角関数の相互関係 使い方
・三角関数の相互関係＜練習問題＞
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
三角関数の相互関係
三角関数の相互関係は必ず押さえておきたい重要な公式です。
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
三角関数の相互関係を用いれば、sin,cos,tanのどれか1つが分かれば、他のすべて求めることができます。
それでは、各公式の証明と使い方を解説していきます。
三角関数の相互関係 証明
三角関数の相互関係がなぜ成り立つのか、それぞれの式を証明しておきましょう。
証明が必要ない方は、次の《三角関数の相互関係 使い方》へ進んでください。
下の図のような三角形を元に証明していきます。
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
まずは\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)から証明していきます。
これが１番の軸となる公式なので、最優先で\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)を叩き込んでください。
三角形の定義より、
\(\displaystyle \sin \theta=\frac{y}{r}, \cos \theta=\frac{x}{r}\)と表すことができます。
これらを変形して
\(y=r \sin \theta ,x=r\cos \theta\)
三平方の定理より、
\(r^2=(r \sin \theta)^{2}+(r \cos \theta)^{2}\)
\(r^2=r^{2} \sin^{2} \theta+r^{2} \cos^{2} \theta\)
両辺を\(r^{2}\)で割って、
\(1=\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\)
よって、\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)の証明終了です。
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
三角関数の定義より、
tan\(\displaystyle \theta=\frac{y}{x}\)
\(=\displaystyle \frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\)
\(=\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
よって、\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)の証明終了です。
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
両辺を\(cos^{2} \theta\)で割ります
\(\displaystyle \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}+\frac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}=\frac{1}{cos^{2} \theta}\)
\(\displaystyle \tan^{2} \theta+1=\frac{1}{cos^{2} \theta}\)
よって、証明終了です。
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三角関数の相互関係 使い方
３つの例題を用意したので、それぞれの公式の使い方を見ていきましょう！
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
この公式は、sin\(\theta\)もしくはcos\(\theta\)が分かっているときに使う公式です。
\(\theta\)が鋭角で\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3}\)のときのcos\(\theta\)の値は
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle (\frac{1}{3})^{2}+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \frac{1}{9}+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \cos^{2} \theta=\frac{8}{9}\)
このときcos\(\theta\)の正負に注意してください！
今回は\(\theta\)が鋭角なので、cos\(\theta\)>0
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
このように、sin\(\theta\),cos\(\theta\)のどちらかが分かっていれば、もう片方も求めることができます。
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
ひとつめの公式でsin\(\theta\),cos\(\theta\)を求めたあとに使うことが多いです。
\(\displaystyle \sin \theta=\frac{1}{3}\),\(\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)のとき、
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{3} × \frac{3}{2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{2}}{4}\)
逆にtan\(\theta\)とsin\(\theta\)もしくはcos\(\theta\)が分かっていて、もう一方を求めるパターンもあります。
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
tan\(\theta\)もしくはcos\(\theta\)が分かった時に使いたい公式です。
\(\theta\)が鋭角で、\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sqrt{2}}{4}\)のとき、
\(\displaystyle 1+\frac{2}{16}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle \frac{9}{8}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle \cos ^{2} \theta=\frac{8}{9}\)
\(\theta\)が鋭角なので、\(\cos \theta >0\)
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
三角関数の相互関係＜練習問題＞
それでは、今回学んだことを活かして練習問題を解いてみましょう。
sin\(\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\)のとき、cos\(\theta\),tan\(\theta\)の値を求めよ。
解答
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle (\frac{2}{3})^{2}+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \frac{4}{9}+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \cos^{2} \theta=\frac{5}{9}\)
\(\displaystyle \cos \theta=±\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(\displaystyle \cos \theta=±\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\theta\)が鋭角なので、\(\cos \theta>0\)なので、
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
これでsin\(\theta\)とcos\(\theta\)が分かったので、
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
この公式に代入しましょう。
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{3} × \frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
有利化して、
\(\displaystyle \tan \theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
tan\(\displaystyle \theta=\frac{1}{2}\)のとき、sin\(\theta\),cos\(\theta\)の値を求めよ。
解答
\(\displaystyle 1+\tan ^{2} \theta=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle 1+(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle 1+\frac{1}{4}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle \frac{5}{4}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\)
\(\displaystyle \cos ^{2} \theta=\frac{4}{5}\)
\(\displaystyle \cos \theta=±\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\theta\)は鋭角なので、
\(\displaystyle \cos \theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
\(\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1\)
\(\displaystyle \sin^{2} \theta+(\frac{2\sqrt{5}}{5})^{2}=1\)
\(\displaystyle \sin^{2} \theta+\frac{20}{25}=1\)
\(\displaystyle \sin^{2} \theta=\frac{5}{25}\)
\(\theta\)は鋭角なので、
\(\displaystyle \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{5}\)
おわりに
今回は数学Ⅰの三角関数から必ず覚えたい重要公式３つを解説しました。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。
Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。
質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。
では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
みんなの努力が報われますように！
