数学ⅠA 高校数学

分散とは?分散の意味と求め方をズバリ解説します!

更新日:

分散とは?分散の意味と求め方をズバリ解説します!

こんにちは、ゆうやです。
 
今回は分散に関する悩みを解決していきます。

  • 分散は何を表してる?
  • 分散の求め方は?
  • テストになると分からなくなる

 
突然分散を聞かれると、

分散ってどうやって求めるんだっけ💦

こんな感じでプチパニックになりますよね。

データの散らばりを考えるには分散は欠かせません。

分散の意味と求め方を確認しよう!

 

今回は分散の意味から、効率的な計算方法までしっかりと確認していきます。

本記事でしっかりと理解して高得点を獲得しましょう!

 

では順を追ってまとめていきます。

記事の内容
・分散の意味
・分散の求め方2つ
・分散と共分散

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中
スポンサーリンク

分散の意味

分散は、データの散らばりの大きさを表す指標です。

分散の意味

分散が大きければ大きいほど「平均から離れているデータが多い」と言え、小さければ小さいほど「平均に近いデータが多い」と言えます。

以下に2クラスの数学Ⅰのテスト結果があります。

テスト結果

この場合、A,Bクラスの平均値はともに60点です。

しかし、Aクラスの方が「平均から離れたデータが多く」、Bクラスの方が「平均値に近いデータが多い」と言えます。

したがって、Aクラスの方が分散が大きいです。

数字がどれだけ散らばっているかを表すんだね!

平均が同じでもデータの散らばりは異なるケースが多いです。

分散は「データがどれだけ散らばっているか」を数値で表したものです。

分散の求め方①

分散の定義は「データと平均の差の二乗の平均」です。

変数\(x\)のデータの値が\(x_1,x_2,...,x_n\)で、その平均が\(\bar{x}\)のとき分散\(s^{2}\)は、

\(\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}\}\)
 \(=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}\)

いきなりこんな複雑な公式を見せられてもピンとこないと思うので、例題で一緒に確認していきます。

先程のAクラスのテスト結果の分散を求めましょう。

Aクラス:
テスト結果 30,40,50,80,100

分散の求め方①

  1. 平均値を求める
  2. 偏差(データと平均の差)を求める
  3. 偏差の二乗平均を求める

まずは平均点を求めます。

\(\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{6}(30+40+50+80+100)\)

 \(=60\)

分散の求め方①

次に偏差を求めます。
偏差は、データの数値と平均の差を示します。
詳しくは「偏差の意味と求め方」をご覧ください。

偏差の計算
\(30-60=-30\)
\(40-60=-20\)
\(50-60=-10\)
\(80-60=20\)
\(100-60=40\)

分散の求め方①

最後に偏差の二乗平均を求めます。

\(\displaystyle \frac{1}{5}\{(-30)^{2}+(-20)^{2}+(-10)^{2}+20^{2}+40^{2}\}\)

\(=680\)

分散の求め方①

つまり、Aクラスの分散は680である。

分散の求め方①

分散の求め方②

分散は「2乗の平均」と「平均の2乗」の差でも求められます。

\(\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}\)
分散の求め方②

  1. それぞれのデータを2乗し個数で割る
  2. 平均値を求めて2乗する
  3. 「2乗の平均」と「平均の2乗」の差を求める

先程の分散をこちらの方法でも計算してみます。

分散の求め方②

Aクラス:
テスト結果 30,40,50,80,100

まず「2乗の平均」を求めます。

\(\displaystyle \frac{30^{2}+40^{2}+50^{2}+80^{2}+100^{2}}{5}\)

\(=\displaystyle \frac{900+1600+2500+6400+10000}{5}\)

\(=\displaystyle \frac{21400}{5}\)

\(=4280\)

つぎに「平均の2乗」を求めます。

Aクラスの平均は60点なので、
\(60^{2}=3600\)

分散\(s^{2}\)は

分散={2乗の平均}-{平均の2乗}

  \(=4280-3600\)

  \(=680\)

となり、さっきの分散と同じ答えになりました。

したがって、分散は「2乗の平均」と「平均の2乗」の差でも求めることができました。

分散と共分散の違い

分散と似た言葉で共分散というものがあります。

分散は1つのデータの散らばりの度合いを示すのに対して、共分散は「2組の対応するデータの間にある関係」を表します。

したがって、分散と共分散は名前が似てますが意味は大きく異なります。

1つのデータで求められるのは分散なので、それぞれの意味を覚えておきましょう。

共分散についてはこちらの記事で詳しく解説しています。

分散<練習問題>

分散<練習問題>

分散を使った練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題Cクラスの国語のテスト結果の分散を求めよ。

テスト結果 40,50,60,60,90

分散の求め方①

 

分散の求め方①

  1. 平均値を求める
  2. 偏差(データと平均の差)を求める
  3. 偏差の二乗平均を求める

 
\(\displaystyle \frac{1}{5}(40+50+60+60+90)\)

\(=60\)

Cクラスの平均点は60点です。

それぞれの偏差を求めます。
\(40-60=-20\)
\(50-60=-10\)
\(60-60=0\)
\(60-60=0\)
\(90-60=30\)

最後に偏差を2乗し分散を求める。

\(\displaystyle \frac{1}{5}\{(-20)^{2}+(-10)^{2}+0+0+30^{2}\}\)

\(=280\)

したがって、求める分散は280である。

分散の求め方②

 

分散の求め方②

  1. それぞれのデータを2乗し個数で割る
  2. 平均値を求めて2乗する
  3. 「2乗の平均」と「平均の2乗」の差を求める

 
2乗の平均を求めます。

\(\displaystyle \frac{40^{2}+50^{2}+60^{2}+60^{2}+90^{2}}{5}\)

\(=\displaystyle \frac{19400}{5}\)

\(=3880\)

次に平均の2乗を求めます。

Cクラスの平均点は60点なので、

\(60^{2}=3600\)

分散\(s^{2}=3880-3600=280\)

したがって、求める分散は280である。

分散 まとめ

今回はデータの分析から分散についてまとめました。

分散とは?
 データの散らばりの大きさを表す指標

分散の求め方

分散の求め方①

  1. 平均値を求める
  2. 偏差(データと平均の差)を求める
  3. 偏差の二乗平均を求める
分散の求め方②

  1. それぞれのデータを2乗し個数で割る
  2. 平均値を求めて2乗する
  3. 「2乗の平均」と「平均の2乗」の差を求める

 

他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。

お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

最後まで読んでくださりありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

【2020年12月】

順位1位2位3位
名称スタディサプリ
スタディサプリ
トライイット
トライイット
進研ゼミ
進研ゼミ
対象小・中・高中・高小・中・高
特徴圧倒的コスパの良さ
40,000本の授業が見放題
無料でこんなにいいの!?
ハイクオリティな授業
学習塾業界シェア率1位
個別カリキュラム
料金月額1,980円で見放題
(ベーシックプラン)
無料
(一部有料)
月額10,410円
高校講座5教科
公式スタディサプリ公式トライイット進研ゼミ

現在の会員数は120万人を超えており人気No.1です!

人気の理由は圧倒的なコスパの良さです!

スタディサプリを今始めるメリット1 料金が月額1980円でとにかく安い
2 各分野のプロの授業が受け放題
3 1授業15分~で手軽に学習
4 場所に縛られない学習スタイル
5 自分に合ったレベルの授業が選べる
6 長期休みの特別講習も充実
7 共通テスト、志望校対策もバッチリ

スタディサプリは14日間の無料体験を実施しています。
お気軽に体験から始めてみてはいかがでしょうか。

⇒《限定》スタディサプリ無料体験実施中

PICK UP

2021年完全版おすすめ映像授業ランキング 1

映像授業のイメージ こんにちは、ゆうやです。 今回はおすすめしたい映像授業をランキング形式でまとめました。 >> すぐにランキングを見る <<   「映像授業はどこがいいの?」 「それぞれ何 ...

スタディサプリを徹底解説!会員数140万人越えのスタディサプリまとめ記事 2

  スタディサプリってどんなサービス? スタディサプリの料金は?   今回はスタディサプリを検討中に出てくるこんな悩みを全部解決します。 スタディサプリに関する悩みを全部解決するま ...

3

  仕事や勉強の息抜きがしたい 映画が見たいがレンタルしに行くのは面倒くさい   今回はそんな方に向けて記事を書いていきます。   さっそくですがVODって聞いたことあり ...

-数学ⅠA, 高校数学
-

Copyright© マストラ 数学×旅人!? , 2021 All Rights Reserved Powered by STINGER.