標準偏差の公式と求め方を徹底解説します！

「標準偏差は何を表してるの？」
「標準偏差の求め方は？」
今回は標準偏差に関する悩みを解決します。

高校生

標準偏差が苦手なんですよ...

標準偏差とは、「データの散らばりの度合い」を表す指標の1つです。

分散の正の平方根が標準偏差です。

本記事では、標準偏差の意味と求め方について解説します。

記事の内容

標準偏差の公式
標準偏差の求め方
標準偏差を求めるメリット
標準偏差と分散
練習問題
まとめ

数学が苦手な方は「Step1：基礎知識を高速インプットして土台を作る」で5ステップに分けて勉強法を解説しています。

標準偏差の公式

標準偏差とは「データの散らばりの度合いを表す指標」の1つです。

分散の平方根で求めることができます。

分散の公式

変数\(x\)の値が\(x_1,x_2,...,x_n\)で、平均が\(\bar{x}\)のとき
分散\(s^{2}\)は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle s^{2}&=&\frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}\}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}
\end{eqnarray}

もしくは

\[\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}\]

標準偏差\(s\)は分散\(s^{2}\)の正の平方根

\[s=\sqrt{s^{2}}\]

分散については「分散とは？分散の意味と求め方」にて解説しています。

分散

: 分散とは？分散の公式と求め方を解説！標準偏差や共分散との違いは？
続きを見る

標準偏差の求め方

標準偏差\(s \)は分散\(s^2\) を使って以下のように表されます。

標準偏差は「分散の正の平方根」なので、まずは分散を求める必要があります。

標準偏差の求め方

平均値を求める
偏差を求める
分散（偏差の2乗平均）を求める
分散の平方根を求める

それでは、例をもとに一緒に標準偏差を求めてみましょう。

あるクラスで数学Ⅰのテストを行いました。

1.平均値を求める

まずは平均値を求めます。

\[\displaystyle \frac{30+40+50+80+100}{5}=60\]

2.偏差を求める

偏差とは「データと平均値との差」を指します。

偏差を求める

偏差＝（データ値）-（平均値）

\begin{eqnarray}
30-60&=&-30\\
40-60&=&-20\\
50-60&=&-10\\
80-60&=&20\\
100-60&=&40
\end{eqnarray}

偏差について別の記事でまとめました。
偏差値とは？偏差値の意味と求め方をズバリ解説します！

: 偏差値とは？偏差値の意味と求め方をズバリ解説します！
続きを見る

3.分散を求める

分散は「偏差の2乗平均」で求めることができます。

\[\displaystyle \frac{900+400+100+400+1600}{5}=680\]

分散の意味や求め方は別の記事で詳しくまとめています。

分散

: 分散とは？分散の公式と求め方を解説！標準偏差や共分散との違いは？
続きを見る

4.分散の平方根を求める

分散:680の正の平方根を求めます。

\[\sqrt{680} ≒ 26.08\]

したがって、標準偏差は26.08

これで標準偏差を求めることができました。

高校生

標準偏差の求め方は分かったけど、そもそも標準偏差を求めるメリットは何ですか？

つぎは標準偏差を求めるメリットを解説していくよ！

シータ

標準偏差のメリット

標準偏差を求めるメリットは「データ全体のざっくりとした分布」が分かることです。

例えば、あるテスト結果の分散が680と言われてピンと来ますか？おそらく誰も分からないでしょう。

しかし、標準偏差が26.08だと分かると、受験者の68%が”平均点±26.08点"の中にいることを示します。

図のように、正規分布の場合、平均値±標準偏差中に観測データが含まれる確率は68.3%になります。
これが±標準偏差の２倍、３倍になるとさらに確率は上がります。

範囲	範囲内に収まる確率
平均値±標準偏差	68.3%
平均値±（標準偏差×2）	95.4%
平均値±（標準偏差×3）	99.7%

標準偏差と分散

標準偏差と分散は何が違うのでしょうか。

ざっくりした説明ですが表している単位が異なるのです。

例えばお肉の重さについて調べます。このとき使う単位をグラム\(g\)だとしましょう。

分散はデータの2乗平均なので、求めた分散の単位は\(g^2\)になります。

その一方で、標準偏差は分散の正の平方根なので単位が\(g\)になっています。

したがって、データの散らばりの度合いを表すときは、分散の\(g^{2}\)よりも標準偏差で表した方が分かりやすくなります。

標準偏差を求めることで、ほとんどのデータが「平均値±標準偏差」に収まっていることが分かります。

標準偏差＜練習問題＞

標準偏差の意味を理解したところで、練習してみましょう。

先程のテストをBクラスでも行った結果、このようになりました。

Bクラスの標準偏差を求めましょう。

標準偏差の求め方を振り返ります。

標準偏差の求め方

平均値を求める
偏差を求める
分散（偏差の2乗平均）を求める
分散の平方根を求める

1.平均値を求める

\[\displaystyle \frac{40+55+60+70+75}{5}=60\]

平均値:60点

2.偏差を求める

\begin{eqnarray}
40-60&=&-20\\
55-60&=&-5\\
60-60&=&0\\
70-60&=&10\\
75-60&=&15
\end{eqnarray}

3.分散を求める

\begin{eqnarray}
\displaystyle s^{2}=\frac{(-20)^2+(-5)^2+0+10^2+15^2}{5}\\
\displaystyle &=&\frac{400+25+0+100+225}{5}\\
\displaystyle &=&\frac{750}{5}\\
&=&150
\end{eqnarray}

分散：150

4.分散の平方根を求める

分散が150なので、

\(\sqrt{150}　≒　12.25\)

解答標準偏差　12.25

高校生

自分で標準偏差を求められるようになりました！

いつでも求められるように定期的に確認しよう！

シータ

標準偏差　まとめ

今回はデータの分析から標準偏差についてまとめました。

標準偏差　まとめ

標準偏差とは？
⇒データの散らばりの度合いを表す指標

分散の公式

変数\(x\)の値が\(x_1,x_2,...,x_n\)で、平均が\(\bar{x}\)のとき
分散\(s^{2}\)は、

\begin{eqnarray}
\displaystyle s^{2}&=&\frac{1}{n}\{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}\}\\
\displaystyle &=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^{2}
\end{eqnarray}

もしくは

\[\displaystyle s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^{2} -\bar{x}^{2}\]

標準偏差\(s\)は分散\(s^{2}\)の正の平方根

\[s=\sqrt{s^{2}}\]

標準偏差は「分散の正の平方根」なので、まずは分散を求める必要があります。

標準偏差の求め方