数学ⅠA

標準偏差とは?標準偏差の意味と求め方を徹底解説します!

標準偏差とは?標準偏差の意味と求め方を徹底解説します!

こんにちは、ゆうやです。
 
今回は標準偏差に関する悩みを解決していきます。

  • 標準偏差ってなに?
  • 標準偏差は何を表してるの?
  • 標準偏差の求め方は?

 
データの問題では分散と合わせて、標準偏差を求める問題も多いですね。

分散が分かれば標準偏差は余裕なので、標準偏差で点数を落とすのはもったいない!

標準偏差の求め方をしっかり覚えよう

 

今回は標準偏差の意味に加え、標準偏差の求め方と練習問題も紹介します。

記事の内容
・標準偏差とは?
・標準偏差の求め方
・標準偏差のメリット
・標準偏差と分散
・標準偏差<練習問題>

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

標準偏差とは?

そもそも標準偏差とは何なのか。

標準偏差とは?

標準偏差とは「データの散らばりの度合いを表す指標」です。

分散の平方根で求めることができます。

標準偏差がどのように役に立つのかは標準偏差のメリットで解説します。

 

分散とは?分散の意味と求め方をズバリ解説します!

標準偏差の求め方

標準偏差\(s \)は分散\(s^2\) を使って以下のように表されます。

標準偏差の求め方

標準偏差は「分散の正の平方根」なので、分散を求める必要があります。

標準偏差の求め方

  1. 平均値を求める
  2. 偏差を求める
  3. 分散(偏差の2乗平均)を求める
  4. 分散の平方根を求める

それでは、例をもとに一緒に標準偏差を求めてみましょう。

あるクラスで数学Ⅰのテストを行いました。

標準偏差の求め方

1.平均値を求める

まずは平均値を求めます。

\(\displaystyle \frac{30+40+50+80+100}{5}=60\)

標準偏差の求め方

2.偏差を求める

偏差とは各データと平均値との差を指します。

\(30-60=-30\)
\(40-60=-20\)
\(50-60=-10\)
\(80-60=20\)
\(100-60=40\)

標準偏差の求め方

偏差について別の記事で詳しくまとめています。
偏差値とは?偏差値の意味と求め方をズバリ解説します!

3.分散を求める

分散は偏差の2乗平均で求めることができました。

\(\displaystyle \frac{900+400+100+400+1600}{5}=680\)

分散の意味や求め方は別の記事で詳しくまとめています。

4.分散の平方根を求める

標準偏差の求め方

分散:680の正の平方根を求めます。

\(\sqrt{680} ≒ 26.08\)

したがって標準偏差は

標準偏差 26.08

これで標準偏差を求めることができました。

標準偏差が分かるとどんな役に立つの?

標準偏差のメリット

標準偏差のメリット

標準偏差が分かるとどんなメリットがあるのか解説していきます。

標準偏差が分かることで、データのざっくりとした分布が分かります

例えば、先ほどのテストの例においても、分散が680であると言われてもピンときません。

しかし、標準偏差が26.08であることから、”平均点±26.08点の中に大体の人がいる”というような認識を持つことが出来ます。

標準偏差のメリット

図のように、正規分布の場合、平均値±標準偏差中に観測データが含まれる確率は68.3%になります。
これが±標準偏差の2倍、3倍になるとさらに確率は上がります。

範囲範囲内に収まる確率
平均値±標準偏差68.3%
平均値±(標準偏差×2)95.4%
平均値±(標準偏差×3)99.7%

標準偏差と分散

標準偏差と分散は何が違うのでしょうか。

ざっくり言うと、表している単位が異なります

例えば扱っているデータがg(グラム)だとします。

分散はデータの2乗平均を扱っているので、分散で求められる値の単位は\(g^2\)になります。

その一方で、標準偏差は分散の平方根で求められるので単位はgになっています。

標準偏差と分散

したがって、観測データと単位をそろえることができました。

これで分散よりも扱いやすい値になったと言えます。

標準偏差<練習問題>

標準偏差<練習問題>

標準偏差の意味を理解したところで、練習してみましょう。

先程のテストをBクラスでも行った結果、このようになりました。

標準偏差<練習問題>

Bクラスの標準偏差を求めましょう

標準偏差の求め方を振り返ります。

標準偏差の求め方

  1. 平均値を求める
  2. 偏差を求める
  3. 分散(偏差の2乗平均)を求める
  4. 分散の平方根を求める

1.平均値を求める

\(\displaystyle \frac{40+55+60+70+75}{5}=60\)

平均値:60点

2.偏差を求める

\(40-60=-20\)
\(55-60=-5\)
\(60-60=0\)
\(70-60=10\)
\(75-60=15\)

3.分散を求める

\(\displaystyle \frac{(-20)^2+(-5)^2+0+10^2+15^2}{5}\)

\(=\displaystyle \frac{400+25+0+100+225}{5}\)

\(=\displaystyle \frac{750}{5}\)

\(=150\)

分散:150

4.分散の平方根を求める

分散が150なので、

\(\sqrt{150} ≒ 12.25\)

解答標準偏差 12.25

標準偏差 まとめ

今回はデータの分析から標準偏差についてまとめました。

標準偏差とは?
 データの散らばりの度合いを表す指標

標準偏差の求め方

  1. 平均値を求める
  2. 偏差を求める
  3. 分散(偏差の2乗平均)を求める
  4. 分散の平方根を求める

標準偏差のメリット
 データのざっくりとした分布が分かる

 

他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。

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最後まで読んでくださりありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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