今回は命題と条件に関する悩みを解決していきます。
- 命題ってなに?
- 否定とは?
- 逆、裏、対偶の意味が曖昧
ここが曖昧な生徒が多いので、一緒にしっかりと理解をしておきましょう!
きっと感じているほど難しくないので、理解しておかないともったいない
今回は命題の意味に加え、「否定」「逆・裏・対偶」の意味も紹介します。
・命題とは?
・仮定と結論
・否定とは
・逆・裏・対偶
命題とは?
命題とは「正しいか正しくないかが定まる文章または式」です。
命題は正しいか正しくないかが明確に判断できます。
命題の例
- \(x=3\)ならば\(2x=6\)である
- 自然数4は偶数である
- ライオンは生き物である
命題でない文章は正しいか判断をすることができません。
命題でない例
- 1000は大きい数である
- 車は速い
- 東京はすごい
命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。
命題が正しくないとき、その命題は偽であるといいます。
仮定と結論
命題の「~ならば」を仮定、「~である」を結論といいます。
例えば、実数についての命題「3より大きいならば、1より大きい」は真の命題です。
「3より大きいならば」が仮定で、「1より大きい」が結論です。
ここで仮定と結論を実数\(x\)に関する2つの条件に置き換えると
仮定 \(p:x>3\)
結論 \(q:x>1\)
これらを用いて「pならばq」と表現することができます。
このような命題を \(p \Rightarrow q\)と書きます。
否定とは
否定とは「条件の文章や式を打ち消すもの」です。
言葉にすると分かりづらいですが、名前の通り否定するだけです。
条件:「xは有理数である」
否定:「xは有理数ではない」すなわち「xは無理数である」
条件:「\(x>0\)」
否定:「\(x>0\)でない」すなわち「\(x \leq 0\)」
条件\(p\)の否定は条件\(\overline{p}\)と書きます。
逆・裏・対偶の関係
命題には「逆」「裏」「対偶」の3つの関係があります。
命題\(p \Rightarrow q\)に対して、
- 逆:\(q \Rightarrow p\)
- 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
- 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)
命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」のとき、逆・裏・対偶は以下のようになります。
命題 | nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数 |
---|---|
逆 | nは3の倍数 \(\Rightarrow\) nは6の倍数 |
裏 | nは6の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは3の倍数ではない |
対偶 | nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない |
命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」は真の命題ですが、逆と裏は偽です。
命題の真偽が「逆」と「裏」の真偽と一致するとは限らないので確認が必要です。
ここで覚えておいてほしいのが、「対偶の真偽は命題の真偽と一致する」ことです。
対偶「nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない」は真の命題です。
与えられた命題の真偽を証明するとき、対偶の真偽を確かめる方法で証明することもできます。
命題 まとめ
今回は数と式から命題と条件についてまとめました。
正しいか正しくないかが定まる文章または式仮定と結論命題の「~ならば」の部分を仮定、「~である」の部分を結論といいます。逆・裏・対偶命題\(p \Rightarrow q\)に対して、
- 逆:\(q \Rightarrow p\)
- 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
- 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)
他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。
お気に入り登録して定期試験前に確認してください。
最後まで読んでくださりありがとうございました。
みんなの努力が報われますように!
マストラ公式LINEアカウントを友達登録しよう!
マストラのLINE公式アカウントができました!
~実際の公式LINEのメニュー~
LINE画面からワンタップで各単元のまとめ記事が読めるようになるよ!
高校生向けの様々なコンテンツを配信予定!
勉強に関する相談や質問にも答えるので、気軽にメッセージを送ってね!
▼この機会にぜひ登録!
完全個別指導のスタディトレーナー
スタディトレーナーは高校生の勉強を支える学習コーチングサービスです。
学習塾やオンライン家庭教師とは違い、365日いつでも質問や相談ができます。
目標に合わせた学習計画で、あなたの志望校合格を実現させます。
スタディトレーナーが行う
7つのサポート
- 完全個別指導で苦手を克服!
- 勉強のやり方から教えるので安心!
- 目標から逆算した学習計画の作成
- 1人ひとりに合った参考書をお届け
- 映像授業で予習復習もバッチリ
- 24時間365日LINEで質問可能
- 進路相談もいつでも対応!
無料体験授業から始められるので、お気軽に申し込み下さい。