実数とは?実数に含まれるもの&実数でないものを具体例で解説

実数とは?ルートや小数は実数?実数の定義を解説!

「どれが実数か分からない」
「実数の具体例を教えて欲しい」

今回は実数に関するこんな悩みを解決します。

高校生
どれが実数なのかよく分かっていなくて...

 

数学では、"実数"という言葉がよく出てきますね。

「なにが実数に含まれるんだっけ...」

高校生の僕もあまり分かっていませんでした。

 

結論から言うと、実数とは「有理数と無理数の総称」です。

実数とは?

実数に含まれるもの

 

高校生数学の範囲で言うと、虚数以外はすべて実数です。

 

とても簡潔に結論だけを述べましたが、まだ完全な理解には至っていない方も多いでしょう。

本記事では実数の定義や具体例について解説しています。

実数でないものの例も紹介しているのでぜひ参考にしてください。

記事の内容

実数とは"有理数"と"無理数"の総称

まず、実数とは「有理数と無理数の総称」を表します。

高校数学で習う範囲で言うと、虚数以外の数はすべて実数に含まれます。

実数とは?

なので、分数やルート、πなども実数に含まれます。

実数の例

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333...&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525...&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356...\\
\pi =3.14159265...
\end{eqnarray}

 

高校生
有理数と無理数ってなんでしたっけ?
つぎは有理数と無理数の違いを確認するよ!
シータ

有理数と無理数の違い

実数は「有理数と無理数の総称」です。

ここで、「そもそも"有理数"と"無理数"って何?」という方もいますよね。

有理数と無理数

実数をバッチリと理解するために、有理数と無理数についても確認しましょう。

有理数とは?

有理数とは「分数の形で表せる数」を指します。

例としては以下のようなものがあります。

有理数と無理数の違い

整数ならばどんな数でも分数にすることが可能ですね。

\[\displaystyle 3=\frac{3}{1},-2=-\frac{2}{1}\]

 

次に、0,5や0,125のような有限な小数を有限小数といいます。

有限小数は\(10^{n}\)を分母にすることで、分数で表すことができます。

有限小数\(\displaystyle =\frac{整数}{10^{n}}\)

\[\displaystyle 0.05=\frac{5}{100}\]

\[\displaystyle 0.1234=\frac{1234}{10000}\]

 

無限小数のなかでも、同じ数字を繰り返すものを循環小数といいました。

循環小数を分数に直すには、ひと手間加えます。

循環小数\(0.3333\cdots\)を例にすると、

有理数と無理数の違い

有理数と無理数の違い

したがって、

\begin{eqnarray}
9x=3\\
\displaystyle x=\frac{1}{3}
\end{eqnarray}

 

循環小数を分数に直す方法は「循環小数の例と分数に直す方法」にて詳しく解説しています。

無理数とは?

一方で、「分数で表せない数」を無理数といいます。

無理数だと判断するのは簡単で、ルートや\(\pi\)などの循環しない小数が無理数です。

有理数と無理数

無理数とは?

無理数⇒循環しない小数

\(\sqrt{2},-\sqrt{5},\pi\)など

高校生
有理数と無理数を合わせて実数というんだね!
そういうこと!それぞれの言葉の定義は覚えておこう!
シータ

実数の例

有理数と無理数について解説しましたが、改めて実数の具体例を確認しましょう。

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333...&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525...&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356...\\
\pi =3.14159265...
\end{eqnarray}

実数でないものの例

実数の具体例を確認しましたが、逆に実数でないものの例も確認しましょう。

実数でない数には、虚数四次元数などが含まれます。

・虚数
\[2−5i,5+7i\]

・四次元数
\[a+bi+cj+dk\]

虚数とは複素数を表す数で、\(i^{2}=−1\)を満たす\(i\)を持つ数です。

複素数の例:\(2−5i,5+7i\)

四次元数とは複素数をさらに拡張したものです。

四次元数の一般項:\(a+bi+cj+dk\)(\(a,b,c,d\)は実数)

実数 まとめ

今回は実数の定義と具体例についてまとめました。

実数とは?

実数 まとめ

実数:有理数と無理数の総称

有理数:分数で表せる数
無理数:分数で表せない数

実数の例

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333...&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525...&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356...\\
\pi =3.14159265...
\end{eqnarray}

実数はこれからもずっと使う言葉なので、必ず覚えておきましょう。

命題と条件について別の記事で解説しています。

命題とは?命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係
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必要条件・十分条件とは?違いと見分け方を分かりやすく解説!
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  • この記事を書いた人

ゆうや

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指導歴7年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで250名以上を指導。「オンライン指導スタディトレーナー」代表。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。

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