数と式

実数とは?ルートや小数は実数?実数の定義を解説!

実数とは?ルートや小数は実数?実数の定義を解説!

「どれが実数か分からない」
「実数の具体例を教えて欲しい」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
なにが実数なのかよく分かっていなくて...

 

数学の問題では、「実数」という言葉がよく出てきます。

実数とは「有理数と無理数の総称」です。

実数とは?

簡単に言うと、普段の生活で目にする数はすべて実数です。

逆に、実数でない数には虚数四次元数が含まれます。

 

本記事では実数の定義や具体例について解説しています。
実数と実数でないものは正しく理解しておきましょう。

記事の内容

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実数とは?

まず、実数とは「有理数と無理数の総称」を表します。

私たちが普段の生活で関わる数はすべて実数です。

実数とは?

高校生
有理数と無理数ってなんでしたっけ?
つぎは有理数と無理数の違いを確認するよ!
シータ

有理数と無理数の違い

実数とは「有理数と無理数の総称」でした。

つぎは有理数と無理数の違いについて解説します。

有理数とは?

有理数とは「分数の形で表せる数」を指します。

例としては以下のようなものがあります。

有理数と無理数の違い

整数ならばどんな数でも分数にすることが可能ですね。

\[\displaystyle 3=\frac{3}{1},-2=-\frac{2}{1}\]

 

次に、0,5や0,125のような有限な小数を有限小数といいます。

有限小数は\(10^{n}\)を分母にすることで、分数で表すことができます。

有限小数\(\displaystyle =\frac{整数}{10^{n}}\)

 

無限小数のなかでも、同じ数字を繰り返す小数を循環小数といいます。

循環小数を分数に直すには、ひと手間加える必要があります。

循環小数\(0.3333\cdots\)を例にすると、

有理数と無理数の違い

有理数と無理数の違い

\begin{eqnarray}
9x=3\\
\displaystyle x=\frac{1}{3}
\end{eqnarray}

要チェック!

循環小数の分数に直し方はこちらの記事で解説しています。

循環小数の例と分数に直す方法

無理数とは?

一方で、「分数で表せない数」を無理数といいます。

無理数だと判断するのは簡単で、ルートや\(\pi\)などの循環しない小数が無理数です。

有理数と無理数

無理数とは?

無理数⇒循環しない小数

\(\sqrt{2},-\sqrt{5},\pi\)など

高校生
有理数と無理数を合わせて実数というんだね!
そういうこと!それぞれの言葉の定義は覚えておこう!
シータ

実数の例

有理数と無理数について解説しましたが、改めて実数の具体例を確認しましょう。

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333...&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525...&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356...\\
\pi =3.14159265...
\end{eqnarray}

実数でないものの例

実数の具体例を確認しましたが、逆に実数でないものの例も確認しましょう。

実数でない数には、虚数四次元数などが含まれます。

 

虚数とは複素数を表す数で、\(i^{2}=−1\)を満たす\(i\)を持つ数です。

複素数の例:\(2−5i,5+7i\)

四次元数とは複素数をさらに拡張したものです。

四次元数の一般項:\(a+bi+cj+dk\)(\(a,b,c,d\)は実数)

実数 まとめ

今回は実数の定義と具体例についてまとめました。

実数のまとめ

実数:有理数と無理数の総称

有理数:分数で表せる数

無理数:分数で表せない数

実数の例

・整数
\[-3,-2,-1,0,1,2,3\]

・有限小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.125&=&\frac{1}{8}\\
\displaystyle 0.0001&=&\frac{1}{10000}
\end{eqnarray}

・循環小数
\begin{eqnarray}
\displaystyle 0.3333...&=&\frac{1}{3}\\
\displaystyle 0.2525...&=&\frac{25}{99}
\end{eqnarray}

・無理数(循環しない小数)
\begin{eqnarray}
\sqrt{2}=1.41421356...\\
\pi =3.14159265...
\end{eqnarray}

実数はこれからもずっと使う言葉なので、必ず覚えておきましょう。

命題と条件について別の記事で解説しています。

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それでは最後まで読んでくださりありがとうございました。

あなたの努力が報われますように!

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