命題とは?命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係

命題とは?命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係

今回は命題と条件に関する悩みを解決していきます。

  • 命題ってなに?
  • 否定とは?
  • 逆、裏、対偶の意味が曖昧

ここが曖昧な生徒が多いので、一緒にしっかりと理解をしておきましょう!

きっと感じているほど難しくないので、理解しておかないともったいない

 

今回は命題の意味に加え、「否定」「逆・裏・対偶」の意味も紹介します。

記事の内容
・命題とは?
・仮定と結論
・否定とは
・逆・裏・対偶

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命題とは?

命題とは「正しいか正しくないかが定まる文章または式」です。

命題は正しいか正しくないかが明確に判断できます。

命題の例

  • \(x=3\)ならば\(2x=6\)である
  • 自然数4は偶数である
  • ライオンは生き物である

命題でない文章は正しいか判断をすることができません。

命題でない例

  • 1000は大きい数である
  • 車は速い
  • 東京はすごい

命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。

命題が正しくないとき、その命題は偽であるといいます。

仮定と結論

命題の「~ならば」を仮定「~である」を結論といいます。

例えば、実数についての命題「3より大きいならば、1より大きい」は真の命題です。

「3より大きいならば」が仮定で、「1より大きい」が結論です。

ここで仮定と結論を実数\(x\)に関する2つの条件に置き換えると

仮定 \(p:x>3\)
結論 \(q:x>1\)

これらを用いて「pならばq」と表現することができます。

このような命題を \(p \Rightarrow q\)と書きます。

否定とは

否定とは「条件の文章や式を打ち消すもの」です。

言葉にすると分かりづらいですが、名前の通り否定するだけです。

条件:「xは有理数である」
否定:「xは有理数ではない」すなわち「xは無理数である」

条件:「\(x>0\)」
否定:「\(x>0\)でない」すなわち「\(x \leq 0\)」

条件\(p\)の否定は条件\(\overline{p}\)と書きます。

逆・裏・対偶の関係

命題には「逆」「裏」「対偶」の3つの関係があります。

逆・裏・対偶の関係

命題\(p \Rightarrow q\)に対して、

  • 逆:\(q \Rightarrow p\)
  • 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
  • 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」のとき、逆・裏・対偶は以下のようになります。

命題nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数
nは3の倍数 \(\Rightarrow\) nは6の倍数
nは6の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは3の倍数ではない
対偶nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない

 

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」は真の命題ですが、逆と裏は偽です。

命題の真偽が「逆」と「裏」の真偽と一致するとは限らないので確認が必要です。

ここで覚えておいてほしいのが、「対偶の真偽は命題の真偽と一致する」ことです。

対偶「nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない」は真の命題です。

与えられた命題の真偽を証明するとき、対偶の真偽を確かめる方法で証明することもできます。

命題 まとめ

今回は数と式から命題と条件についてまとめました。

命題とは?
正しいか正しくないかが定まる文章または式仮定と結論命題の「~ならば」の部分を仮定、「~である」の部分を結論といいます。逆・裏・対偶命題\(p \Rightarrow q\)に対して、

  • 逆:\(q \Rightarrow p\)
  • 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
  • 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)

 

他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。

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最後まで読んでくださりありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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