数学ⅠA

命題とは?命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係

命題とは?命題の意味と「逆・裏・対偶」の関係

こんにちは、ゆうやです。
 
今回は命題と条件に関する悩みを解決していきます。

  • 命題ってなに?
  • 否定とは?
  • 逆、裏、対偶の意味が曖昧

 
ここが曖昧な生徒が多いので、一緒にしっかりと理解をしておきましょう!

きっと感じているほど難しくないので、理解しておかないともったいない

命題の意味をしっかり覚えよう

 

今回は命題の意味に加え、「否定」「逆・裏・対偶」の意味も紹介します。

記事の内容
・命題とは?
・仮定と結論
・否定とは
・逆・裏・対偶

 

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

命題とは?

命題とは「正しいか正しくないかが定まる文章または式」です。

命題は正しいか正しくないかが明確に判断できます。

命題の例

  • \(x=3\)ならば\(2x=6\)である
  • 自然数4は偶数である
  • ライオンは生き物である

命題でない文章は正しいか判断をすることができません。

命題でない例

  • 1000は大きい数である
  • 車は速い
  • 東京はすごい

命題が正しいとき、その命題は真であるといいます。

命題が正しくないとき、その命題は偽であるといいます。

仮定と結論

命題の「~ならば」を仮定「~である」を結論といいます。

例えば、実数についての命題「3より大きいならば、1より大きい」は真の命題です。

「3より大きいならば」が仮定で、「1より大きい」が結論です。

ここで仮定と結論を実数\(x\)に関する2つの条件に置き換えると

仮定 \(p:x>3\)
結論 \(q:x>1\)

これらを用いて「pならばq」と表現することができます。

このような命題を \(p \Rightarrow q\)と書きます。

否定とは

否定とは「条件の文章や式を打ち消すもの」です。

言葉にすると分かりづらいですが、名前の通り否定するだけです。

条件:「xは有理数である」
否定:「xは有理数ではない」すなわち「xは無理数である」

条件:「\(x>0\)」
否定:「\(x>0\)でない」すなわち「\(x \leq 0\)」

条件\(p\)の否定は条件\(\overline{p}\)と書きます。

逆・裏・対偶の関係

命題には「逆」「裏」「対偶」の3つの関係があります。

逆・裏・対偶の関係

命題\(p \Rightarrow q\)に対して、

  • 逆:\(q \Rightarrow p\)
  • 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
  • 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」のとき、逆・裏・対偶は以下のようになります。

命題nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数
nは3の倍数 \(\Rightarrow\) nは6の倍数
nは6の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは3の倍数ではない
対偶nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない

 

命題「nは6の倍数 \(\Rightarrow\) nは3の倍数」は真の命題ですが、逆と裏は偽です。

命題の真偽が「逆」と「裏」の真偽と一致するとは限らないので確認が必要です。

ここで覚えておいてほしいのが、「対偶の真偽は命題の真偽と一致する」ことです。

対偶「nは3の倍数の倍数ではない \(\Rightarrow\) nは6の倍数ではない」は真の命題です。

与えられた命題の真偽を証明するとき、対偶の真偽を確かめる方法で証明することもできます。

命題 まとめ

今回は数と式から命題と条件についてまとめました。

命題とは?
 正しいか正しくないかが定まる文章または式

仮定と結論

命題の「~ならば」の部分を仮定、「~である」の部分を結論といいます。

逆・裏・対偶

命題\(p \Rightarrow q\)に対して、

  • 逆:\(q \Rightarrow p\)
  • 裏:\(\overline{p} \Rightarrow \overline{q}\)
  • 対偶:\(\overline{q} \Rightarrow \overline{p}\)

 

他にも、教科書に内容に沿った解説記事を挙げています。

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最後まで読んでくださりありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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