「二重根号ってなに？」
「二重根号の外し方が分からない」
今回は二重根号に関する悩みを解決します。
二重根号の外し方は知らないと手も足も出ないですよね。
簡単な公式なので、必ず覚えておきたい公式の１つです。
二重根号の外し方
\(a>0,b>0\)とすると
\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
\(a>b>0\)のとき
\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]
本記事では二重根号の外し方について解説してます。
2がないパターンや、マイナスの二重根号についても解説してるのでぜひ最後までご覧ください。
記事の内容
そもそも根号とは？
二重根号の解説をする前に、「根号」について確認しておきましょう。
根号というと難しいですが、ルート\(\sqrt{ }\)のことを指しています。
\[(\sqrt{5})^{2}=5\]
\[(-\sqrt{5})^{2}=5\]
\[-(\sqrt{5})^{2}=-5\]
根号の中身に文字が入っているときは、文字の符号によって場合分けが必要なので要注意です。
二重根号の外し方
二重根号とはルートのなかにルートがある式を指します。
\[\sqrt{5+2\sqrt{6}}、\sqrt{5-2\sqrt{6}}\]
二重根号は以下の公式を使うと、簡単な形に変えることができます。
二重根号の外し方
\(a>0,b>0\)とすると
\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
\(a>b>0\)のとき
\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]
具体的に二重根号を外す計算をやってみましょう。
まずは加法の形をした二重根号を外します。
足して8、掛けて15の数の組み合わせを考えると、\(a=5,b=3\)の組がありました。
よって、
\begin{eqnarray}
\sqrt{8+2\sqrt{15}}&=&\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot 3}}\\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{eqnarray}
つぎに減法の形をした二重根号を外します。
足して12、掛けて35の数の組み合わせを考えると、\(a=7,b=5\)の組がある。
よって、
\begin{eqnarray}
\sqrt{12-2\sqrt{35}}&=&\sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \cdot 5}}\\
&=&\sqrt{7}-\sqrt{5}
\end{eqnarray}
二重根号の公式《証明》
二重根号の公式の証明をしておきましょう。
二重根号の外し方
\(a>0,b>0\)とすると
\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
\(a>b>0\)のとき
\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]
証明
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)であることを活用します。
\begin{eqnarray}
\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}&=&\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}\\
&=&|\sqrt{a}+\sqrt{b}|
\end{eqnarray}
\(\sqrt{a}\)も\(\sqrt{b}\)も正の数なので
\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
減法も同様に
\begin{eqnarray}
\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}&=&\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\\
&=&|\sqrt{a}-\sqrt{b}|
\end{eqnarray}
\(a>b>0\)ならば
\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]
2がない二重根号
二重根号の計算には以下のようなものもあります。
こういった二重根号を外すには工夫が必要です。
2を作るパターン
2を作るパターン
次の式を簡単にせよ。
\[\sqrt{4+\sqrt{15}}\]
二重根号は足してAの部分、掛けてBの部分になる、\(a,b\)の組み合わせを探します。
しかし、このままだとBの根号の前に２がないので無理やり式変形をします。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{15}}&=&\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}
\end{eqnarray}
これで二重根号を外すことができました。
2になるように調整するパターン
2をなるように調整するパターン
次の式を簡単にせよ。
\[\sqrt{14-6\sqrt{5}}\]
根号の係数が6なので、2になるように調整します。
\[\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14-2\sqrt{45}}\]
こうなってしまえば、二重根号の公式に当てはめて、
足して14、掛けて45になる数の組み合わせは、\((a,b)=(9,5)\)
\begin{eqnarray}
\sqrt{14-6\sqrt{5}}&=&\sqrt{14-2\sqrt{45}}\\
&=&\sqrt{9}-\sqrt{5}\\
&=&3-\sqrt{5}
\end{eqnarray}
よって、二重根号を外すことができました。
二重根号《練習問題》
二重根号の式を簡単にする問題を解いてみましょう。
二重根号を外す
次の二重根号を簡単にしよう。
\((1) \sqrt{7+2\sqrt{10}}\)
\((2) \sqrt{5+\sqrt{21}}\)
\((3) \sqrt{18+8\sqrt{2}}\)
(1)の解説
これは二重根号の公式がそのまま使えるパターンですね。
\begin{eqnarray}
\sqrt{7+2\sqrt{10}}&=&\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}}\\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{2}
\end{eqnarray}
(2)の解説
これは2がないので工夫が必要です。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{21}}&=&\sqrt{\frac{10+2\sqrt{21}}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10+2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{14}+\sqrt{6}}{2}
\end{eqnarray}
(3)の解説
これは2をつくる工夫が必要です。
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{18+8\sqrt{2}}&=&\sqrt{18+2\sqrt{32}}\\
\displaystyle &=&\sqrt{16}+\sqrt{2}\\
\displaystyle &=&4+\sqrt{2}\\
\end{eqnarray}
二重根号の外し方 まとめ
今回は二重根号の外し方についてまとめました。
二重根号の外し方 まとめ
二重根号は以下の公式を使うと、簡単な形に変えることができます。
二重根号の外し方
\(a>0,b>0\)とすると
\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]
\(a>b>0\)のとき
\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]
公式は簡単ですが、問題から二重根号を外せる形に変形する必要があります。
慣れれば難しい計算ではないので、たくさん問題を解きましょう。
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