数と式

二重根号の外し方を解説!マイナスや2がない時の対処法!

二重根号の外し方を解説!マイナスや2がない時の対処法!

「二重根号ってなに?」
「二重根号の外し方が分からない」
今回は二重根号に関する悩みを解決します。

高校生
ルートのなかにルートがあってどうしていいか分からなくて...

二重根号の外し方は知らないと手も足も出ないですよね。

簡単な公式なので、必ず覚えておきたい公式の1つです。

二重根号の外し方

\(a>0,b>0\)とすると

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

\(a>b>0\)のとき

\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

本記事では二重根号の外し方について解説してます。

2がないパターンや、マイナスの二重根号についても解説してるのでぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

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そもそも根号とは?

二重根号の解説をする前に、「根号」について確認しておきましょう。

根号というと難しいですが、ルート\(\sqrt{ }\)のことを指しています。

\[(\sqrt{5})^{2}=5\]

\[(-\sqrt{5})^{2}=5\]

\[-(\sqrt{5})^{2}=-5\]

根号の中身に文字が入っているときは、文字の符号によって場合分けが必要なので要注意です。

二重根号の前に根号の確認

二重根号の外し方

二重根号とはルートのなかにルートがある式を指します。

\[\sqrt{5+2\sqrt{6}}、\sqrt{5-2\sqrt{6}}\]

 

二重根号は以下の公式を使うと、簡単な形に変えることができます。

二重根号の外し方

\(a>0,b>0\)とすると

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

\(a>b>0\)のとき

\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

具体的に二重根号を外す計算をやってみましょう。

まずは加法の形をした二重根号を外します。

二重根号とは?

足して8、掛けて15の数の組み合わせを考えると、\(a=5,b=3\)の組がありました。

よって、

\begin{eqnarray}
\sqrt{8+2\sqrt{15}}&=&\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot 3}}\\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{3}
\end{eqnarray}

 

つぎに減法の形をした二重根号を外します。

二重根号とは?

足して12、掛けて35の数の組み合わせを考えると、\(a=7,b=5\)の組がある。

よって、

\begin{eqnarray}
\sqrt{12-2\sqrt{35}}&=&\sqrt{(7+5)-2\sqrt{7 \cdot 5}}\\
&=&\sqrt{7}-\sqrt{5}
\end{eqnarray}

高校生
公式は分かってけど、問題を見て気づけるかなぁ...
たくさん問題を解いて慣れていくしかないね
シータ

二重根号の公式《証明》

二重根号の公式の証明をしておきましょう。

二重根号の外し方

\(a>0,b>0\)とすると

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

\(a>b>0\)のとき

\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

証明

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)であることを活用します。

\begin{eqnarray}
\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}&=&\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}\\
&=&|\sqrt{a}+\sqrt{b}|
\end{eqnarray}

\(\sqrt{a}\)も\(\sqrt{b}\)も正の数なので

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

 

減法も同様に

\begin{eqnarray}
\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}&=&\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\\
&=&|\sqrt{a}-\sqrt{b}|
\end{eqnarray}

\(a>b>0\)ならば

\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

2がない二重根号

二重根号の計算には以下のようなものもあります。

2がない二重根号とは?

こういった二重根号を外すには工夫が必要です。

2を作るパターン

2を作るパターン

次の式を簡単にせよ。

\[\sqrt{4+\sqrt{15}}\]

2を作り出すパターン

二重根号は足してAの部分、掛けてBの部分になる、\(a,b\)の組み合わせを探します。

しかし、このままだとBの根号の前に2がないので無理やり式変形をします。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{4+\sqrt{15}}&=&\sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac {\sqrt{6}+\sqrt{10}}{2}
\end{eqnarray}

これで二重根号を外すことができました。

2になるように調整するパターン

2をなるように調整するパターン

次の式を簡単にせよ。

\[\sqrt{14-6\sqrt{5}}\]

根号の係数が6なので、2になるように調整します。

\[\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{14-2\sqrt{45}}\]

こうなってしまえば、二重根号の公式に当てはめて、

足して14、掛けて45になる数の組み合わせは、\((a,b)=(9,5)\)

\begin{eqnarray}
\sqrt{14-6\sqrt{5}}&=&\sqrt{14-2\sqrt{45}}\\
&=&\sqrt{9}-\sqrt{5}\\
&=&3-\sqrt{5}
\end{eqnarray}

よって、二重根号を外すことができました。

二重根号《練習問題》

二重根号の式を簡単にする問題を解いてみましょう。

二重根号を外す

次の二重根号を簡単にしよう。

\((1) \sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

\((2) \sqrt{5+\sqrt{21}}\)

\((3) \sqrt{18+8\sqrt{2}}\)

(1)の解説

これは二重根号の公式がそのまま使えるパターンですね。

\begin{eqnarray}
\sqrt{7+2\sqrt{10}}&=&\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5 \cdot 2}}\\
&=&\sqrt{5}+\sqrt{2}
\end{eqnarray}

(2)の解説

これは2がないので工夫が必要です。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{5+\sqrt{21}}&=&\sqrt{\frac{10-2\sqrt{21}}{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{10-2\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\
\displaystyle &=&\frac{\sqrt{14}-\sqrt{6}}{2}
\end{eqnarray}

(3)の解説

これは2をつくる工夫が必要です。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sqrt{18+8\sqrt{2}}&=&\sqrt{18+2\sqrt{32}}\\
\displaystyle &=&\sqrt{16}+\sqrt{2}\\
\displaystyle &=&4+\sqrt{2}\\
\end{eqnarray}

二重根号の外し方 まとめ

今回は二重根号の外し方についてまとめました。

二重根号の外し方 まとめ

二重根号は以下の公式を使うと、簡単な形に変えることができます。

二重根号の外し方

\(a>0,b>0\)とすると

\[\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]

\(a>b>0\)のとき

\[\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\]

公式は簡単ですが、問題から二重根号を外せる形に変形する必要があります。

慣れれば難しい計算ではないので、たくさん問題を解きましょう。

 

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