数学ⅠA 高校数学

(a+b)3乗の展開公式と覚え方を解説!

「3乗の計算が苦手」
「3乗の展開公式が覚えられない」

こんな悩みを解決する記事を書いていきます。

 

今日の課題次の式を展開せよ。
 \((x+3)^3\)

こんな問題よく見ますよね。
今回はこの問題を解けるようにしていきましょう!

毎回展開するのが大変なんですよね

 
3乗の展開公式を使えるようになれば、計算もスムーズになるので今日でマスターしましょう。

記事の内容
・(a+b)3乗の展開公式
・(a+b)3乗の展開公式の覚え方
・(a+b)3乗の展開公式<練習問題>

 
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では、(a+b)3乗の展開公式について解説していきます。

(a+b)3乗の展開公式

まず(a+b)3乗の展開は次のような公式になります。

\((a+b)^{3}\)の展開公式
\((a+b)^3=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

 

(a+b)3乗の展開公式 証明

証明は簡単で

\((a+b)^{3}\)
\(=(a+b)^{2}(a+b)\)
\(=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)\)
\(=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

\((a-b)^{3}\)
\(=(a-b)^{2}(a-b)\)
\(=(a^{2}-2ab+b^{2})(a-b)\)
\(=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

このようになります。

要するに、計算したらこうなっただけです(笑)

 

(a+b)3乗の公式使ってみる

では、冒頭のこの問題

今日のめあて次の式を展開せよ。
\((x+3)^3\)

展開公式に当てはめると
\((x+3)^{3}\)
\(=x^{3}+3x^{2}3+3x3^{2}+3^{3}\)
\(=x^{3}+9x^{2}+27x+27\)

公式を覚えているとその順番に代入するだけなので、やっぱり早いですね。

次は3乗の展開公式の覚え方を伝えていきます。

 

✅ この記事を読んだ方はこちらの記事も読まれています。 順列と組み合わせの違いを解説しました

【知らないと損】順列Pと組み合わせCの違いと"簡単"な見分け方

 

3乗の展開公式 覚え方

それでは展開公式の覚え方を伝授します。

合言葉は

3と21・12

です!

何のことかというと

3乗の展開の覚え方

3乗の展開公式はすべての項に3が入っています。

3乗の展開の覚え方

そして真ん中の2項の累乗が21・12となるようにかけてあげれば3乗の展開終了です。

合言葉は
「3と21・12」

 

3乗の展開公式<練習問題>

3乗の展開<練習問題>
では練習問題を解いて慣れていきましょう。

次の式を展開せよ。
\((x+2)^{3}\)

それでは3乗の展開公式に当てはめてみましょう。

合言葉は「3と21・12」

\((x+2)^{3}\)\(=x^{3}+3・x{2}・2+3・x・2^{2}+2^{3}\)

\(=x^{3}+6x{2}+12x+8\)

複雑な計算なので、計算ミスだけ気を付けてください。

計算ミスしたら公式覚えた意味もなくなっちゃいます。

次の式を展開せよ。
\((x-3)^{3}\)

次はマイナスの問題ですね!

\((a-b)^3=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

この公式を使っていきましょう!

\((x-3)^{3}\)\(=x^{3}-3・x{2}・3+3・x・3^{2}-3^{3}\)

\(=x^{3}-9x^{2}+27x-27\)

次の式を展開せよ。
\((3x+2)^{3}\)

最後は先頭の項に係数がある場合

でも恐れる必要はありません!

これも公式に従って代入するだけ

\((3x+2)^{3}\)\(=(3x)^{3}+3・(3x)^{2}・2+3・(3x)・2^{2}+2^{3}\)

\(=27x^{3}+54x^{2}+36x+8\)

 

ほら、問題なく解くことができました!

 

おわりに

今回は数学Ⅰの3乗の展開公式と覚え方についてまとめました。

教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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