数と式

【三乗の展開公式】(a±b)3乗の展開公式と覚え方を解説!

【三乗の展開公式】(a±b)3乗の展開公式と覚え方を解説!


「3乗の計算が苦手」
「3乗の展開公式が覚えられない」

こんな悩みを解決する記事を書いていきます。

 

今日の課題次の式を展開せよ。
\((x+3)^3\)

こんな問題よく見ますよね。
今回はこの問題を解けるようにしていきましょう!

高校生
毎回展開するのが結構大変なんですよ

3乗の展開公式が使いこなせれば、計算もスムーズになります!

ぜひ本記事を読んで今日でマスターしてください。

記事の内容

  • (a±b)3乗の展開公式
  • (a±b)3乗の展開公式の覚え方
  • (a±b)3乗の展開公式<練習問題>

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
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では、(a±b)3乗の展開公式について解説していきます。

(a±b)3乗の展開公式

\((a±b)^{3}\)の展開公式
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

(a±b)3乗の展開は上記のような式になります。

少し複雑に見えますが、3乗の展開公式は覚えてしまうのが良いでしょう

 

(a±b)3乗の展開公式 証明

\((a±b)^{3}\)の展開公式を証明していきましょう。

証明は計算していくだけなのでかなりシンプルです。

・\((a+b)^{3}\)の証明

\begin{eqnarray}
(a+b)^{3}&=&(a+b)^{2}(a+b)\\
&=&(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)\\
&=&a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\
\end{eqnarray}

・\((a+b)^{3}\)の証明

\begin{eqnarray}
(a-b)^{3}&=&(a-b)^{2}(a-b)\\
&=&(a^{2}-2ab+b^{2})(a-b)\\
&=&a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\
\end{eqnarray}

どちらも中学で習う展開公式を用いて、少しずつ展開していくことで証明ができました。

(a+b)3乗の公式使ってみる

では、冒頭の課題問題を実際に解いてみましょう。

今日の課題次の式を展開せよ。
\((x+3)^3\)

3乗の展開公式に代入しながら計算していきましょう。

\((a±b)^{3}\)の展開公式
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

 

\((x+3)^{3}\)
\(=x^{3}+3x^{2}\times{3}+3x\times{3^{2}}+3^{3}\)
\(=x^{3}+9x^{2}+27x+27\)

公式を覚えていると計算がかなり早くなります。

高校生
でも公式が覚えられなくて...
次は3乗の展開公式の覚え方を紹介するよ!
シータ

3乗の展開公式 覚え方

それでは3乗の展開公式の覚え方を紹介します。

合言葉は

3と21・12

です!

何のことかというと

3乗の展開公式の覚え方

3乗の展開公式はすべての項に3が入っています。

初めと終わりの項が3乗されるのは覚えやすいと思います。

覚えづらいのが中央の2項です。

3乗の展開公式の覚え方

中央の2項に関しては、2乗1乗・1乗2乗となるように掛け合わせたものを3倍すれば展開は終了です。

合言葉は
「3と21・12」

 

3乗の展開公式<練習問題>

3乗の展開公式<練習問題>
では練習問題を解いて慣れていきましょう。

次の式を展開せよ。
\((x+2)^{3}\)

それでは3乗の展開公式に当てはめてみましょう。

合言葉は「3と21・12」

\((x+2)^{3}\)

\(=x^{3}+3・x^{2}・2+3・x・2^{2}+2^{3}\)

\(=x^{3}+6x^{2}+12x+8\)

複雑な計算なので、計算ミスに気を付けてください。

計算ミスをすると公式を覚えた意味も無くなります。

次の式を展開せよ。
\((x-3)^{3}\)

次は符号がマイナスの問題です!

\((a-b)^3=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

この公式を使っていきましょう!

\((x-3)^{3}\)

\(=x^{3}-3・x^{2}・3+3・x・3^{2}-3^{3}\)

\(=x^{3}-9x^{2}+27x-27\)

次の式を展開せよ。
\((3x+2)^{3}\)

最後は先頭の項に係数がある問題です。

これも公式に従って代入するだけです。

\((3x+2)^{3}\)\(=(3x)^{3}+3・(3x)^{2}・2+3・(3x)・2^{2}+2^{3}\)

\(=27x^{3}+54x^{2}+36x+8\)

 

問題なく解くことができました!

 

\((a±b)^{3}\)の展開公式 まとめ

今回は数学Ⅱの3乗の展開公式と覚え方についてまとめました。

ポイント

\((a±b)^{3}\)の展開公式
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)

3乗の展開公式の覚え方
「3と2乗1乗・1乗2乗」
3乗の展開公式の覚え方

教科書に内容に沿って解説記事を載せていきます。
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では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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