数学ⅡB 高校数学

2次方程式の接線の求め方を解説!

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2次方程式の接線の求め方を解説!

 

二次方程式の接線ってどうやって求めるの?

 

さっそくですが、こんな問題見たことありませんか?

今回の課題1次の関数のグラフ上の点Aにおける接線の方程式を求めよ。
\(y=x^2+2x+3 A(0,3)\)

 

こんな問題とか

 

今回の課題2次の関数のグラフに、与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。
\(y=x^2+3x+4 (0,0)\)

 

こんな問題です。

 

よくわからないけど、めっちゃ難しそう

 

こんなイメージを持った人が多いと思います。

しかし、接線の方程式はやり方を覚えたら全然大したことないです。

むしろラッキー問題です!

 

本記事では、2次方程式の接線の求め方を伝えていきたいと思います。

記事の内容
・接線は直線
・接点が分かっているとき
・接線の通る点が分かっているとき

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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接線は1次関数

接線は1次関数

 

中学校の復習になりますが

直線の方程式は1次関数でしたね。

 
接線は1次関数

こんな式を覚えていますか?

\(a\)が傾き(変化の割合)で、\(b\)が切片でした。

 

直線の方程式が求められる条件として、

  • 通る点の座標が2つ分かっているとき
  • 通る点の座標1つと傾きが分かっているとき
  • 通る点の座標1つと切片が分かっているとき

この3つがありました。

 

どうでしょう、覚えていましたか??

今回の2次方程式の接線は2つ目の条件

「通る点の座標1つと傾きが分かっているとき」

を使って求めることがほとんどです。

 

やるべきは大きく分けて2ステップ!

1.接線の傾きを求める

2.通る点を代入して完成!

まずは傾きの求め方を伝授していきます。

 

 

接線の傾きを求める

 

ステップ1 接線の傾きを求める

安心してください、めっちゃ簡単です。

接線の傾きは、微分して接点の\(x\)座標を代入すると出ます。

 

例えば、

\(y=x^2+2x+3\)のグラフ上で(0,3)における接線の方程式を求めよ。

 

この場合、まず\(y=x^2+2x+3\)を\(f(x)\)とでも置きましょう。

\(f(x)=x^2+2x+3\)

この方程式を微分します。

\(f^{\prime}(x)=2x+2\)

 

次に微分した式に、接点の\(x\)座標を代入します。

接点が(0,3)だったので、\(x=0\)を代入

\(f^{\prime}(0)=2\times{0}+2=2\)

つまり傾きは2となります。

 

えぇ!!これでいいの!?

そうなんです、これで接線の傾きを求めることができました。

 

二次方程式の接点が分かる接線

 

接線の傾きの出し方は分かったので、接線の方程式を求めていきます。

接点の座標を代入して引くだけです。

公式としてはこう!

微分可能な開数\(y=f(x)\)上の点\(A(a, f(a))\)における接線の方程式は,\(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)

二次方程式の接点が分かる接線

 

冒頭に登場したこの問題で練習していきます。

今回の課題1次の関数のグラフ上の点Aにおける接線の方程式を求めよ。
\(y=x^2+2x+3 A(0,3)\)

 

まずは接線の傾きを出します。

\(f(x)=x^2+2x+3 A(0,3)\)

\(f^{\prime}(x)=2x+2\)

微分した式に、接点の\(x\)座標を代入します。

接点が(0,3)だったので、\(x=0\)を代入

\(f^{\prime}(0)=2\times{0}+2=2\)

傾きが2と分かりました。

傾きは接線の方程式のここに代入します。

二次方程式の接点が分かる接線

次に接線の座標(0,3)を代入するのですが、ここに代入します。

二次方程式の接点が分かる接線

つまり、

\(y-3=2(x-0)\)

となります。

これを式変形して、

\(y=2x+3\)

これが\(y=x^2+2x+3\)上の点\(A(0,3)\)における接線の方程式です。

 

通る点が分かる二次方程式の接線

 

最後にもう一つ。

分かっている座標がグラフ上の点ではなく、接線が通る点のパターンです。

 

今回の課題2次の関数のグラフに、与えられた点から引いた接線の方程式を求めよ。
\(y=x^2+3x+4 (0,0)\)

 

これもまず傾きを求めていきます。

\(f(x)=x^2+3x+4\)

\(f^{\prime}(x)=2x+3\)

接点の座標を代入したいのですが問題発生!

与えられている点が接点の座標ではないのです。

 

ひとまず接点を\((a,a^2+3a+4)\)とでもしましょう。

\(f^{\prime}(a)=2a+3\)

点\((a,a^2+3a+4)\)における接線の傾きが\(2a+3\)だとわかりました。

接線の公式に代入して、

\(y-(a^2+3a+4)=(2a+3)(x-a)\)

分かりずらいけど、これが接線の方程式を表しています。

 

これが(0,0)を通れば問題と一致するので、x,yにそれぞれ代入して、

\(-a^2-3a-4=-2a^2-3a\)

\(a^2-4=0\)

\((a+2)(a-2)=0\)

\(a=-2,2\)

 

あれ、aが2つ出たぞ...?

疑問に思った方は勘が鋭いですね!

なぜ接点の\(x\)座標を表す\(a\)が2つ出たのかというと、

イメージとしてはこんな感じ!

通る点が分かる二次方程式の接線

 

接線が点(0,0)を通る接点が2つあるということですね!

それぞれの\(a\)を接線の方程式に代入します。

\(a=-2\)のとき

\(y-\{(-2)^2+3(-2)+4\}=\{(2(-2)+3)\}\{(x-(-2)\}\)

\(y-2=-(x+2)\)

\(y=-x\)

\(a=2\)のとき

\(y-(2^2+3\times{2}+4)=(2\times{2}+3)(x-2)\)

\(y-14=7(x-2)\)

\(y=7x\)

したがって、\(y=x^2+3x+4\)の接線で、点\((0,0)\)と通る接線の方程式は

\(y=-x\)
\(y=7x\)

 

2次方程式の接線 おわりに

 

今回は数学Ⅱの微分法から接線の方程式の求め方をまとめました。

少し長い分になってしまいましたが、決して難しくないのでじっくりと目を通してみてください。

練習すれば点数が取れるようになる単元です。

 

他にも教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げているので、

お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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