2次関数の接線の求め方を解説!

2次関数の接線の求め方を解説!

「接線ってどうやって求めるの?」
「接線の方程式を求めたい」
今回は二次関数の接線に関する悩みを解決します。

高校生
接線ってどうやって求めるんでしたっけ...

 

さっそくですが、こんな問題見たことありませんか?

練習問題

次の関数の点(0,3)における接線の方程式を求めよう。

\[y=x^2+2x+3\]

こんな問題とか

 

練習問題

次の関数のグラフに、点(0,0)から引いた接線の方程式を求めよ。

\[y=x^2+3x+4\]

こんな問題です。

 

「難しそう」と思った方が多いと思います。

しかし、接線の求め方はやり方を覚えたら大したことないです。

 

本記事では2次関数の接線の求め方を解説します。

この記事を参考にして、接線を求められるようにしましょう。

記事の内容

『マストラ』運営者情報

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴6年
教えてきた生徒の数150人以上

 

接線は1次関数

接線は1次関数

 

中学校の復習になりますが、直線は1次関数でしたね。

接線は1次関数

こんな式を覚えていますか?

\(a\)が傾き(変化の割合)で、\(b\)が切片でした。

 

直線の方程式が求められる条件として、

  • 通る点の座標が2つ分かっているとき
  • 通る点の座標1つと傾きが分かっているとき
  • 通る点の座標1つと切片が分かっているとき

この3つがありました。

 

どうでしょう、覚えていましたか?

2次方程式の接線は2つ目の条件

「通る点の座標1つと傾きが分かっているとき」

を使って求めることがほとんどです。

 

やるべきは大きく分けて2ステップ!

1.接線の傾きを求める

2.通る点を代入して完成!

まずは傾きの求め方を伝授していきます。

接線の求め方

接線は2つのステップで求めることができます。

fa-check-circle

シータ
やることはたったこれだけ!

step
1
接線の傾きを求める

まずは接線の傾きから求めていきましょう。

接線の傾きは、微分して接点の\(x\)座標を代入すると出ます。

 

例えば、

\(y=x^2+2x+3\)のグラフ上で(0,3)における接線の方程式を求めよ。

 

この場合、まず\(y=x^2+2x+3\)を\(f(x)\)とでも置きましょう。

\[f(x)=x^2+2x+3\]

この方程式を微分します。

\[f^{\prime}(x)=2x+2\]

 

次に微分した式に、接点の\(x\)座標を代入します。

接点が(0,3)だったので、\(x=0\)を代入

\[f^{\prime}(0)=2\times{0}+2=2\]

つまり傾きは2となります。

これで接線の傾きを求めることができました。

 

step
2
通る点を代入

接線の傾きの出し方は分かったので、接線の方程式を求めていきます。

接点の座標を代入して引くだけです。

公式としてはこう!

微分可能な関数\(y=f(x)\)上の点\(A(a, f(a))\)における接線の方程式は,\(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)

二次方程式の接点が分かる接線

 

\(y=x^2+2x+3\)のグラフ上で(0,3)の接線を考えているので、

\[y-3=f^{\prime}(0)(x-0)\]

これを計算すると、

\[y=2x+3\]

これで接線を求めることができました。

接点が分かっている場合

冒頭に登場したこの問題でも練習していきます。

練習問題

次の関数の点(0,3)における接線の方程式を求めよう。

\[y=x^2+2x+3\]

まずは接線の傾きを出します。

\(f(x)=x^2+2x+3 A(0,3)\)

\(f^{\prime}(x)=2x+2\)

微分した式に、接点の\(x\)座標を代入します。

接点が(0,3)だったので、\(x=0\)を代入

\(f^{\prime}(0)=2\times{0}+2=2\)

傾きが2と分かりました。

傾きは接線の方程式のここに代入します。

二次方程式の接点が分かる接線

次に接線の座標(0,3)を代入するのですが、ここに代入します。

二次方程式の接点が分かる接線

つまり、

\(y-3=2(x-0)\)

となります。

これを式変形して、

\(y=2x+3\)

これが\(y=x^2+2x+3\)上の点\(A(0,3)\)における接線の方程式です。

 

通る点が分かっている場合

もう1つのパターンもあります。

分かっている座標がグラフ上の点ではなく、接線が通る点のパターンです。

練習問題

次の関数のグラフに、点(0,0)から引いた接線の方程式を求めよ。

\[y=x^2+3x+4\]

 

これもまず傾きを求めていきます。

\(f(x)=x^2+3x+4\)

\(f^{\prime}(x)=2x+3\)

接点の座標を代入したいのですが問題発生!

与えられている点が接点の座標ではないのです。

 

ひとまず接点を\((a,a^2+3a+4)\)とでもしましょう。

\(f^{\prime}(a)=2a+3\)

点\((a,a^2+3a+4)\)における接線の傾きが\(2a+3\)だとわかりました。

接線の公式に代入して、

\[y-(a^2+3a+4)=(2a+3)(x-a)\]

分かりずらいけど、これが接線の方程式を表しています。

 

これが(0,0)を通れば問題と一致するので、x,yにそれぞれ代入して、

\begin{eqnarray}
-a^2-3a-4&=&-2a^2-3a\\
a^2-4&=&0\\
(a+2)(a-2)&=&0\\
a&=&-2,2
\end{eqnarray}

 

高校生
あれ、aの解が2つ出てきました!

 

疑問に思った方は勘が鋭いですね!

なぜ接点の\(x\)座標を表す\(a\)が2つ出たのかというと、

イメージとしてはこんな感じ!

通る点が分かる二次方程式の接線

 

接線が点(0,0)を通る接点が2つあるということですね!

接線の式に\(a\)を代入すると、

\[y-(a^2+3a+4)=(2a+3)(x-a)\]

 

\(a=-2\)のとき

\begin{eqnarray}
y-2&=&-(x+2)\\
y=-x
\end{eqnarray}

 

\(a=2\)のとき

\begin{eqnarray}
y-14&=&7(x-2)\\
y=7x
\end{eqnarray}

 

したがって、\(y=x^2+3x+4\)の接線で、点\((0,0)\)と通る接線の方程式は

\[y=-x\]
\[y=7x\]

 

2次関数の接線 まとめ

今回は二次関数の接線の求め方をまとめました。

2次関数の接線

二次方程式の接点が分かる接線

今回は2次関数2次関数の接線の求め方を解説!に焦点を当てて解説しましたが、3次関数でも接線の求め方は同じです。

シンプルな計算ですが、とても重要な公式なので必ず覚えましょう。

 

高校生のお役立ち情報を発信中!

友達登録でプレゼント!

いま登録した方には、中間テスト学習計画表をプレゼント中!

テスト前には数学のテスト対策プリント配布予定です!この機会にぜひご登録ください。!

友だち追加

2021年映像授業ランキング

スタディサプリ

会員数157万人の業界No.1の映像授業サービス。
月額2,178円で各教科のプロによる授業が受け放題!分からないところだけ学べるので、学習効率も大幅にUP!
本気で変わりたいならすぐに始めよう!

河合塾One

基本から学びたい方には河合塾Oneがおすすめ!
AIが正答率を判断して、あなただけのオリジナルカリキュラムを作成してくれます!
まずは7日間の無料体験から始めましょう!

おすすめ記事

偏差値40から60に上げたぼくの勉強法 1

「勉強してるのに成績が上がらない」 「テスト当 ...

【2021年】おすすめ映像授業5選を徹底比較!《高校生向け》 2

  いますぐ始めたい方へ⇩当記事で人 ...

【無料体験あり】AmazonKindleなら参考書が読み放題!いますぐ始めよう! 3

Amazonで参考書が無料で読めるって知ってい ...

-数学ⅡB
-, ,

© 2021 マストラ高校数学まとめサイト Powered by AFFINGER5