二次関数を決定する3つのパターンを解説!

二次関数の決定


「二次関数の求め方が分からない」
「なにをしていいのかが思いつかない」
今回は二次関数の決定についての悩みを解決します。

高校生
問題の意味は分かるけど、なにをすればいいのか分からなくて...

 

二次関数の決定とは、与えられた条件から二次関数の式を求めることを指します。

与えられる条件の例は以下の通りです。

二次関数の決定

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

(1) 頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。
(2) 軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。
(3) 3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。
(4) \(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

このような問題に対して、どうしていいか分からない人が多いです。

実は二次関数の式を求める問題には大きく3つのパターンしかありません。

覚えておきたい3つの型

 

本記事では二次関数の式を求める3つのパターンを解説します。

問題がどのパターンか分かるようになれば、二次関数の決定は点数が取れる問題になります。

記事の内容

二次関数のまとめ記事へ

二次関数の決定

二次関数の決定は大きく3つのパターンに分けられます。

覚えておきたい3つの型

問題文で与えられたヒントからどのパターンなのかを考えます。

①頂点と1点の座標

頂点の座標と他の1点が分かっているときは①のパターンです。

二次関数の決定1

頂点と1点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

頂点が点(-2,4)で,点(-4,2)を通る。

頂点の座標が分かるので2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x+2)^{2}+4\)

 

参考

頂点の座標が分かると二次関数のおおよその形が分かるよ。
二次関数の頂点・軸の求め方を分かりやすく解説!

この2次関数が点(-4,2)を通るので、x,yに代入して

\(2=a(-4+2)^{2}+4\)
\(2=4a+4\)

よって、\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)

したがって求める2次関数は

\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x+2)^{2}+4\)

②軸と2点の座標

軸が分かっているときも①のパターンで求めることができます。

軸と2点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

直線\(x=2\)を軸として、2点(-1,5),(1,-11)を通る。

直線\(x=2\)を軸とするので、二次関数が以下の形をしていることが分かります。

\[y=a(x-2)^{2}+q\]

 

この2次関数が点\((-1,5),(1,-11)\)を通るから、

\begin{eqnarray}
5&=&a(-1-2)^{2}+q\\
-11&=&a(1-2)^{2}+q
\end{eqnarray}

よって、

\begin{eqnarray}
5&=&9a+q \cdots ①\\
-11&=&a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

 

これを連立方程式で解くと \(a=2,q=-13\)

したがって求める2次関数は

\[\displaystyle y=2(x-2)^{2}-13\]

③3点の座標

通る点の座標が3つ分かっているときは②のパターンです。

二次関数の決定2

3点の座標

2次関数のグラフが3点(2,-2),(3,5),(-1,1)を通るとき、その2次関数を求めよう。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が
点(2,-2)を通るから、\(-2=4a+2b+c \cdots ①\)
点(3,5)を通るので、\(5=9a+3b+c \cdots ②\)
点(-1,1)を通るので、\(1=a-b+c \cdots ③\)

 

②-①から、\(7=5a+b \cdots ④\)
②-③から、\(4=8a+4b \cdots ⑤\)

 

④×4-⑤から、\(24=12a\)となり\(a=2\)
④に\(a=2\)を代入すると、\(b=-3\)
①に\(a=2,b=-3\)を代入すると、\(c=-4\)

 

したがって求める2次関数は

\(y=2x^{2}-3x-4\)

④x軸との交点と1点の座標

x軸との交点が2点と他の1点の座標が分かっているときは③のパターンです。

二次関数の決定3

x軸の交点と1点の座標

x軸と点(2,0),(5,0)と交わり、点(1,8)を通る2次関数を求めよう。

x軸と点(2,0),(5,0)で交わるので、二次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-2)(x-5)\)

 

この2次関数が点(1,8)を通るので、

\(8=a(1-2)(1-5)\)
\(8=4a\)
\(a=2\)

 

したがって求める二次関数は

\(y=2(x-2)(x-5)\)

 

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二次関数の決定《練習問題》

今回確認した3つのパターンを活用して、次の練習問題に挑戦しましょう。

練習問題

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

(1) 頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。
(2) 軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。
(3) 3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。
(4) \(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

練習問題1

練習問題1

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。

頂点の座標が分かるので2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-4)^{2}-3\)

 

この2次関数が点(2,5)を通るので、x,yに代入して

\(5=a(2-4)^{2}-3\)
\(5=4a-3\)

 

よって、\(\displaystyle a=2\)

したがって求める2次関数は

\(y=2(x-4)^{2}-3\)

練習問題2

練習問題2

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。

軸が\(x=-3\)なので、

\(y=a(x+3)^{2}+q\)

 

この2次関数が
点(-1,1)を通るから、\(1=a(-1+3)^{2}+q\)
点(-6,-4)を通るので、\(-4=a(-6+3)^{2}+q\)

 

よって、

\begin{eqnarray}
1&=&4a+q \cdots ①\\
-4&=&9a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

 

これを連立方程式で解くと \(a=-1,q=5\)

したがって求める2次関数は

\(\displaystyle y=-(x+3)^{2}+5\)

練習問題3

練習問題3

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が
点(1,10)を通るから、\(10=a+b+c \cdots ①\)
点(-1,2)を通るので、\(2=a-b+c \cdots ②\)
点(-4,5)を通るので、\(5=16a-4b+c \cdots ③\)

 

①-②から、\(8=2b \)
よって、\(b=4\)

 

③-②から、\(3=15a-3b \cdots ④\)
④に\(b=4\)を代入して、\(a=1\)

①に\(a=1,b=4\)を代入すると、\(c=5\)

したがって求める2次関数は

\(y=x^{2}+4x+5\)

練習問題4

練習問題4

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

\(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

これはどのパターンでもないように見えますが、\(x=4\)で最大値をとるというのは頂点が点(4,6)であることを表します。

よって、頂点と他の1点の座標が分かっているので①のパターンです。

練習問題

頂点の座標が(4,6)なので2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-4)^{2}+6\)

 

この2次関数が点(8,-2)を通るので、x,yに代入して

\(-2=a(8-4)^{2}+6\)
\(-2=16a+6\)

よって、\(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)

 

したがって求める2次関数は

\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6\)

二次関数の決定 まとめ

今回は二次関数の決定についてまとめました。

二次関数の決定

二次関数の決定3パターン

覚えておきたい3つの型

 

問題文からどのパターンなのかを正しく判断できれば、二次関数の決定は決して難しい単元ではありません。

とはいえ、反復練習が必要なので学校のワークなどでたくさん練習しましょう。

二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

二次関数まとめ
【保存版】基礎から押さえる!二次関数の公式と重要ポイントの確認

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