二次関数を決定する3つのパターンを解説!

二次関数の決定


「二次関数の求め方が分からない」
「なにをしていいのかが思いつかない」
今回は二次関数の決定についての悩みを解決します。

高校生
問題の意味は分かるけど、なにをすればいいのか分からなくて...

 

二次関数の決定とは、与えられた条件から二次関数の式を求めることを指します。

与えられる条件というのは以下のようなものです。

二次関数の決定

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

(1) 頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。
(2) 軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。
(3) 3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。
(4) \(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

このような問題に対して、どうしていいか分からない人が多いです。

 

実は二次関数の式の求め方は大きく3つのパターンしかありません。

覚えておきたい3つの型

 

本記事では二次関数の式を求める3つのパターンを解説します。

問題がどのパターンか分かるようになれば、二次関数の決定は点数が取れる問題になります。

記事の内容

筆者の信頼性

二次関数の決定

二次関数の決定は大きく3つのパターンに分けられます。

覚えておきたい3つの型

問題文で与えられたヒントからどのパターンなのかを考えます。

①頂点と1点の座標

頂点の座標と他の1点が分かっているときは①のパターンです。

頂点と1点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

頂点が点(-2,4)で,点(-4,2)を通る。

二次関数の決定1

 

頂点の座標が(-2,4)なので、2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\[y=a(x+2)^{2}+4\]

 

二次関数の頂点と軸の関係が理解できていない方は「二次関数の頂点・軸の求め方を分かりやすく解説!」を先にご覧ください。

また、この2次関数が点(-4,2)を通るので、

\begin{eqnarray}
2&=&a(-4+2)^{2}+4\\
2&=&4a+4\\
4a&=&-2
\end{eqnarray}

よって、

\[\displaystyle a=-\frac{1}{2}\]

したがって求める2次関数は

\[\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x+2)^{2}+4\]

だと分かりました。

②軸と2点の座標

軸が分かっているときも①のパターンで求めることができます。

軸と2点の座標

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

直線\(x=2\)を軸として、2点(-1,5),(1,-11)を通る。

直線\(x=2\)を軸とするので、二次関数が以下の形をしていることが分かります。

\[y=a(x-2)^{2}+q\]

 

この2次関数が点\((-1,5),(1,-11)\)を通るから、

\begin{eqnarray}
5&=&a(-1-2)^{2}+q\\
-11&=&a(1-2)^{2}+q
\end{eqnarray}

よって、

\begin{eqnarray}
5&=&9a+q \cdots ①\\
-11&=&a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

 

これを連立方程式で解くと \(a=2,q=-13\)

したがって求める2次関数は

\[\displaystyle y=2(x-2)^{2}-13\]

③3点の座標

通る点の座標が3つ分かっているときは②のパターンです。

二次関数の決定2

3点の座標

2次関数のグラフが3点(2,-2),(3,5),(-1,1)を通るとき、その2次関数を求めよう。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が

点(2,-2)を通るから、\(-2=4a+2b+c \cdots ①\)
点(3,5)を通るので、\(5=9a+3b+c \cdots ②\)
点(-1,1)を通るので、\(1=a-b+c \cdots ③\)

②-①から、\(7=5a+b \cdots ④\)
②-③から、\(4=8a+4b \cdots ⑤\)

 

④×4-⑤から、\(24=12a\)となり\(a=2\)
④に\(a=2\)を代入すると、\(b=-3\)
①に\(a=2,b=-3\)を代入すると、\(c=-4\)

 

したがって求める2次関数は

\[y=2x^{2}-3x-4\]

④x軸との交点と1点の座標

x軸との交点が2点と他の1点の座標が分かっているときは③のパターンです。

二次関数の決定3

x軸の交点と1点の座標

x軸と点(2,0),(5,0)と交わり、点(1,8)を通る2次関数を求めよう。

x軸と点(2,0),(5,0)で交わるので、二次関数が以下の形をしていることが分かります。

\(y=a(x-2)(x-5)\)

 

この2次関数が点(1,8)を通るので、

\(8=a(1-2)(1-5)\)
\(8=4a\)
\(a=2\)

 

したがって求める二次関数は

\[y=2(x-2)(x-5)\]

\[y=2x^{2}-14x+20\]

 

今回は二次関数の式の求め方を解説しましたが、二次関数の公式や重要ポイントをまとめました。

>>二次関数の公式と重要ポイント

二次関数の決定《練習問題》

二次関数の決定《練習問題》

今回確認した3つのパターンを活用して、次の練習問題に挑戦しましょう。

練習問題

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

(1) 頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。
(2) 軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。
(3) 3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。
(4) \(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

練習問題1

練習問題1

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

頂点が点(4,-3)で、点(2,5)を通る。

頂点の座標が分かるので2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\[y=a(x-4)^{2}-3\]

 

この2次関数が点(2,5)を通るので、x,yに代入して

\begin{eqnarray}
5&=&a(2-4)^{2}-3\\
5&=&4a-3\\
4a&=&8
\end{eqnarray}

よって、\(\displaystyle a=2\)

したがって求める2次関数は

\[y=2(x-4)^{2}-3\]

練習問題2

練習問題2

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

軸が直線\(x=-3\)で、2点(-1,1),(-6,-4)を通る。

軸が\(x=-3\)なので、

\[y=a(x+3)^{2}+q\]

 

この2次関数が

点(-1,1)を通るから、\(1=a(-1+3)^{2}+q\)
点(-6,-4)を通るので、\(-4=a(-6+3)^{2}+q\)

 

よって、

\begin{eqnarray}
1&=&4a+q \cdots ①\\
-4&=&9a+q \cdots ②
\end{eqnarray}

 

これを連立方程式で解くと \(a=-1,q=5\)

したがって求める2次関数は

\[\displaystyle y=-(x+3)^{2}+5\]

練習問題3

練習問題3

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

3点(1,10),(-1,2),(-4,5)を通る。

3点が分かっているときは連立方程式を使います。

この2次関数が

点(1,10)を通るから、\(10=a+b+c \cdots ①\)
点(-1,2)を通るので、\(2=a-b+c \cdots ②\)
点(-4,5)を通るので、\(5=16a-4b+c \cdots ③\)

 

①-②から、\(8=2b \)
よって、\(b=4\)

 

③-②から、\(3=15a-3b \cdots ④\)
④に\(b=4\)を代入して、\(a=1\)

①に\(a=1,b=4\)を代入すると、\(c=5\)

したがって求める2次関数は

\[y=x^{2}+4x+5\]

練習問題4

練習問題4

次の条件を満たす2次関数を求めよう。

\(x=4\)で最大値6をとり、点(8,-2)を通る。

これはどのパターンでもないように見えますが、\(x=4\)で最大値をとるというのは頂点が点(4,6)であることを表します。

よって、頂点と他の1点の座標が分かっているので①のパターンです。

練習問題

頂点の座標が(4,6)なので2次関数が以下の形をしていることが分かります。

\[y=a(x-4)^{2}+6\]

 

この2次関数が点(8,-2)を通るので、x,yに代入して

\begin{eqnarray}
-2&=&a(8-4)^{2}+6\\
-2&=&16a+6\\
16a&=&8
\end{eqnarray}

よって、

\[\displaystyle a=-\frac{1}{2}\]

 

したがって求める2次関数は

\[\displaystyle y=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6\]

二次関数のおすすめ勉強法

順列・組み合わせの勉強法

二次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつけるようになります。

次は二次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

  • 教科書やノートを見直す
  • 問題集で応用力を磨く
  • 分かりやすい解説を見る

自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

シータ
3つの勉強法を紹介するよ

教科書やノートを見直す

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

二次関数の基本は「二次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

シータ
基本問題が不安なら教科書がおすすめ!

問題集で応用力を磨く

問題集で応用力を磨く

二次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

  1. 教科書の例題
  2. 問題集の基本問題
  3. 問題集の応用問題

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

二次関数の学習におすすめの問題集を紹介します。

created by Rinker
¥1,210 (2022/01/21 12:02:03時点 楽天市場調べ-詳細)
created by Rinker
¥1,210 (2022/01/20 13:56:10時点 楽天市場調べ-詳細)

Amazon会員なら参考書も読み放題です。
初回30日間の無料体験あり。

参考書が読み放題!Kindle Unlimitedについて詳しく知りたい

分かりやすい解説を見る

スタディサプリ画像

以下のような悩みがあるなら映像授業もおすすめです。

  • 勉強しても成績が伸びない
  • 学校の授業が分かりにくい
  • 分からない所が分からない

映像授業なら自分に必要な授業のみを受けられるうえに、分かるまで繰り返し視聴することができます。

分からないを1つずつ解消していけるので、定期テストで高得点を取りたい方は授業授業がおすすめです。

映像授業で学ぶメリット

生活で映像授業を使っている様子

映像授業で学ぶことのメリットを3つ紹介します。

映像授業で学ぶメリット

  • 勉強に対する苦手意識がなくなる
  • 目標に最短ルートで近づける
  • 楽しい高校生活と勉強の両立

勉強に対する苦手意識がなくなる

1回15分の神授業

映像授業では各教科のプロが授業をするので、かなり分かりやすい解説が多いです。

高校生のつまづきやすいポイントをしっかりと押さえた分かりやすい授業で、苦手単元を1つずつ解消していきます。

目標に最短ルートで近づける

おすすめカリキュラム1

河合塾Oneの「自分専用カリキュラム」

自分に必要な授業だけを受けられるので、最短ルートで目標に近づきます。

ただひたすらに解説を写すような勉強は時間がもったいないです。

自分のレベルに合わせた授業だけを受けて、最短で目標達成を目指します。

楽しい高校生活と勉強の両立

いつでも質問できる

1回の授業が15分程度で、ネット環境があればどこからでも受講できます。

通学の電車でもサクッと復習できるので、部活や遊びとの両立も可能です。

目的に合わせて選ぶことが重要

河合塾One

映像授業といっても様々なサービスがあります。

どこでも良いわけではなく、あなたの目標に合った映像授業を選ぶことが重要です。

サービス名こんな方におすすめ
河合塾One定期テスト対策がしたい
スタディサプリ受験に向けて勉強したい
進研ゼミテキストも欲しい

"河合塾One"と"スタディサプリ"には無料体験があります。

どちらも会員数をグングン伸ばしているので、いつ無料体験がなくなるか分かりません。

ちなみに、定期テスト対策なら「河合塾One」、受験に向けて始めるなら「スタディサプリ」がおすすめです。

無料体験期間

河合塾One⇒無料体験7日間

>>河合塾Oneの無料体験はこちらから

スタディサプリ⇒無料体験14日間

>>スタディサプリの無料体験はこちら

定期テストに向けて無料体験の期間で総復習するのもオススメです!

 

高校生向けの映像授業をランキング形式でまとめました。

>>2021年おすすめ映像授業ランキングはこちら

高校生
テスト対策に試してみようかな
テスト対策なら河合塾Oneがおすすめだよ!
シータ

二次関数の決定 まとめ

今回は二次関数の決定についてまとめました。

二次関数の決定

二次関数の決定3パターン

覚えておきたい3つの型

 

問題文からどのパターンなのかを正しく判断できれば、二次関数の決定は決して難しい単元ではありません。

とはいえ、反復練習が必要なので学校のワークなどでたくさん練習しましょう。

 

二次関数は覚える公式も少なく、高校数学の中では解きやすい単元です。

二次関数についてまとめているのでぜひご覧ください。

 

二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

二次関数まとめ
基礎から確認!二次関数の公式と重要ポイント

二次関数の記事一覧

 

定期テストにおすすめな映像授業

河合塾One

基本から学びたい方には河合塾Oneがおすすめ!
AIが正答率を判断して、あなただけのオリジナルカリキュラムを作成してくれます!
まずは7日間の無料体験から始めましょう!

スタディサプリ

会員数157万人の業界No.1の映像授業サービス。
月額2,178円で各教科のプロによる授業が受け放題!分からないところだけ学べるので、学習効率も大幅にUP!
本気で変わりたいならすぐに始めよう!

要チェック!

「どうして勉強したのに点数が下がるの...」

勉強しているのに成績が上がらない方は「【体験談】偏差値40から60まで上げたぼくの勉強法」を必見!

偏差値40から60に上げたぼくの勉強法
【やれば上がるはウソ】偏差値40から60まで上げたぼくの勉強法!

-二次関数
-, ,

© 2022 マストラ高校数学まとめサイト Powered by AFFINGER5