二次関数のグラフの書き方を3ステップで解説！

数学Ⅰの二次関数ではグラフが必要な問題がたくさんあります。

今回は2次関数のグラフに関するこんな悩みを解決します。

高校生

2次関数のグラフを書きたいんだけど、書き方が分からなくて...

2次関数のグラフは以下の3ステップで書くと上手に描くことができます。

本記事では2次関数のグラフの書き方を解説していきます。

具体例を用意したのでじっくりと読んでもらえば、2次関数のグラフが書けるようになります。

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ぜひ最後までご覧ください。

2次関数の基礎

2次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフはこんな形をしています。

関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の中で最も次数が高い項は\(ax^{2}\)ですね。最高次数が2なので2次関数といいます。

\(y=ax+b\)の場合、最も次数が高い項が\(ax\)で次数1なので一次関数といいます。

2次関数のグラフの形

2次関数のグラフは左右対称な放物線を描きます。

\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフは\(a\)の符号によって形が変わります。

\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線

2次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)において\(a\)が正の数ならば、グラフは下向きに凸な放物線になります。

\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線

2次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)において\(a\)が負の数ならば、グラフは上向きに凸な放物線になります。

高校生

グラフの形は理解できました！

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2次関数のグラフの書き方

2次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。

\(y=x^{2}+6x+5\)を例にして各ステップを詳しく解説します。

step
1グラフの頂点を求める

まずは頂点の座標を求めます。

２次関数の頂点は関数を平方完成することで求めることができます。

例として\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}

となります。

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)となります。

▽2次関数の軸と頂点の求め方はこちら

step
2y軸との交点を求める

頂点の座標が分かっただけでは２次関数のグラフを書くことはできません。

次はグラフとy軸との交点を求めます。

y軸上の点ということは、点のx座標が0であることを指します。

\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると

\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}

したがって、

\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。

step
3頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ

最後にSTEP1,2で求めた頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。

\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。

この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと2次関数のグラフが完成します。

2次関数の式をグラフにできるようになれば、分かっている点から元々の式を求めることもできます。

2次関数のグラフ《練習問題》

2次関数の書き方3ステップを活かして、以下のグラフを書いてみましょう。

\(y=x^{2}-4x+5\)のグラフ

まず平方完成して放物線の軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}-4x+5\\
&=&(x-2)^{2}+1
\end{eqnarray*}

したかって、頂点の座標は\((2,1)\)と分かりました。

つぎに\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=x^{2}-4x+5=0^{2}-4 \cdot 0 +5=5\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。

放物線の頂点\((2,1)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。

\(y=-x^{2}+6x-4\)のグラフ

まずは平方完成して軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&-x^{2}+6x-4\\
&=&-(x^{2}-6x)-4\\
&=&-\{(x-3)^{2}-9\}-4\\
&=&-(x-3)^{2}+5
\end{eqnarray}

したがって、頂点の座標は\((3,5)\)だと分かりました。

次に\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=-x^{2}+6x-4=0^{2}+6 \cdot 0 -4=-4\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,-4)\)だと分かります。

放物線の頂点\((3,5)\)とy軸との交点\((0,-4)\)を滑らかにつなぐと完成です。

\(y=2x^{2}+8x+5\)のグラフ

まずは平方完成して軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}+8x+5\\
&=&2(x^{2}+4x)+5\\
&=&2\{(x+2)^{2}-4\}+5\\
&=&2(x+2)^{2}-3\\
\end{eqnarray}

したがって、頂点の座標は\((-2,-3)\)だと分かりました。

次に\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=2x^{2}+8x+5=2 \cdot 0^{2}+8 \cdot 0 +5=5\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。

放物線の頂点\((-2,-3)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。

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2次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

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教科書やノートを見直す

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2次関数のグラフ　まとめ

今回は2次関数のグラフの書き方についてまとめました。

2次関数のグラフが書けないと、最大値・最小値を求める問題でかなり苦戦します。

決して難しい手順ではないので、必ずグラフを書けるようにしましょう。

＞＞2次関数の最大値・最小値の求め方！範囲の場合分けで考える方法

2次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように！

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