二次関数

二次関数のグラフの書き方を3ステップで解説!

二次関数のグラフ



「二次関数のグラフってなに?」
「グラフの書き方が分からない」
今回は二次関数のこんな悩みを解決します。

高校生
二次関数のグラフを書きたいんだけど、なにを求めるのか分からなくて...

 

二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。

グラフを書く手順

  1. 頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸との交点を結ぶ

 

本記事では二次関数のグラフの書き方を解説していきます。

具体例をいくつか用意したのでじっくりと読んでもらえば、だれでも二次関数のグラフが書けるようになります。

二次関数のグラフ

二次関数の基礎

二次関数の式とグラフはこんな形をしています。

二次関数のグラフ

\(y=ax^{2}+bx+c\)

\(x\)の最大次数が2なので二次関数といいます。

参考

\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)は三次関数

\(y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\)は四次関数

二次関数のグラフの形

二次関数のグラフは左右対称な放物線を描きます。

二次関数のグラフ

\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフは\(a\)の符号によって形が変わります。

二次関数のグラフの形

\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線

\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線

 

\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線

二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が正の数のとき、グラフは下向きに凸な放物線になります。

二次関数のグラフの形

\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線

二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が負の数のとき、グラフは上向きに凸な放物線になります。

二次関数のグラフの形1

二次関数のグラフの書き方

二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。

グラフを書く手順

  1. 頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸との交点を結ぶ

 

\(y=x^{2}+6x+5\)を例にして各ステップを詳しく解説します。

 

step
1
グラフの頂点を求める

まずは頂点の座標を求めます。

頂点の座標は二次関数を平方完成すると求めることができます。

二次関数の軸と頂点

\(y=a(x+p)^{2}+q\)のとき、

軸:\(x=-p\)  、頂点\((-p,q)\)

 

例として\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}

となります。

二次関数のグラフの書き方

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は((-3,-4)\)となります。

▽二次関数の軸と頂点の求め方はこちら

 

step
2
y軸との交点を求める

頂点の座標が分かっただけではグラフは書けません。

次はグラフとy軸との交点を求めます。

y軸との交点の求め方

y軸との交点⇒\(x=0\)を代入

y軸上の点ということは、点のx座標が0であることを指します。

 

\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると

\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}

したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。

二次関数のグラフの書き方

 

step
3
頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ

最後に頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。

\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。

 

この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと二次関数のグラフが完成します。

二次関数のグラフの書き方

 

二次関数の式をグラフにできるようになれば、分かっている点から元々の式を求めることもできます。

二次関数の決定
二次関数を決定する3つのパターンを解説!

「二次関数の求め方が分からない」 「なにをして ...

二次関数のグラフ《練習問題》

二次関数の書き方3ステップを活かして、以下のグラフを書いてみましょう。

練習問題

  • \(y=x^{2}-4x+5\)
  • \(y=-x^{2}+6x-4\)
  • \(y=2x^{2}+8x+5\)

\(y=x^{2}-4x+5\)のグラフ

まず平方完成して放物線の軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}-4x+5\\
&=&(x-2)^{2}+1
\end{eqnarray*}

したかって、頂点の座標は\((2,1)\)と分かりました。

練習問題1-1

つぎに\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=x^{2}-4x+5=0^{2}-4 \cdot 0 +5=5\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。

練習問題1-2

放物線の頂点\((2,1)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。

練習問題1-3

\(y=-x^{2}+6x-4\)のグラフ

まずは平方完成して軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray*}
y&=&-x^{2}+6x-4\\
&=&-(x^{2}-6x)-4\\
&=&-\{(x-3)^{2}-9\}-4\\
&=&-(x-3)^{2}+5
\end{eqnarray*}

したがって、頂点の座標は\((3,5)\)だと分かりました。

練習問題2-1

次に\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=-x^{2}+6x-4=0^{2}+6 \cdot 0 -4=-4\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,-4)\)だと分かります。

練習問題2-2

放物線の頂点\((3,5)\)とy軸との交点\((0,-4)\)を滑らかにつなぐと完成です。

練習問題2-3

\(y=2x^{2}+8x+5\)のグラフ

まずは平方完成して軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray*}
y&=&2x^{2}+8x+5\\
&=&2(x^{2}+4x)+5\\
&=&2\{(x+2)^{2}-4\}+5\\
&=&2(x+2)^{2}-3\\
\end{eqnarray*}

したがって、頂点の座標は\((-2,-3)\)だと分かりました。

練習問題3-1

次に\(y\)軸との交点を求めます。

\(x=0\)を代入して、

\(y=2x^{2}+8x+5=2 \cdot 0^{2}+8 \cdot 0 +5=5\)

よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。

練習問題3-2

放物線の頂点\((-2,-3)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。

練習問題3-3

二次関数のグラフ まとめ

今回は二次関数のグラフの書き方についてまとめました。

二次関数のグラフ

二次関数のグラフの形

  • \(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
  • \(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線

グラフを書く手順

  1. 軸と頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸との交点を滑らかにつなぐ

 

二次関数のグラフが書けないと、最大値・最小値を求める問題でかなり苦戦します。

決して難しい手順ではないので、必ずグラフを書けるようにしましょう。

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