「二次関数のグラフってなに？」
「グラフの書き方が分からない」
今回は二次関数のこんな悩みを解決します。
二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。
グラフを書く手順
- 頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を結ぶ
本記事では二次関数のグラフの書き方を解説していきます。
具体例をいくつか用意したのでじっくりと読んでもらえば、だれでも二次関数のグラフが書けるようになります。
二次関数のグラフ
二次関数の基礎
二次関数の式とグラフはこんな形をしています。
\(y=ax^{2}+bx+c\)
\(x\)の最大次数が2なので二次関数といいます。
参考
\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)は三次関数
\(y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\)は四次関数
二次関数のグラフの形
二次関数のグラフは左右対称な放物線を描きます。
\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフは\(a\)の符号によって形が変わります。
二次関数のグラフの形
\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が正の数のとき、グラフは下向きに凸な放物線になります。
\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が負の数のとき、グラフは上向きに凸な放物線になります。
二次関数のグラフの書き方
二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。
グラフを書く手順
- 頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を結ぶ
\(y=x^{2}+6x+5\)を例にして各ステップを詳しく解説します。
step
1グラフの頂点を求める
まずは頂点の座標を求めます。
頂点の座標は二次関数を平方完成すると求めることができます。
二次関数の軸と頂点
\(y=a(x+p)^{2}+q\)のとき、
軸：\(x=-p\) 、頂点\((-p,q)\)
例として\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると
\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}
となります。
したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は((-3,-4)\)となります。
▽二次関数の軸と頂点の求め方はこちら 「二次関数の頂点の求め方が分からない」 「頂点 ...
二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説！
step
2y軸との交点を求める
頂点の座標が分かっただけではグラフは書けません。
次はグラフとy軸との交点を求めます。
y軸との交点の求め方
y軸との交点⇒\(x=0\)を代入
y軸上の点ということは、点のx座標が0であることを指します。
\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると
\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}
したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。
step
3頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ
最後に頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。
\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。
この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと二次関数のグラフが完成します。
二次関数の式をグラフにできるようになれば、分かっている点から元々の式を求めることもできます。
-
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「二次関数の求め方が分からない」 「なにをして ...
二次関数のグラフ《練習問題》
二次関数の書き方3ステップを活かして、以下のグラフを書いてみましょう。
練習問題
- \(y=x^{2}-4x+5\)
- \(y=-x^{2}+6x-4\)
- \(y=2x^{2}+8x+5\)
\(y=x^{2}-4x+5\)のグラフ
まず平方完成して放物線の軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}-4x+5\\
&=&(x-2)^{2}+1
\end{eqnarray*}
したかって、頂点の座標は\((2,1)\)と分かりました。
つぎに\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=x^{2}-4x+5=0^{2}-4 \cdot 0 +5=5\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。
放物線の頂点\((2,1)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。
\(y=-x^{2}+6x-4\)のグラフ
まずは平方完成して軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&-x^{2}+6x-4\\
&=&-(x^{2}-6x)-4\\
&=&-\{(x-3)^{2}-9\}-4\\
&=&-(x-3)^{2}+5
\end{eqnarray*}
したがって、頂点の座標は\((3,5)\)だと分かりました。
次に\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=-x^{2}+6x-4=0^{2}+6 \cdot 0 -4=-4\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,-4)\)だと分かります。
放物線の頂点\((3,5)\)とy軸との交点\((0,-4)\)を滑らかにつなぐと完成です。
\(y=2x^{2}+8x+5\)のグラフ
まずは平方完成して軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&2x^{2}+8x+5\\
&=&2(x^{2}+4x)+5\\
&=&2\{(x+2)^{2}-4\}+5\\
&=&2(x+2)^{2}-3\\
\end{eqnarray*}
したがって、頂点の座標は\((-2,-3)\)だと分かりました。
次に\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=2x^{2}+8x+5=2 \cdot 0^{2}+8 \cdot 0 +5=5\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。
放物線の頂点\((-2,-3)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。
二次関数のグラフ まとめ
今回は二次関数のグラフの書き方についてまとめました。
二次関数のグラフ
二次関数のグラフの形
- \(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
- \(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
グラフを書く手順
- 軸と頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を滑らかにつなぐ
二次関数のグラフが書けないと、最大値・最小値を求める問題でかなり苦戦します。
決して難しい手順ではないので、必ずグラフを書けるようにしましょう。
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