「二次関数のグラフってなに？」
「グラフの書き方が分からない」
今回は二次関数のこんな悩みを解決します。
二次関数のグラフは以下の3ステップで書くと上手に描くことができます。
グラフを書く手順
- 頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を結ぶ
本記事では二次関数のグラフの書き方を解説していきます。
具体例を用意したのでじっくりと読んでもらえば、二次関数のグラフが書けるようになります。
二次関数のグラフ
二次関数の基礎
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフはこんな形をしています。
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の中で1番次数が高い項は\(ax^{2}\)ですね。このとき\(x^{2}\)の次数が2なので二次関数といいます。
\(y=ax+b\)の場合、次数が1番高い項が\(ax\)で次数1なので一次関数といいます。
参考
\(y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)は三次関数
\(y=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\)は四次関数
二次関数のグラフの形
二次関数のグラフは左右対称な放物線を描きます。
\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフは\(a\)の符号によって形が変わります。
二次関数のグラフの形
\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
\(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が正の数のとき、グラフは下向きに凸な放物線になります。
例
\[y=x^{2}-3x+5\]
\[y=3x^{2}-4x+4\]
\(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
二次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の\(a\)が負の数のとき、グラフは上向きに凸な放物線になります。
例
\[y=-x^{2}+3x-5\]
\[y=-3x^{2}+4x-4\]
二次関数のグラフの書き方
二次関数のグラフは以下の3ステップで書くことができます。
グラフを書く手順
- 頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を結ぶ
\(y=x^{2}+6x+5\)を例にして各ステップを詳しく解説します。
step
1グラフの頂点を求める
まずは頂点の座標を求めます。
頂点の座標は二次関数を平方完成すると求めることができます。
二次関数の軸と頂点
\(y=a(x+p)^{2}+q\)のとき、
軸：\(x=-p\) 、頂点\((-p,q)\)
例として\(y=x^{2}+6x+5\)を平方完成すると
\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray*}
となります。
したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)となります。
▽二次関数の軸と頂点の求め方はこちら
二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説！
step
2y軸との交点を求める
頂点の座標が分かっただけではグラフは書けません。
次はグラフとy軸との交点を求めます。
y軸との交点の求め方
y軸との交点⇒\(x=0\)を代入
y軸上の点ということは、点のx座標が0であることを指します。
\(y=x^{2}+6x+5\)に\(x=0\)を代入すると
\begin{eqnarray*}
y&=&0^{2}+6 \cdot 0+5\\
&=&5
\end{eqnarray*}
したがって、\(y=x^{2}+6x+5\)のグラフは\((0,5)\)でy軸と交わることが分かりました。
step
3頂点とy軸の交点を滑らかにつなぐ
最後に頂点とy軸との交点を滑らかにつなぎます。
\(y=x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)、y軸との交点は\((0,5)\)でした。
この2点を滑らかにつなぎ、左右対称に描くと二次関数のグラフが完成します。
二次関数の式をグラフにできるようになれば、分かっている点から元々の式を求めることもできます。
-
二次関数を決定する3つのパターンを解説！
二次関数のグラフ《練習問題》
二次関数の書き方3ステップを活かして、以下のグラフを書いてみましょう。
練習問題
- \(y=x^{2}-4x+5\)
- \(y=-x^{2}+6x-4\)
- \(y=2x^{2}+8x+5\)
\(y=x^{2}-4x+5\)のグラフ
まず平方完成して放物線の軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}-4x+5\\
&=&(x-2)^{2}+1
\end{eqnarray*}
したかって、頂点の座標は\((2,1)\)と分かりました。
つぎに\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=x^{2}-4x+5=0^{2}-4 \cdot 0 +5=5\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。
放物線の頂点\((2,1)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。
\(y=-x^{2}+6x-4\)のグラフ
まずは平方完成して軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray}
y&=&-x^{2}+6x-4\\
&=&-(x^{2}-6x)-4\\
&=&-\{(x-3)^{2}-9\}-4\\
&=&-(x-3)^{2}+5
\end{eqnarray}
したがって、頂点の座標は\((3,5)\)だと分かりました。
次に\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=-x^{2}+6x-4=0^{2}+6 \cdot 0 -4=-4\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,-4)\)だと分かります。
放物線の頂点\((3,5)\)とy軸との交点\((0,-4)\)を滑らかにつなぐと完成です。
\(y=2x^{2}+8x+5\)のグラフ
まずは平方完成して軸と頂点を求めます。
\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}+8x+5\\
&=&2(x^{2}+4x)+5\\
&=&2\{(x+2)^{2}-4\}+5\\
&=&2(x+2)^{2}-3\\
\end{eqnarray}
したがって、頂点の座標は\((-2,-3)\)だと分かりました。
次に\(y\)軸との交点を求めます。
\(x=0\)を代入して、
\(y=2x^{2}+8x+5=2 \cdot 0^{2}+8 \cdot 0 +5=5\)
よって、\(y\)軸との交点は\((0,5)\)だと分かります。
放物線の頂点\((-2,-3)\)とy軸との交点\((0,5)\)を滑らかにつなぐと完成です。
二次関数のおすすめ勉強法
二次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。
問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつけるようになります。
次は二次関数のおすすめ勉強法を紹介します。
- 教科書やノートを見直す
- 問題集で応用力を磨く
- 分かりやすい解説を見る
自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。
教科書やノートを見直す
まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。
教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。
二次関数の基本は「二次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。
問題集で応用力を磨く
二次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。
- 教科書の例題
- 問題集の基本問題
- 問題集の応用問題
問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。
二次関数の学習におすすめの問題集を紹介します。
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分かりやすい解説を見る
以下のような悩みがあるなら映像授業もおすすめです。
- 勉強しても成績が伸びない
- 学校の授業が分かりにくい
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分からないを1つずつ解消していけるので、定期テストで高得点を取りたい方は授業授業がおすすめです。
映像授業で学ぶメリット
映像授業で学ぶことのメリットを3つ紹介します。
映像授業で学ぶメリット
- 勉強に対する苦手意識がなくなる
- 目標に最短ルートで近づける
- 楽しい高校生活と勉強の両立
勉強に対する苦手意識がなくなる
映像授業では各教科のプロが授業をするので、かなり分かりやすい解説が多いです。
高校生のつまづきやすいポイントをしっかりと押さえた分かりやすい授業で、苦手単元を1つずつ解消していきます。
目標に最短ルートで近づける
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自分に必要な授業だけを受けられるので、最短ルートで目標に近づきます。
ただひたすらに解説を写すような勉強は時間がもったいないです。
自分のレベルに合わせた授業だけを受けて、最短で目標達成を目指します。
楽しい高校生活と勉強の両立
1回の授業が15分程度で、ネット環境があればどこからでも受講できます。
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目的に合わせて選ぶことが重要
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二次関数のグラフ まとめ
今回は二次関数のグラフの書き方についてまとめました。
二次関数のグラフ二次関数のグラフの形
- \(a>0\)のとき、下向きに凸な放物線
- \(a<0\)のとき、上向きに凸な放物線
グラフを書く手順
- 軸と頂点を求める
- y軸との交点を求める
- 頂点とy軸との交点を滑らかにつなぐ
二次関数のグラフが書けないと、最大値・最小値を求める問題でかなり苦戦します。
決して難しい手順ではないので、必ずグラフを書けるようにしましょう。
＞＞二次関数の最大値・最小値の求め方！範囲の場合分けで考える方法
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二次関数の最大値・最小値の求め方！範囲の場合分けで考える方法
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