二次関数の軸・頂点の求め方を解説!平方完成ができればOK!


数学Ⅰ二次関数には「軸と頂点を求める問題」が多くあります。

今回解決する悩み

「2次関数の頂点の求め方が分からない」
「頂点や軸の求め方が知りたい」

今回は2次関数の頂点や軸の求め方を解説します。

高校生
2次関数の頂点の求め方がよく分からなくて...


2次関数の軸や頂点は以下の形で求めることができます。

2次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

また、2次関数の頂点の求め方は主に2つあります。

  1. 平方完成で求める方法
  2. 公式に代入する方法

本記事では2次関数の軸と頂点の求め方を解説します。

平方完成が苦手な方も本記事を参考に平方完成をマスターして、二次関数の軸と頂点を求められるようになりましょう。

シータ
気になる見出しをクリックして、
ぜひ最後までご覧ください。

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2次関数の軸と頂点

2次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

2次関数を以下の形にできれば軸と頂点が分かります。

\[y=a(x-p)^{2}+q\]

この2次関数は\(y=ax^{2}\)のグラフをx軸方向に\(p\)、y軸方向に\(q\)だけ平行移動した2次関数を表しています。

 

高校生
だから頂点が\((p,q)\)になるんだね!
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頂点と軸の求め方

2次関数の軸と頂点1

2次関数の頂点と軸の求め方は主に2つあります。

軸・頂点の求め方

  1. 平方完成して求める方法
  2. 公式に代入して求める方法
シータ
ぼくは平方完成のほうをおすすめするよ!

平方完成で求める方法

まずは平方完成を用いて軸と頂点を求める方法から解説します。

参考

平方完成とは以下のような式変形です。
\begin{eqnarray}
x^{2}+4x&=&(x^{2}+4x+4)-4\\
&=&(x+2)^{2}-4
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
x^{2}-6x+4&=&(x^{2}-6x+9)-9+4\\
&=&(x-3)^{2}-5
\end{eqnarray}

2次関数\(x^{2}+6x+5\)のグラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
x^{2}+6x+5&=&(x^{2}+6x+9)-9+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray}

ここで以下のことを思い出して

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)のとき、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

平方完成で求める方法

\((x+3)^{2}-4\)のグラフの軸と頂点は、

放物線の軸:\(x=-3\)
頂点の座標:\((-3,-4)\)

だと分かります。

これで\(y=x^{2}+6x+5\)の軸と頂点の座標を求めることができました。

このように、平方完成をして\(y=a(x-p)^{2}+q\)の形にできれば、軸も頂点が分かります。

公式を暗記して求める方法

2次関数の軸と頂点を求めるもう1つの方法として、公式に代入する方法があります。

ただしこのやり方は、以下の公式を覚える必要があるのであまりオススメはしません。

軸と頂点の公式

\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフにおいて

放物線の軸:\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

頂点の座標:\(\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a})\)

2次関数\(x^{2}+6x+5\)のときの軸は

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{b}{2a}\\
&=&-\frac{6}{2 \cdot 1}\\
&=&-3
\end{eqnarray}

したがって、放物線の軸は\(x=-3\)

 

また、2次関数\(x^{2}+6x+5\)の頂点は

\begin{eqnarray}
頂点のy座標&=&-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\\
&=&-\frac{6^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}{4 \cdot 1}\\
&=&-4
\end{eqnarray}

したがって、2次関数\(x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)となります。

シータ
公式を覚えるのは大変なので、平方完成の方法がおすすめだよ

平方完成ができれば2次関数のグラフを書くことができます。

グラフの書き方は「2次関数のグラフの書き方を3ステップで解説!」にて詳しく解説しました。

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分数やマイナスをもつ2次関数の頂点

分数やマイナスをもつ2次関数の頂点

軸や頂点を求めたい2次関数が、分数やマイナスを含む場合があります。

\[\displaystyle y=x^{2}+\frac{6}{5}x+3\]

\[y=-x^{2}+6x+3\]

難しそうに見えますが、落ち着いて対処すれば問題ないです。

シータ
分数があると嫌な感じするよね...

分数を含む2次関数

2次関数\(\displaystyle x^{2}+\frac{6}{5}x+3\)の軸と頂点を考えましょう。

やはり気になるのは、\(\displaystyle \frac{6}{5}x\)ですよね。

 

今回は平方完成を用いた求め方をします。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+\frac{6}{5}x+3\\
&=&(x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25})-\frac{9}{25}+3\\
&=&(x+\frac{3}{5})^{2}+\frac{66}{25}\\
\end{eqnarray}

したがって、分数を含む2次関数の軸・頂点も求めることができました。

放物線の軸:\(\displaystyle x=-\frac{3}{5}\)
頂点の座標:\(\displaystyle (-\frac{3}{5},\frac{66}{25})\)

マイナスを含む2次関数

次にマイナスを含む2次関数もみていきましょう。

\(-x^{2}+6x+3\)の軸と頂点の座標を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&-x^{2}+6x+3\\
&=&-(x^{2}-6x)+3\\
&=&-{(x^{2}-6x+9)-9}+3\\
&=&-(x-3)^{2}+12\\
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(x=3\)
頂点の座標:\(\displaystyle (3,12)\)

頂点と軸の求め方《おすすめ動画》

ここまで軸と頂点の求め方を解説してきました。

「イマイチ分からないなぁ...」

そんな方は下の動画がおすすめです。

▽2次関数の軸と頂点の説明をしています

頂点と軸の求め方《練習問題》

頂点と軸の求め方《練習問題》

では2次関数の軸と頂点を求める練習をしましょう。

以下の2次関数の軸と頂点を求めます。

練習問題

  • \(y=x^{2}+2x+4\)
  • \(y=3x^{2}+6x-4\)
  • \(y=-2x^{2}-4x+5\)

\(y=x^{2}+2x+4\)の軸と頂点

2次関数\(y=x^{2}+2x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+2x+4\\
&=&(x^{2}+2x+1)-1+4\\
&=&(x+1)^{2}+3
\end{eqnarray}

したがって、

頂点と軸の求め方《練習問題》

放物線の軸:\(x=-1\)
頂点の座標:\((-1,3)\)

\(y=3x^{2}+6x-4\)の軸と頂点

2次関数\(y=3x^{2}+6x-4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&3x^{2}+6x-4\\
&=&3(x^{2}+2x)-4\\
&=&3\{(x^{2}+2x+1)-1\}-4\\
&=&3(x^{2}+1)^{2}-7
\end{eqnarray}

したがって、

頂点と軸の求め方《練習問題》

放物線の軸:\(x=-1\)

頂点の座標:\((-1,-7)\)

\(y=-2x^{2}-4x+5\)の軸と頂点

2次関数\(y=-2x^{2}-4x+5\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x+5\\
&=&-2(x^{2}+2x)+5\\
&=&-2\{(x^{2}+2x+1)-1\}+5\\
&=&-2(x^{2}+1)^{2}+7
\end{eqnarray}

したがって、

頂点と軸の求め方《練習問題》

放物線の軸:\(x=-1\)
頂点の座標:\((-1,7)\)

2次関数のおすすめ勉強法

順列・組み合わせの勉強法

2次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつけるようになります。

次は2次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

  • 教科書やノートを見直す
  • 問題集で応用力を磨く
  • 分かりやすい解説を見る

自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

シータ
3つの勉強法を紹介するよ

教科書やノートを見直す

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

2次関数の基本は「2次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

シータ
基本問題が不安なら教科書がおすすめ!

問題集で応用力を磨く

問題集で応用力を磨く

2次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

  1. 教科書の例題
  2. 問題集の基本問題
  3. 問題集の応用問題

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

2次関数の学習におすすめの問題集を紹介します。

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2次関数の頂点・軸 まとめ

2次関数の軸と頂点1

今回は2次関数の軸と頂点の求め方についてまとめました。

2次関数の軸・頂点

2次関数の軸と頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)のグラフにおいて、
軸 \(x=p\)、頂点 \((p,q)\)

軸と頂点の求め方

  • 平方完成して求める方法
  • 公式に代入して求める方法

2次関数の頂点や軸が求められるとグラフが書けるようになります。

また、スムーズにグラフが書けることで2次関数の最大値・最小値の問題も解きやすくなります。

最大値と最小値
二次関数の最大値・最小値
2次関数の最大値・最小値の求め方!範囲の場合分けで考える方法

平方完成が苦手という方も多いと思いますが、軸や頂点の座標は求められるようにしたいので一緒に頑張りましょう。

二次関数まとめ
基礎から確認!2次関数の公式と重要ポイント

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それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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  • この記事を書いた人

ゆうや

当サイトの運営者。
指導歴8年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで300名以上を指導。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。

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