二次関数

二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説!

二次関数の軸と頂点



「二次関数の頂点の求め方が分からない」
「頂点や軸の求め方が知りたい」
今回は二次関数の頂点や軸の求め方を解説します。

高校生
二次関数の頂点の求め方がよく分からなくて...

 

二次関数の軸や頂点は以下の形で求めることができます。

二次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

また、二次関数の頂点は主に2つの求め方があります。

  1. 平方完成で求める方法
  2. 公式に代入する方法

本記事では二次関数の軸と頂点の求め方を解説します。

平方完成が苦手な方は、ぜひ本記事を参考にしてください。

記事の内容

二次関数の軸と頂点

二次関数の軸・頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)において、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

二次関数を以下の形にできれば軸と頂点が分かります。

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

この二次関数は\(y=ax^{2}\)のグラフをx軸方向に\(p\)、y軸方向に\(q\)だけ平行移動した二次関数を表しています。

 

高校生
だから頂点が(p,q)になるんだね!

 

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頂点と軸の求め方

二次関数の頂点と軸の求め方を解説します。

頂点と軸の求め方は主に2つあります。

軸・頂点の求め方

  • 平方完成して求める方法
  • 公式に代入して求める方法

頂点と軸を求める方法は他にもありますが、今回は二次関数の単元だけで解説します。

シータ
ぼくは平方完成する方法をおすすめするよ!

平方完成で求める方法

まずは平方完成を用いて軸と頂点を求める方法から解説します。

平方完成とは以下のような式変形です。
\begin{eqnarray}
x^{2}+4x&=&(x^{2}+4x+4)-4\\
&=&(x+2)^{2}-4
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
x^{2}-6x+4&=&(x^{2}-6x+9)-9+4\\
&=&(x-3)^{2}-5
\end{eqnarray}
二次関数\(x^{2}+6x+5\)のグラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
x^{2}+6x+5&=&(x^{2}+6x+9)-9+5\\
&=&(x+3)^{2}-4
\end{eqnarray}

ここで以下のことを思い出して

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)のとき、

放物線の軸:\(x=p\)
頂点の座標:\((p,q)\)

\((x+3)^{2}-4\)のグラフの軸と頂点は、

放物線の軸:\(x=-3\)
頂点の座標:\((-3,-4)\)

公式を暗記して求める方法

もう1つの方法として、軸と頂点の公式に代入する方法があります。

軸と頂点の公式

\(y=ax^{2}+bx+c\)のグラフにおいて

放物線の軸:\(\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

頂点の座標:\(\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a})\)

二次関数\(x^{2}+6x+5\)のときの軸は

\begin{eqnarray}
-\frac{b}{2a}&=&-\frac{6}{2 \cdot 1}\\
&=&-3\\
\end{eqnarray}

したがって、放物線の軸は\(x=-3\)

 

また、二次関数\(x^{2}+6x+5\)の頂点は

\begin{eqnarray}
-\frac{b^{2}-4ac}{4a}&=&-\frac{6^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}{4 \cdot 1}\\
&=&-4\\
\end{eqnarray}

したがって、二次関数\(x^{2}+6x+5\)の頂点は\((-3,-4)\)となります。

シータ
公式を覚えるのは対辺なので、平方完成の方法がおすすめだよ

二次関数の頂点が分かるとグラフが書けるようになります。

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分数やマイナスをもつ二次関数の頂点

軸や頂点を求めたい二次関数が、分数やマイナスを含む場合があります。

\(\displaystyle y=x^{2}+\frac{6}{5}x+3\)

 

難しそうに見えますが、落ち着いて対処すれば問題ないです。

  • 分数を含む二次関数
  • マイナスを含む二次関数
シータ
分数があると嫌な感じするよね...

分数を含む二次関数

二次関数\(\displaystyle x^{2}+\frac{6}{5}x+3\)の軸と頂点を求めます。

やはり気になるのは、\(\displaystyle \frac{6}{5}x\)の項ですよね。

 

ぼくは平方完成して軸や頂点を求めるので、今回は平方完成を用いた求め方をします。

 

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+\frac{6}{5}x+3\\
&=&(x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25})-\frac{9}{25}+3\\
&=&(x+\frac{3}{5})^{2}+\frac{66}{25}\\
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(\displaystyle x=-\frac{3}{5}\)
頂点の座標:\(\displaystyle (-\frac{3}{5},\frac{66}{25})\)

マイナスを含む二次関数

次にマイナスを含む二次関数もみていきましょう。

\(-x^{2}+6x+3\)の軸と頂点の座標を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&-x^{2}+6x+3\\
&=&-(x^{2}-6x)+3\\
&=&-(x^{2}-6x+9)+9+3\\
&=&-(x-3)^{2}+12\\
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(x=3\)
頂点の座標:\(\displaystyle (3,12)\)

頂点と軸の求め方《おすすめ動画》

ここまで軸と頂点の求め方を解説してきました。

「イマイチ分からないなぁ...」

そんな方もいると思います。

分かりやすく解説している動画リンクを貼っておくので、動画で学びたい方はぜひご覧ください。

▽二次関数の軸と頂点の説明をしています

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頂点と軸の求め方《練習問題》

では二次関数の軸と頂点を求める練習をしましょう。

以下の二次関数の軸と頂点を求めます。

練習問題

  • \(y=x^{2}+2x+4\)
  • \(y=3x^{2}+6x-11\)
  • \(y=-2x^{2}-4x+5\)

\(y=x^{2}+2x+4\)の軸と頂点

二次関数\(y=x^{2}+2x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+2x+4\\
&=&(x^{2}+2x+1)-1+4\\
&=&(x+1)^{2}+3
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(x=-1\)
頂点の座標:\((-1,3)\)

\(y=3x^{2}+6x-11\)の軸と頂点

二次関数\(y=3x^{2}+6x-11\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&3x^{2}+6x-11\\
&=&3(x^{2}+2x)-11\\
&=&3\{(x^{2}+2x+1)-1\}-11\\
&=&3(x^{2}+1)^{2}-14
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(x=-1\)
頂点の座標:\((-1,-14)\)

\(y=-2x^{2}-4x+5\)の軸と頂点

二次関数\(y=-2x^{2}-4x+5\)を平方完成します。

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x+5\\
&=&-2(x^{2}+2x)+5\\
&=&-2\{(x^{2}+2x+1)-1\}+5\\
&=&-2(x^{2}+1)^{2}+7
\end{eqnarray}

したがって、

放物線の軸:\(x=-1\)
頂点の座標:\((-1,7)\)

二次関数の頂点・軸 まとめ

今回は二次関数の軸と頂点の求め方についてまとめました。

二次関数の軸・頂点

二次関数の軸と頂点

2次関数\(y=a(x-p)^{2}+q\)のグラフにおいて、
軸 \(x=p\)、頂点 \((p,q)\)

軸と頂点の求め方

  • 平方完成して求める方法
  • 公式に代入して求める方法

二次関数の頂点や軸が求めるようになると、最大値・最小値の問題も解きやすくなります。

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二次関数の最大値・最小値
二次関数の最大値・最小値の求め方!範囲の場合分けで考える方法

「二次関数の最大値・最小値ってどうやって求める ...

平方完成が苦手という方も多いと思いますが、軸や頂点の座標は求められるようにしたいので一緒に頑張りましょう。

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