二次関数のグラフを平行移動させる公式と証明!なぜマイナスになるの?

二次関数 の平行移動の公式


「平行移動の公式ってなんだっけ」
「なんで符号が逆になるの?」
今回は二次関数の平行移動に関する悩みを解決します。

高校生
平行移動で分からないことが多くて...

 

グラフの形を変えずに移動させることを平行移動といいます。

二次関数の平行移動

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

本記事では二次関数の平行移動について解説します。

なぜ平行移動の公式では符号が逆になるのかも解説しました。気になる方はぜひご覧ください。

記事の内容

二次関数のまとめ記事へ

二次関数の平行移動

二次関数の平行移動には公式があります。

二次関数の平行移動

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

\(y=ax^{2}\)のグラフを平行移動させたときの、軸と頂点を考えるとこの公式も納得できると思います。

二次関数の軸と頂点
二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説!

「二次関数の頂点の求め方が分からない」 「頂点 ...

高校生
これは暗記する公式ですか?
公式を暗記するのではなく、使い方を覚えて欲しいな!例を見せるから見てみて
シータ

例1 \(y=x^{2}\)を平行移動

二次関数の平行移動1

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に3,\(y\)軸方向に2だけ平行移動させると、

\(y=(x-3)^{2}+2\)となります。

例2 \(y=-2x^{2}\)を平行移動

次は\(x^{2}\)に係数がついている場合も見てみましょう。

二次関数の平行移動2

\(y=-2x^{2}\)を\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動させると、

\(y=-2(x+2)^{2}+3\)となります。

 

例3 \(y=2x^{2}+3x+4\)を平行移動

\(y=x^{2}+6x+4\)を\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動させます。

このとき、\(y=x^{2}+6x+4\)を平行移動させる方法が2つあります。

  1. そのまま平行移動
  2. 平方完成してから平行移動

方法1.そのまま平行移動

\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+2)^{2}+6(x+2)+4+3\\
&=&(x^{2}+4x+4)+6(x+2)+7\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

 

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)だと分かりました。

 

方法2.平方完成してから平行移動

つぎに平方完成してから移動する方法を紹介します。

まずは\(y=x^{2}+6x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+4\\
&=&(x+3)^{2}-9+4\\
&=&(x+3)^{2}-5
\end{eqnarray*}

この関数が\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので

\begin{eqnarray*}
y&=&(x+3+2)^{2}-5+3\\
&=&(x+5)^{2}-2\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

 

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}+10x+23\)となりました。

 

なぜ符号が逆になる?

高校生
どうしてx軸方向にp移動させるのに、-pが出てくるの?
いい質問だね!なぜx軸方向への移動は符号が逆になるのか解説するよ!
シータ

 

\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動したときに、なぜ\(x-p\)になるのか疑問に思う方も多いはず。

ここでは符号が逆になることを解説します。練習問題に進めたい方は読み飛ばして大丈夫です。

 

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

 

ここに二次関数\(y=f(x)\)があります。

なぜ符号が逆になるの?

\(y=f(x)\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものを\(y=g(x)\)とします。

なぜ符号が逆になるの?1

このとき\(y=f(x)\)上のとある点\((x,y)\)は、\(y=g(x)\)上の\((X,Y)\)へ平行移動します。

つまり、以下の2つが成り立っています。

\[X=x+p\]

\[Y=y+q\]

なぜ符号が逆になるの?2

これは式変形をすると

\[x=X-p\]
\[y=Y-q\]

となりますね。

したがって、元の二次関数\(y=f(x)\)に代入すると

\[y-q=f(X-p)\]

となり、

\[y=f(x-p)+q\]

が成立しました。

したがって、\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動とき、\(x\)の部分には\(x-p\)が代入されていることが分かります。

難しい話なのでよく分からないなぁという方は、公式だけ覚えておけば大丈夫です。

平行移動《練習問題》

二次関数のグラフを平行移動させる練習をしましょう。

今回は以下の3つの式を平行移動してもらいます。

練習問題

次の二次関数を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させたものを求めよう。

  • \(y=x^{2}\)
  • \(y=-2x^{2}\)
  • \(y=x^{2}+x+1\)

\(y=x^{2}\)の平行移動

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x-3)^{2}-2\\
&=&(x^{2}-6x+9)-2\\
&=&x^{2}-6x+7
\end{eqnarray*}

したがって求める二次関数は\(y=x^{2}-6x+7\)

\(y=-2x^{2}\)の平行移動

\(y=-2x^{2}\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&-2(x-3)^{2}-2\\
&=&-2(x^{2}-6x+9)-2\\
&=&-2x^{2}+12x-20
\end{eqnarray*}

したがって求める二次関数は\(y=-2x^{2}+12x-20\)

\(y=x^{2}+x+1\)の平行移動

\(y=x^{2}+x+1\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x-3)^{2}+(x-3)+1-2\\
&=&(x^{2}-6x+9)+(x-3)-1\\
&=&x^{2}-5x+5
\end{eqnarray*}

したがって求める二次関数は\(y=x^{2}-5x+5\)

二次関数の平行移動 まとめ

今回は二次関数の平行移動の公式についてまとめました。

二次関数の平行移動まとめ

平行移動の公式
\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは
\[y=a(x-p)^{2}+q\]

[/st-mybox]

高校生
たくさん例題があったからよく分かったよ!

グラフがイメージできるようになると、最大値・最小値の問題もスムーズに理解できるよ。

二次関数の最大値・最小値
二次関数の最大値・最小値の求め方!範囲の場合分けで考える方法

「二次関数の最大値・最小値ってどうやって求める ...

二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

二次関数まとめ
【保存版】基礎から押さえる!二次関数の公式と重要ポイントの確認

「二次関数が苦手」 「二次関数の復習がしたい」 ...

高校生のお役立ち情報を発信中!

友達登録でプレゼント!

いま登録した方には、中間テスト学習計画表をプレゼント中!

テスト前には数学のテスト対策プリント配布予定です!この機会にぜひご登録ください。!

友だち追加

2021年映像授業ランキング

スタディサプリ

会員数157万人の業界No.1の映像授業サービス。
月額2,178円で各教科のプロによる授業が受け放題!分からないところだけ学べるので、学習効率も大幅にUP!
本気で変わりたいならすぐに始めよう!

河合塾One

基本から学びたい方には河合塾Oneがおすすめ!
AIが正答率を判断して、あなただけのオリジナルカリキュラムを作成してくれます!
まずは7日間の無料体験から始めましょう!

おすすめ記事

偏差値40から60に上げたぼくの勉強法 1

「勉強してるのに成績が上がらない」 「テスト当 ...

【2021年】おすすめ映像授業5選を徹底比較!《高校生向け》 2

  いますぐ始めたい方へ⇩当記事で人 ...

【無料体験あり】AmazonKindleなら参考書が読み放題!いますぐ始めよう! 3

Amazonで参考書が無料で読めるって知ってい ...

-二次関数
-, ,

© 2021 マストラ高校数学まとめサイト Powered by AFFINGER5