二次関数のグラフを平行移動させる公式と証明!なぜマイナスになるの?

二次関数 の平行移動の公式


「平行移動の公式ってなんだっけ」
「なんで符号が逆になるの?」
今回は二次関数の平行移動に関する悩みを解決します。

高校生
平行移動で分からないことが多くて...

 

グラフの形を変えずに移動させることを平行移動といいます。

二次関数の平行移動

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

本記事では二次関数の平行移動について解説します。

なぜ平行移動の公式では符号が逆になるのかも解説しました。気になる方はぜひご覧ください。

記事の内容

筆者の信頼性

二次関数の平行移動

二次関数の平行移動には公式があります。

二次関数の平行移動

平行移動の公式

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)

\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動するときは、\(x\)を\(x-p\)に置き換えます。

また、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動するなら、\(y\)を\(y-p\)に置き換えます。

これで\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\(y=a(x-p)^{2}+q\)となります。

 

二次関数の軸や頂点を求め方を知っていると、今回の平行移動の公式も理解しやすくなるでしょう。

>>二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順を分かりやすく解説!

高校生
これは暗記する公式ですか?
公式を暗記するのではなく、使い方を覚えて欲しいな!例を見せるから見てみて
シータ

例1 \(y=x^{2}\)を平行移動

二次関数の平行移動1

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に3,\(y\)軸方向に2だけ平行移動させると、

\(x\)を\(x-3\)に置き換えて、\(y\)を\(y-2\)に置き換えます。

\[y-2=(x-3)^{2}\]

これを整理して、

\[y=(x-3)^{2}+2\]

例2 \(y=-2x^{2}\)を平行移動

次は\(x^{2}\)が係数を持つ場合で考えてみましょう。

二次関数の平行移動2

\(y=-2x^{2}\)を\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動させます。

\(x\)を\(x+2\)に置き換えて、\(y\)を\(y-3\)に置き換えます。

\[y-3=-2(x+2)^{2}\]

これを整理して、

\[y=-2(x+2)^{2}+3\]

 

例3 \(y=2x^{2}+3x+4\)を平行移動

\(y=x^{2}+6x+4\)を\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動させます。

このとき、\(y=x^{2}+6x+4\)を平行移動させる方法が2つあります。

  1. そのまま平行移動
  2. 平方完成してから平行移動

方法1.そのまま平行移動

\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので、

\begin{eqnarray}
y-3&=&(x+2)^{2}+6(x+2)+4\\
y&=&(x^{2}+4x+4)+6(x+2)+4+3\\
y&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray}

したがって、求める二次関数は

\[y=x^{2}+10x+23\]

だと分かりました。

方法2.平方完成してから平行移動

次に平方完成してから移動する方法を紹介します。

まずは\(y=x^{2}+6x+4\)を平方完成します。

\begin{eqnarray*}
y&=&x^{2}+6x+4\\
&=&(x+3)^{2}-9+4\\
&=&(x+3)^{2}-5
\end{eqnarray*}

この関数が\(x\)軸方向に-2,\(y\)軸方向に3だけ平行移動するので

\(x\)を\(x+2\)に置き換えて、\(y\)を\(y-3\)に置き換えます。

\begin{eqnarray*}
y-3&=&(x+2+3)^{2}-5\\
&=&(x+5)^{2}-5+3\\
&=&x^{2}+10x+23
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は

\[y=x^{2}+10x+23\]

となりました。

どちらのやり方でも同じ式になるので安心してください。

なぜ符号が逆になる?

高校生
どうしてx軸方向にp移動させるのに、-pが出てくるの?
いい質問だね!なぜx軸方向への移動は符号が逆になるのか解説するよ!
シータ

 

\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動したときに、なぜ\(x-p\)になるのか疑問に思う方も多いはず。

ここでは符号が逆になることを解説します。練習問題に進めたい方は読み飛ばして大丈夫です。

 

\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは

\[y=a(x-p)^{2}+q\]

でしたね。

 

ここに二次関数\(y=f(x)\)があります。

なぜ符号が逆になるの?

\(y=f(x)\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものを\(y=g(x)\)とします。

なぜ符号が逆になるの?1

このとき\(y=f(x)\)上のとある点\((x,y)\)は、\(y=g(x)\)上の\((X,Y)\)へ平行移動します。

つまり、以下の2つが成り立っています。

\[X=x+p\]

\[Y=y+q\]

なぜ符号が逆になるの?2

これは式変形をすると

\[x=X-p\]
\[y=Y-q\]

となりますね。

したがって、元の二次関数\(y=f(x)\)に代入すると

\[y-q=f(X-p)\]

となり、

\[y=f(x-p)+q\]

が成立しました。

したがって、\(x\)軸方向に\(p\)だけ平行移動とき、\(x\)の部分には\(x-p\)が代入されていることが分かります。

難しい話なのでよく分からない方は、公式だけ覚えておけば大丈夫です。

平行移動《練習問題》

二次関数のグラフを平行移動させる練習をしましょう。

今回は以下の3つの式を平行移動してもらいます。

練習問題

次の二次関数を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させたものを求めよう。

  • \(y=x^{2}\)
  • \(y=-2x^{2}\)
  • \(y=x^{2}+x+1\)

\(y=x^{2}\)の平行移動

\(y=x^{2}\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x-3)^{2}-2\\
&=&(x^{2}-6x+9)-2\\
&=&x^{2}-6x+7
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}-6x+7\)

\(y=-2x^{2}\)の平行移動

\(y=-2x^{2}\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&-2(x-3)^{2}-2\\
&=&-2(x^{2}-6x+9)-2\\
&=&-2x^{2}+12x-20
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は\(y=-2x^{2}+12x-20\)

\(y=x^{2}+x+1\)の平行移動

\(y=x^{2}+x+1\)を\(x\)軸方向に3、y軸方向に-2だけ平行移動させると、

\begin{eqnarray*}
y&=&(x-3)^{2}+(x-3)+1-2\\
&=&(x^{2}-6x+9)+(x-3)-1\\
&=&x^{2}-5x+5
\end{eqnarray*}

したがって、求める二次関数は\(y=x^{2}-5x+5\)

二次関数のおすすめ勉強法

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二次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつけるようになります。

次は二次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

  • 教科書やノートを見直す
  • 問題集で応用力を磨く
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自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

シータ
3つの勉強法を紹介するよ

教科書やノートを見直す

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まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

二次関数の基本は「二次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

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問題集で応用力を磨く

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二次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

  1. 教科書の例題
  2. 問題集の基本問題
  3. 問題集の応用問題

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二次関数の平行移動 まとめ

今回は二次関数の平行移動の公式についてまとめました。

二次関数の平行移動まとめ

平行移動の公式
\(y=ax^{2}\)のグラフを\(x\)軸方向に\(p\)、\(y\)軸方向に\(q\)だけ平行移動させたものは
\[y=a(x-p)^{2}+q\]

高校生
たくさん例題があったからよく分かったよ!

グラフがイメージできるようになると、最大値・最小値の問題もスムーズに理解できるよ。

最大値・最小値の問題は4つのパターンしかないので、慣れてしまえば得点につなげられます。

 

二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

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