二次方程式の解の公式をマスターしよう!

二次関数の解の公式


数学Ⅰ二次関数には「解の公式」を活用する問題が多くあります。

今回解決する悩み

「解の公式とは?」
「解の公式を忘れてしまった」

今回は二次方程式の解の公式について解説します。

高校生
解の公式が覚えられないんです...

 

二次方程式の解を1発で求められる公式が解の公式です。解の公式
本記事では二次方程式の解の公式の使い方を解説します。

そもそも"解"とは何なのか、そういった基礎から解説しているのでぜひご覧ください。

シータ
気になる見出しをクリックして、
ぜひ最後までご覧ください。

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2次関数とは

2次関数とは

2次関数とは次数2の関数を指します。

2次関数

関数とは?

\(x\)の値を1つ決めたとき、それに伴って\(y\)の値も1つに決まる数式のこと。

2次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

>>2次関数の公式と重要ポイントまとめ

二次方程式と解

次のような方程式を二次方程式といいます。

\(x^{2}+5x+4=0\)
\(-2^{2}+3x+1=0\)

二次方程式

参考

\(x^{3}+3x^{2}+x+4=0\)は3次方程式
\(x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+x+4=0\)は4次方程式

 

また、二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)を成り立たせる\(x\)の値を方程式の解といいます。

具体的に言うと、\(x^{2}-5x+4=0\)の解は\(x=1,4\)です。

\(x=1\)を代入すると、
\[1^{2}-5 \cdot 1+4=0\]

\(x=4\)を代入すると、
\[4^{2}-5 \cdot 4+4=0\]

確かに\(x=1,4\)のときに方程式が成り立つことが分かりました。

 

ちなみに、\(x^{2}-5x+4=0\)の解というのは\(y=x^{2}-5x+4\)のグラフとx軸との交点を指します。
つまり、\(x=1,4\)が方程式の解ならば下図のようになっていることが分かります。

方程式の解が表すもの

 

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解の公式と二次方程式

解の公式と二次方程式

二次方程式の解の求め方は主に2つあります。

二次方程式の解の求め方

  • 因数分解して求める
  • 解の公式を用いて求める

下の数式が解の公式です。

解の公式

解の公式を使うとどんな二次方程式でも、簡単に解を求めることができます。

因数分解で解を求める

解の公式を解説する前に因数分解で求める方法を紹介します。

必ず押さえて欲しいので確認しておきましょう。

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=1,4\)

\begin{eqnarray}
2x^{2}-4x-6&=&0\\
2(x^{2}-2x-3)&=&0\\
2(x+1)(x-3)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-1,3\)

解の公式を用いて求める

解の公式

解の公式

かなり便利な公式なので解の公式は必ず覚えましょう。

なぜなら、公式に代入するだけでどんな二次方程式の解も求められるからです。

 

下の方程式ようなキレイに因数分解ができない二次方程式でも簡単に解を求めることができます。

\(x^{2}+4x-2=0\)

\(a=1,b=4,c=-2\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{16+8}}{2}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{24}}{2}\\
&=&-2±\sqrt{6}
\end{eqnarray}

したがって、

\(x=-2±\sqrt{6}\)

解の公式《練習問題》

解の公式を用いて二次方程式の解を求める練習をしましょう。

練習問題

次の二次方程式の解を求めよう。

(1) \(x^{2}-x-3=0\)
(2) \(-2x^{2}+x-3=0\)

\(x^{2}-x-3=0\)

\(a=1,b=-1,c=-3\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{1±\sqrt{1+12}}{2}\\
&=&\frac{1±\sqrt{13}}{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}\]

\(-2x^{2}+x+3=0\)

\(a=-2,b=1,c=-3\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\frac{-1±\sqrt{1+24}}{-4}\\
&=&\frac{1±5}{4}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=-1,\frac{3}{2}\]

2次関数のおすすめ勉強法

順列・組み合わせの勉強法

2次関数は高校数学のなかでも解きやすい問題が多い単元です。

問題の意図をしっかり理解できれば、解法もすぐに思いつけるようになります。

次は2次関数のおすすめ勉強法を紹介します。

  • 教科書やノートを見直す
  • 問題集で応用力を磨く
  • 分かりやすい解説を見る

自分のいまの理解度と目標を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

シータ
3つの勉強法を紹介するよ

教科書やノートを見直す

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

2次関数の基本は「2次関数の公式まとめ」にて解説しているのでご覧ください。

シータ
基本問題が不安なら教科書がおすすめ!

問題集で応用力を磨く

問題集で応用力を磨く

2次関数の関する公式に慣れてきたら、次は問題を解いて応用力を磨きましょう。

  1. 教科書の例題
  2. 問題集の基本問題
  3. 問題集の応用問題

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

2次関数の学習におすすめの問題集を紹介します。

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解の公式 まとめ

今回は二次方程式の解の公式についてまとめました。

解の公式 まとめ
解の公式
二次方程式の解の求め方は主に2つ

  • 因数分解して求める
  • 解の公式を用いて求める

解の公式を使えばどんな二次方程式でも解けるので超便利!

 

解の公式は中学・高校で多用する公式なので、必ず覚えておきましょう。

判別式Dを用いると解の個数を求めることができます。

 

2次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

二次関数まとめ
基礎から確認!2次関数の公式と重要ポイント

それでは最後までご覧いただきありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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  • この記事を書いた人

ゆうや

当サイトの運営者。
指導歴8年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで300名以上を指導。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。

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