二次方程式の解の公式をマスターしよう！

「解の公式とは？」
「解の公式を忘れてしまった」
今回は二次方程式の解の公式について解説します。

高校生

解の公式が覚えられないんです...

二次方程式を成り立たせる$x$の値を方程式の解といいます。

そしてどんな二次方程式でも、各係数の値を代入するだけで解を求められる便利な公式が解の公式です。
$解の公式$
本記事では二次方程式の解の公式の使い方を解説します。

そもそも解とは何なのかも解説しているので、ぜひご覧ください。

記事の内容

二次関数とは
方程式の解とは？
解の公式
練習問題
まとめ

二次関数のまとめ記事へ

二次関数とは

二次関数とは次数2の関数を指します。

$二次関数$

関数とは？

$x$の値を1つ決めたとき、それに伴って$y$の値も1つに決まる数式のこと。

二次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

$二次関数まとめ$: 【保存版】基礎から押さえる！二次関数の公式と重要ポイントの確認
「二次関数が苦手」「二次関数の復習がしたい」 ...

二次方程式と解

次のような方程式を二次方程式といいます。

$x^{2}+5x+4=0$
$-2^{2}+3x+1=0$

$二次方程式$

参考

$x^{3}+3x^{2}+x+4=0$は3次方程式
$x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+x+4=0$は4次方程式

また、二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$を成り立たせる$x$の値を方程式の解といいます。

具体的に言うと、$x^{2}-5x+4=0$の解は$x=1,4$です。

$x=1$を代入すると、
\[1^{2}-5 \cdot 1+4=0\]

$x=4$を代入すると、
\[4^{2}-5 \cdot 4+4=0\]

確かに$x=1,4$のときに方程式が成り立つことが分かりました。

ちなみに、$x^{2}-5x+4=0$の解というのは$y=x^{2}-5x+4$のグラフとx軸との交点を指します。
つまり、$x=1,4$が方程式の解ならば下図のようになっていることが分かります。

$方程式の解が表すもの$

解の公式と二次方程式

二次方程式の解の求め方は主に2つあります。

二次方程式の解の求め方

因数分解して求める
解の公式を用いて求める

下の数式が解の公式です。

$解の公式$

解の公式を使うとどんな二次方程式でも、簡単に解を求めることができます。

因数分解で解を求める

解の公式を解説する前に因数分解で求める方法を紹介します。

必ず押さえて欲しいので確認しておきましょう。

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、$x=1,4$

\begin{eqnarray}
2x^{2}-4x-6&=&0
2(x^{2}-2x-3)&=&0
2(x+1)(x-3)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、$x=-1,3$

解の公式を用いて求める

解の公式

$解の公式$

かなり便利な公式なので解の公式は必ず覚えましょう。

なぜなら、公式に代入するだけでどんな二次方程式の解も求められるからです。

下の方程式ようなキレイに因数分解ができない二次方程式でも簡単に解を求めることができます。

$x^{2}+4x-2=0$

$a=1,b=4,c=-2$として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{16+8}}{2}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{24}}{2}\\
&=&-2±\sqrt{6}
\end{eqnarray}

したがって、

$x=-2±\sqrt{6}$

解の公式《練習問題》

解の公式を用いて二次方程式の解を求める練習をしましょう。

練習問題

次の二次方程式の解を求めよう。

(1)　$x^{2}-x-3=0$
(2)　$-2x^{2}+x-3=0$

$x^{2}-x-3=0$

$a=1,b=-1,c=-3$として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{1±\sqrt{1+12}}{2}\\
&=&\frac{1±\sqrt{13}}{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}\]

$-2x^{2}+x+3=0$

$a=-2,b=1,c=-3$として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\frac{-1±\sqrt{1+24}}{-4}\\
&=&\frac{1±5}{4}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=-1,\frac{3}{2}\]