二次方程式の解の公式をマスターしよう！

数学Ⅰ二次関数には「解の公式」を活用する問題が多くあります。

今回解決する悩み

「解の公式とは？」
「解の公式を忘れてしまった」

今回は二次方程式の解の公式について解説します。

高校生

解の公式が覚えられないんです...

二次方程式の解を1発で求められる公式が解の公式です。
本記事では二次方程式の解の公式の使い方を解説します。

そもそも"解"とは何なのか、そういった基礎から解説しているのでぜひご覧ください。

1 2次関数とは
2 方程式の解とは？
3 解の公式
4 解を求める練習
5 2次関数の勉強法
6 二次方程式　解の公式　まとめ

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2次関数とは

2次関数とは次数2の関数を指します。

関数とは？

\(x\)の値を1つ決めたとき、それに伴って\(y\)の値も1つに決まる数式のこと。

2次関数を総復習したい方はこちらの記事がおすすめです。

＞＞2次関数の公式と重要ポイントまとめ

二次方程式と解

次のような方程式を二次方程式といいます。

\(x^{2}+5x+4=0\)
\(-2^{2}+3x+1=0\)

参考

\(x^{3}+3x^{2}+x+4=0\)は3次方程式
\(x^{4}+5x^{3}+2x^{2}+x+4=0\)は4次方程式

また、二次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)を成り立たせる\(x\)の値を方程式の解といいます。

具体的に言うと、\(x^{2}-5x+4=0\)の解は\(x=1,4\)です。

\(x=1\)を代入すると、
\[1^{2}-5 \cdot 1+4=0\]

\(x=4\)を代入すると、
\[4^{2}-5 \cdot 4+4=0\]

確かに\(x=1,4\)のときに方程式が成り立つことが分かりました。

ちなみに、\(x^{2}-5x+4=0\)の解というのは\(y=x^{2}-5x+4\)のグラフとx軸との交点を指します。
つまり、\(x=1,4\)が方程式の解ならば下図のようになっていることが分かります。

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解の公式と二次方程式

二次方程式の解の求め方は主に2つあります。

二次方程式の解の求め方

因数分解して求める
解の公式を用いて求める

下の数式が解の公式です。

解の公式を使うとどんな二次方程式でも、簡単に解を求めることができます。

因数分解で解を求める

解の公式を解説する前に因数分解で求める方法を紹介します。

必ず押さえて欲しいので確認しておきましょう。

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=1,4\)

\begin{eqnarray}
2x^{2}-4x-6&=&0\\
2(x^{2}-2x-3)&=&0\\
2(x+1)(x-3)&=&0
\end{eqnarray}

したがって、\(x=-1,3\)

解の公式を用いて求める

解の公式

かなり便利な公式なので解の公式は必ず覚えましょう。

なぜなら、公式に代入するだけでどんな二次方程式の解も求められるからです。

下の方程式ようなキレイに因数分解ができない二次方程式でも簡単に解を求めることができます。

\(x^{2}+4x-2=0\)

\(a=1,b=4,c=-2\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{16+8}}{2}\\
&=&\frac{-4±\sqrt{24}}{2}\\
&=&-2±\sqrt{6}
\end{eqnarray}

したがって、

\(x=-2±\sqrt{6}\)

解の公式《練習問題》

解の公式を用いて二次方程式の解を求める練習をしましょう。

練習問題

次の二次方程式の解を求めよう。

(1)　\(x^{2}-x-3=0\)
(2)　\(-2x^{2}+x-3=0\)

\(x^{2}-x-3=0\)

\(a=1,b=-1,c=-3\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-(-1)±\sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\\
&=&\frac{1±\sqrt{1+12}}{2}\\
&=&\frac{1±\sqrt{13}}{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=\frac{1±\sqrt{13}}{2}\]

\(-2x^{2}+x+3=0\)

\(a=-2,b=1,c=-3\)として、解の公式に代入します。

\begin{eqnarray}
\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}&=&\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4 \cdot (-2) \cdot 3}}{2 \cdot (-2)}\\
&=&\frac{-1±\sqrt{1+24}}{-4}\\
&=&\frac{1±5}{4}
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle x=-1,\frac{3}{2}\]