二次関数の最大値・最小値の求め方!範囲の場合分けで考える方法

二次関数の最大値・最小値



「二次関数の最大値・最小値ってどうやって求めるの?」
「最大値・最小値の問題が苦手で...」
今回は最大値・最小値に関する悩みを解決します。

シータ
最大値・最小値の問題には大きく4つのタイプがあるよ!

 

「最大値・最小値の問題はいろいろな問題があって難しい」

こんな風に感じている方も多いと思います。

 

最大値・最小値の問題は大きく分けると以下の4つしかありません。

  • 範囲がない場合
  • 範囲がある場合
  • 範囲に文字を含む場合
  • 軸に文字を含む場合

 

本記事では、二次関数の最大値・最小値の解き方をタイプ別に解説します。

自分の苦手な問題がどのタイプかを考えながら、ぜひ解き方を学んでいってください。

記事の内容

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《復習》二次関数のグラフの書き方

二次関数のグラフの書き方

二次関数のグラフは以下の手順で書くことができます。

グラフを書く手順

  1. 軸・頂点を求める
  2. y軸との交点を求める
  3. 頂点とy軸に交点を滑らかに結ぶ

 

二次関数のグラフの書き方を詳しく知りたい方はこちらの記事からご覧ください。
二次関数のグラフの書き方を3ステップで解説!

シータ
グラフが書けないと最大値・最小値がイメージできないよ

二次関数の最大値・最小値

二次関数の最大値と最小値の求め方を解説します。

最大値と最小値の問題は大きく分けて4つのタイプがあります。

最大値・最小値の4つのタイプ

  • 範囲がない場合
  • 範囲がある場合
  • 範囲に文字を含む場合
  • 軸に文字を含む場合

最大値・最小値を求めるアプローチがそれぞれ異なるので、1つずつじっくりと読んでみてください。

範囲がない場合

まずは、範囲(定義域)のない二次関数の最大値・最小値の問題から解説します。

範囲がない場合というのは以下のような問題です。

範囲がない場合

次の2次関数に最大値、最小値があれば求めよう。

\(y=x^{2}-4x+3\)

\(y=-2x^{2}-4x\)

高校生
見たことあるけど解けませんでした..
これが1番基本的な問題なので必ず解けるようしましょう!
シータ

\(y=x^{2}-4x+3\)の最大値・最小値

まずは平方完成をしてグラフの軸と頂点を求めます。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+3\\
&=&(x-2)^{2}-1
\end{eqnarray}

この関数はグラフにすると下図のようになります。

範囲のない場合1

よって、\(y\)は\(x=2\)で最小値-1をとります。

また、グラフは永遠に上方向に伸びていくので最大値はありません。

二次関数の頂点と軸の求め方は別記事で解説しています。
二次関数の頂点・軸を平方完成で求める手順

\(y=-2x^{2}-4x\)の最大値・最小値

関数の式を変形すると

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}-4x\\
&=&-2(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この関数はグラフにすると下図のようになります。

範囲のない場合2

よって、\(y\)は\(x=-1\)で最大値2をとります。

また、グラフは永遠に下方向に伸びていくので最小値はありません。

 

以上の2問のようにグラフに定義域が与えられていないとき、グラフが最大値、最小値を持たない場合もあるので注意して下さい。

 

範囲がある場合

範囲がある場合は、以下の問題のように定義域が書かれています。

範囲がある場合

\(y=x^{2}-4x+1 (0≦x≦3)\)

\(y=-2x^{2}+4x+5 (-1≦x≦0)\)

では、この2問を解説します。

\(y=x^{2}-4x+1 (0≦x≦3)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

ここで\(0≦x≦3\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

範囲のある場合1

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=1\)

また、実践部分で最小なのが\(x=2\)のときの\(y=-3\)です。

したがって、

\(x=0\)のとき、最大値-1()
\(x=2\)のとき、最小値-3

\(y=-2x^{2}+4x+3 (-1≦x≦0)\)の最大値・最小値

まずは関数を変形して、

\begin{eqnarray}
y&=&-2x^{2}+4x+3\\
&=&-2(x-1)^{2}+5
\end{eqnarray}

ここで\(-1≦x≦0\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

範囲のある場合2

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=0\)のときの\(y=3\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=-3\)です。

したがって、

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=-1\)のとき、最小値-3

範囲に文字を含む場合

範囲(定義域)に文字を含むというのは、以下のような問題のことです。

範囲に文字を含む場合

\(y=x^{2}-2x+3 (0≦x≦a)\)

見たところ範囲がある場合と同じに見えますが、よく見ると範囲に文字が含まれています。

この場合、\(a\)の値によって範囲が変化するため場合分けが必要です。

高校生
場合分け苦手だ、、できるかな、
大丈夫だよ!図使って丁寧に解説するからじっくり読んで見て!
シータ

 

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-2x+3\\
&=&(x-1)^{2}+2
\end{eqnarray}

この問題では\(x\)の定義域が\(0≦x≦a\)でした。

ここで\(a\)の値によって、以下の4つの場合分けします。

  • \(a<1\)のとき
  • \(1≦a<2\)のとき
  • \(a=2\)のとき
  • \(2<a\)のとき

\(a<1\)のとき

\(a<1\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合

\(a<1\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(a<1\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=a\)のとき、最小値\(a^{2}-2a+3\)

\(1≦a<2\)のとき

\(1≦a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合1

\(1≦a<2\)のとき、\(y=(x-1)^{2}+2\)の軸が定義域に含まれています。なので頂点が最小値になることが図から分かります。

したがって、\(1≦a<2\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値3
\(x=1\)のとき、最小値2

\(a=2\)のとき

\(a=2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合2

\(a=2\)のとき、図から分かるように最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=2\)のときの最大値、最小値は

\(x=0,2\)のとき、最大値3
\(x=1\)のとき、最小値2

\(2<a\)のとき

\(2<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

範囲に文字を含む場合4

\(2<a\)のとき、定義域の右端が最大値をとるようになります。

したがって、\(2<a\)のときの最大値、最小値は

\(x=a\)のとき、最大値\(a^{2}-2a+3\)
\(x=1\)のとき、最小値2

 

したがって求める最大値、最小値は

解答

\(a<1\)のとき、最大値3、最小値\(a^{2}-2a+3\)

\(1≦a<2\)のとき、最大値3、最小値2

\(a=2\)のとき、最大値3、最小値2

\(2<a\)のとき、最大値\(a^{2}-2a+3\)、最小値2

軸に文字を含む場合

最後は軸に文字を含む場合ですが、以下のような問題が出題されます。

軸に文字を含む場合

\(a\)は定数とする。関数\(y=2x^{2}-4ax(0≦x≦1)\)の最小値を、次の各場合について、それぞれ求めよう。

(1) \(a<0\)
(2) \(0≦a≦1\)
(3) \(1<a\)

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&2x^{2}-4ax\\
&=&2(x^{2}-2ax)\\
&=&2(x-a)^{2}-2a^{2}
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の3問を解いてみましょう。

(1) \(a<0\)
(2) \(0≦a≦1\)
(3) \(1<a\)

\(a<0\)の場合

\(a<0\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合

\(a<0\)のとき、\(x=0\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=0\)のとき、最小値0

\(0≦a≦1\)の場合

\(0≦a≦1\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合1

\(0≦a≦1\)のとき、\(x=a\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=a\)のとき、最小値\(-2a^{2}\)

\(1<a\)の場合

\(1<a\)のとき、グラフは下図のようになります。

軸に文字を含む場合2

\(1<a\)のとき、\(x=1\)で最小値をとります。

したがって、最小値は\(x=1\)のとき、最小値\(2-4a\)

 

解答

\(a<0\)のとき、最小値0

\(0≦a≦1\)のとき、最小値\(-2a^{2}\)

\(1<a\)のとき、最小値\(2-4a\)

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最大値・最小値《練習問題》

ここまで二次関数の最大値・最小値の求め方を4つのタイプに分けて解説しました。

つぎは最大値・最小値を求める練習をしてみましょう。

練習問題1

練習問題1

次の2次関数の最大値、最小値を求めよう。

\(y=x^{2}+2x+3 (-2≦x≦2)\)

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}+2x+3\\
&=&(x+1)^{2}+2
\end{eqnarray}

ここで\(-2≦x≦2\)なので、グラフは下図の実践部分になります。

練習問題1

このグラフの実践部分で最大なのは\(x=2\)のときの\(y=11\)

また、実践部分で最小なのが\(x=-1\)のときの\(y=2\)です。

 

したがって、求める最大値、最小値は

\(x=2\)のとき、最大値11
\(x=-1\)のとき、最小値2

練習問題2

練習問題2

\(y=x^{2}-4x+1 (0≦x≦a)\)

まずは関数を変形します。

\begin{eqnarray}
y&=&x^{2}-4x+1\\
&=&(x-2)^{2}-3
\end{eqnarray}

ここで\(a\)の値によって、以下の4つの場合分けします。

  • \(0<a<2\)のとき
  • \(2≦a<4\)のとき
  • \(a=4\)のとき
  • \(4<a\)のとき

\(0<a<2\)のとき

\(0<a<2\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

練習問題2

\(0<a<2\)のとき、\(y=(x-2)^{2}-3\)の軸は定義域に含まれていません。

したがって、\(0<a<2\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値1
\(x=a\)のとき、最小値\(a^{2}-4a+1\)

\(2≦a<4\)のとき

\(2≦a<4\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

練習問題2-1

\(2≦a<4\)のとき、最小値は頂点になることが図から分かります。

したがって、\(2≦a<4\)のときの最大値、最小値は

\(x=0\)のとき、最大値1
\(x=2\)のとき、最小値-3

\(a=4\)のとき

\(a=4\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

練習問題2-2

\(a=4\)のとき、最大値をとる点が2つ存在します。

したがって、\(a=4\)のときの最大値、最小値は

\(x=0,4\)のとき、最大値1
\(x=2\)のとき、最小値-3

\(4<a\)のとき

\(4<a\)のとき、定義域に含まれるグラフは下図のようになります。

練習問題2-3

\(4<a\)のとき、最大値は右端の点になります。

したがって、\(4<a\)のときの最大値、最小値は

\(x=a\)のとき、最大値\(a^{2}-4a+1\)
\(x=2\)のとき、最小値-3

 

よって、\((0≦x≦a)\)における\(y=x^{2}-4x+1\)の最大値、最小値は

解答

\(0<a<2\)のとき、最大値1、最小値\(a^{2}-4a+1\)

\(2≦a<4\)のとき、最大値1、最小値-3

\(a=4\)のとき、最大値1、最小値-3

\(4<a\)のとき、最大値\(a^{2}-4a+1\)、最小値-3

二次関数の最大値・最小値 まとめ

今回は二次関数の最大値・最小値の求め方をまとめました。

最大値・最小値 まとめ

最大値・最小値の4パターン

  • 範囲がない場合
  • 範囲がある場合
  • 範囲に文字を含む場合
  • 軸に文字を含む場合

最大値・最小値はまずグラフを書くと解きやすくなる。

範囲や軸に文字を含む場合は場合分けが必要。

 

関数をみて最大値・最小値を判断するのは難しいです。
実際にグラフを書いてみると最大値・最小値がイメージがしやすくなります。

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