数学ⅠA 高校数学

循環小数の例と分数に直す方法

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循環小数の例と分数に直す方法

 

・循環小数ってなに?
・循環小数を分数に直したい

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

循環小数って聞いたことありますか?

0.33333...
0.135135135...

こういった、同じ数字を繰り返す小数を「循環小数」いいます。

循環するから循環小数なんだね!

 

そゆことです!

このページでは、循環小数の例と分数に直す方法を解説していきます。

このページを読めば、循環小数についてはバッチリです!

 

記事の内容
・循環小数の例
・循環小数を分数に直す
・分数を循環小数で表す
・循環小数《練習問題》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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循環小数の例

 

循環小数の例を見ていく前に、小数には大きく2種類のものがあります

  • 有限小数
  • 無限小数

 

循環小数の例

有限小数というのは、0.5,0.25のような、数字が止まる小数のこと。

無限小数というのは、0.3333...,3.141592...のような、無限に続く小数のこと。

 

そして、無限小数のなかにも2種類の無限小数があります。

同じ数字が繰り返される「循環小数」

規則性がない「循環しない小数」

循環小数の例

循環小数の例としては、

0.33333...
0.135135135...

などがあります。

循環小数が何なのかはわかりましたね!

 

ただし、ここで1つ問題が発生します。

 

循環小数ってどこまで書けばいいんですか?

 

かなり鋭い質問ですね。

循環小数は、繰り返さえれる部分を・で囲み省略して書き表します。

0.33333...のとき

循環小数の例
繰り返し始める先頭の数字に・と付けることで、それ以降を省略することができます。

 

1.424242...のとき

循環小数の例

小数部分の42が繰り返されているので、4と2に・を付けることで、繰り返すことを表します。

 

0.135135135...のとき

循環小数の例

このように、循環部分が3桁以上の時も、2桁のときと同様です。
循環部分のはじめと終わりに・を付けることで、その部分が繰り返すことを表します。

これで、循環小数をどこまで書き表すか問題が解決しました。

 

 

循環小数を分数に直す方法

 

循環小数を分数に直す方法を伝授していきます。

 

例えば、こんな問題が出ます。

問題 循環小数\(0.\dot{3}\)を分数で表せ。

\(0.\dot{3}=0.33333...\)

なので、

勘の鋭い方なら、なんとなく\(\displaystyle \frac{1}{3}\)かなぁって感じると思います。

 

だけど、それ本当に?といわれたらムムムって感じですよね。

他にも、\(0.\dot{1}3\dot{5}\)は分数で表せるかと聞かれると、感覚で解くのは難しいですね。

 

実は、循環小数の分数に直す方法はめっちゃ簡単です。

はじめに\(0.\dot{3}\)でやってみます。

求めたい循環小数を\(x\)と置きます。

循環小数を分数に直す方法

循環小数の何が嫌って、後ろに無限に続く部分が嫌ですよね。

そこを消すことを考えます。

\(x=0.3333...\)を10倍することで、

循環小数を分数に直す方法

繰り返している部分を、1つ分ずらすことができました。

これで式の減法をすると、

循環小数を分数に直す方法

\(9x=3\)

\(x=\displaystyle \frac{3}{9}\)

\(x=\displaystyle \frac{1}{3}\)

となり、

\(x=0.3333...\)なので、

\(0.\dot{3}=\displaystyle \frac{1}{3}\)

 

次に、\(0.\dot{1}3\dot{5}\)を分数に直していきましょう。

求めたい循環小数を\(x\)と置きます。

循環小数を分数に直す方法

先程と同じように、後ろの繰り返し部分を消したいのです。

しかし、10倍だと繰り返し部分1つ分はズレません。

今回の場合は、\(x=0.135135\)を1000倍することで、

循環小数を分数に直す方法

繰り返している部分を、1つ分ずらすことができました。

これで式の減法をすると、

循環小数を分数に直す方法

\(999x=135\)

\(x=\displaystyle \frac{135}{999}\)

\(x=\displaystyle \frac{5}{37}\)

となり、

\(x=0.135135...\)なので、

\(0.\dot{1}3\dot{5}=\displaystyle \frac{5}{37}\)

これで、循環小数を分数に直すことができるようになりました。

 

分数を循環小数で表す

 

逆に、分数を循環小数で表すこともできます。

 

例えば、\(\displaystyle \frac{7}{15}\)を循環小数で表します。

\(\displaystyle \frac{7}{15}\)というのは、\(7\div{{15}\)なので、

\(\displaystyle \frac{7}{15}=0.4666...\)

したがって、

\(\displaystyle \frac{7}{15}=0.4\dot{6}\)

となり、循環小数の形に表すことができました。

 

循環小数《練習問題》

循環小数《練習問題》
 
では、今日学んだことを使って練習問題を解いていきましょう。

練習問題1.循環小数\(1.\dot{4}\dot{2}\)を分数で表せ。
2.分数\(\displaystyle \frac{11}{12}\)を循環小数で表せ。

 

解答

1.\(x=1.\dot{4}\dot{2}\)とする。

今回繰り返し部分を1つ分ずらすとしたら、100倍すればよい。

循環小数《練習問題》

\(99x=141\)

\(x=\displaystyle \frac{141}{99}\)

\(x=\displaystyle \frac{47}{33}\)

となり、

\(x=1.424242...\)なので、

\(1.\dot{4}\dot{2}=\displaystyle \frac{47}{33}\)

 

2.\(\displaystyle \frac{11}{12}=11\div{12}\)なので、

循環小数《練習問題》

したがって、

\(\displaystyle \frac{11}{12}=0.91\dot{6}\)

 

循環小数 まとめ

 

今回は数学Aの循環小数の例と分数の表し方についてサクッとまとめました。

 

教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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