図形の性質

三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!

「三角形の五心ってなに?」
「五心の性質を確認したい」
今回はこんな悩みを解決します。

高校生
五心の性質が全然覚えられなくて...

三角形の五心とは、「重心」「内心」「外心」「垂心」「傍心」の5つの点を指します。

五心の中でもよく知られているものと、初めて聞くようなものもありますね。
重心や内心は知っているけれど、傍心は初めて聞いたという方も多いと思います。

 

本記事では、三角形の五心それぞれの定義と性質をまとめました。

本記事を読めば三角形の五心について理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

本記事の見出し

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

三角形の五心についてわかりやすく解説している動画がありました。
動画で確認したい方は、ぜひご覧ください。


Youtubeチャンネル:カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
「総まとめ!内心,外心,重心,垂心,傍心【五心】」

それでは、三角形の五心について解説してきます。

三角形の五心とは

三角形の五心とは
三角形の五心とは、「重心」「内心」「外心」「垂心」「傍心」の5つの点を指します。

5つの点は、それぞれ定義や性質がまったく異なります。

また、点の書き方もそれぞれ異なるので点の書き方も覚えましょう。

五心の中でも「内心」や「重心」は知っている方も多いですね。

一方で、「垂心」や「傍心」の定義や性質を知っている方は少ないと思います。

 

三角形の五心は入試問題や数学オリンピックで出題されることがあります。

その際、五心それぞれの性質を活用する問題が出題されるので、五心の定義や性質、証明はしっかりと確認しておきましょう。

 

三角形の五心 重心

三角形の重心について解説します。

三角形の重心

重心

重さの中心の点
英語で「center of Gravity」のため、点Gと表されることが多い。

重心という言葉はスポーツなどでも使われる言葉なので、比較的親しみやすいと思います。

 

重心は重さの中心になる点で、1点で全体をバランスよく支えられる点を指します。

教科書や鉛筆などで試してみると分かりますが、指一本で支えられるような点が物体のどこかに存在します。

その点が物体の重心です。

 
重心の定義は、「3本の中線の交点」です。

中線とは、ある頂点から向かい合う辺の中点を結んだ線を指します。

三角形の重心 定義 3本の中線の交点

三角形の五心 重心

三角形の重心 性質

  1. 頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
  2. 中線を2:1に内分する

1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
三角形の五心 重心

三角形のある頂点から、重心を通るように直線を結ぶと向かい合う辺を二等分します。

これは重心の定義が、「3本の中線の交点」なので当然の性質です。

 

2:中線を2:1に内分する
三角形の五心 重心

重心はそれぞれの中心を2:1になるように内分する性質があります。

この性質は中学校で習う、中点連結定理をつかって証明することができます。

詳しい証明が知りたい方は「三角形の重心とは?重心の性質と証明」をご覧ください。

三角形の五心 内心

三角形の内心について解説していきます。

内心は五心のなかでもメジャーですね。

内心は、内接円の中心としてよく知られています。

内心の性質と合わせて、内接円の性質も確認しておくと良いでしょう。

三角形の内心 定義 各角の2等分線の交点

三角形の五心 内心

 

三角形の内心 性質

  • 1:角を二等分する
  • 2:内心から各辺までの距離が等しい
  • 3:内接円の中心

1:角を二等分する

定義が角の二等分線の交点なので、当たり前ですよね

三角形の五心 内心

2:内心から各辺までの距離が等しい

三角形の五心 内心

3:内接円の中心
三角形の五心 内心

内心の性質の証明は「三角形の内心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 外心

三角形の外心は油断すると忘れてしまいますよね。

外心は外接円の中心でもあるので要チェックです。

 

三角形の外心 定義 各辺の垂直二等分線の交点

三角形の五心 外心

三角形の外心 性質

  • 1:各辺に垂線を引くと二等分する
  • 2:各頂点からの距離が等しい
  • 3:外接円の中心

1:各辺に垂線を引くと二等分する
三角形の五心 外心

2:各頂点からの距離が等しい
三角形の五心 外心

3:外接円の中心
三角形の五心 外心

外心の性質の証明は「三角形の外心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 垂心

三角形の垂心は名前の通り、垂線の集まる点です。

三角形の垂心 定義 各頂点から向かい合う辺に下した垂線の交点

三角形の五心 垂心

三角形の垂心 性質

  • 1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
  • 2:\(AH=2RcosA\)

1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
三角形の五心 垂心

2:\(AH=2RcosA\)
△ABCの外接円の半径をRとする。
三角形の五心 垂心

垂心の性質の証明は「三角形の垂心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 傍心

おそらく「傍心」が三角形の五心のなかで1番マイナーだと思います。

どれくらいマイナーかというと、ぼくでも忘れるときがあるくらいマイナーです(笑)

 

三角形の傍心 定義角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点

三角形の五心 傍心

三角形の傍心 性質三角形ABCの面積をS、 \(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)

三角形ABCの面積をS、\(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)

三角形の五心 傍心

傍心の性質の証明は「三角形の傍心とは?」にて解説しています。

 

三角形の五心 まとめ

今回は三角形の五心についてまとめました。

三角形の五心それぞれの定義と性質について理解できましたか?

点の位置の定め方や性質の証明については、それぞれ詳しい記事にして解説しているので、そちらもご覧ください。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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