数学ⅠA 高校数学

三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)まとめ

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三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)まとめ
三角形の五心を知っていますか?

「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

これが三角形の五心です。

なんか五人衆みたいでかっこいい...

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の五心それぞれの定義と性質をまとめました。

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 三角形の五心とは?
  • 五心の性質と証明が知りたい

 

三角形の五心について理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の五心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の五心とは
・三角形の五心 内心
・三角形の五心 外心
・三角形の五心 重心
・三角形の五心 垂心
・三角形の五心 傍心

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
数学講師歴5年
教えてきた生徒の数100人以上

 

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三角形の五心とは

三角形の五心とは
三角形の五心とは、「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」の5つの点です。

この5つの点は、それぞれ定義や性質が異なり、点の書き方も異なります。

「内心」や「重心」は耳にしたことある方も多いと思いますが、「傍心」なんかはマイナーですよね。

 

三角形の五心は入試問題や数学オリンピックで頻出問題です。

その際、それぞれの性質は知っているものとして、出題されるケースがほとんどなので、しっかりと理解しておきましょう。

 

三角形の五心 内心

 

三角形の内心はメジャーですよね。

内心の性質と合わせて、内接円の性質も確認しておくと良いでしょう。

三角形の内心 定義 各角の2等分線の交点

三角形の五心 内心

 

三角形の内心 性質

  • 1:角を二等分する
  • 2:内心から各辺までの距離が等しい
  • 3:内接円の中心

1:角を二等分する

定義が角の二等分線の交点なので、当たり前ですよね

三角形の五心 内心

2:内心から各辺までの距離が等しい

三角形の五心 内心

3:内接円の中心
三角形の五心 内心

内心の性質の証明は「三角形の内心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 外心

 

三角形の外心は油断すると忘れてしまいますよね。

外心は外接円の中心でもあるので要チェックです。

 

三角形の外心 定義 各辺の垂直二等分線の交点

三角形の五心 外心

三角形の外心 性質

  • 1:各辺に垂線を引くと二等分する
  • 2:各頂点からの距離が等しい
  • 3:外接円の中心

1:各辺に垂線を引くと二等分する
三角形の五心 外心

2:各頂点からの距離が等しい
三角形の五心 外心

3:外接円の中心
三角形の五心 外心

外心の性質の証明は「三角形の外心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 重心

 

三角形の重心はメジャーですね。

重心という言葉自体がスポーツなどで使われるメジャーな言葉ですもんね。

 

三角形の重心 定義 3本の中線の交点

三角形の五心 重心

三角形の重心 性質

  • 1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
  • 2:中線を2:1に内分する

1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
三角形の五心 重心

2:中線を2:1に内分する
三角形の五心 重心

重心の性質の証明は「三角形の重心とは?重心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 垂心

 

三角形の垂心は名前の通り、垂線の集まる点です。

三角形の垂心 定義 各頂点から向かい合う辺に下した垂線の交点

三角形の五心 垂心

三角形の垂心 性質

  • 1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
  • 2:\(AH=2RcosA\)

1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
三角形の五心 垂心

2:\(AH=2RcosA\)
△ABCの外接円の半径をRとする。
三角形の五心 垂心

垂心の性質の証明は「三角形の垂心の性質と証明」にて解説しています。

 

三角形の五心 傍心

 

三角形の傍心は一番マイナーです。

どれくらいマイナーかというと、ぼくでも忘れるときがあるくらいマイナーです(笑)

 

三角形の傍心 定義角の二等分線と2つの外角の二等分線の交点

三角形の五心 傍心

三角形の傍心 性質三角形ABCの面積をS、 \(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)

三角形ABCの面積をS、\(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)

三角形の五心 傍心

傍心の性質の証明は「三角形の傍心とは?」にて解説しています。

 

三角形の五心 まとめ

 

今回は三角形の五心についてまとめました。

三角形の五心それぞれの定義と性質について理解できましたか?

点の位置の定め方や性質の証明については、それぞれ詳しい記事にして解説しているので、そちらもご覧ください。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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