三角形の五心を知っていますか？
「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」
これが三角形の五心です。
なんか五人衆みたいでかっこいい...
五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。
このページでは、三角形の五心それぞれの定義と性質をまとめました。
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
- 三角形の五心とは？
- 五心の性質と証明が知りたい
三角形の五心について理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。
それでは、三角形の五心について解説してきます。
・三角形の五心とは
・三角形の五心 内心
・三角形の五心 外心
・三角形の五心 重心
・三角形の五心 垂心
・三角形の五心 傍心
数学講師歴5年
教えてきた生徒の数100人以上
三角形の五心とは
三角形の五心とは、「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」の５つの点です。
この５つの点は、それぞれ定義や性質が異なり、点の書き方も異なります。
「内心」や「重心」は耳にしたことある方も多いと思いますが、「傍心」なんかはマイナーですよね。
三角形の五心は入試問題や数学オリンピックで頻出問題です。
その際、それぞれの性質は知っているものとして、出題されるケースがほとんどなので、しっかりと理解しておきましょう。
三角形の五心 内心
三角形の内心はメジャーですよね。
内心の性質と合わせて、内接円の性質も確認しておくと良いでしょう。
- 1:角を二等分する
- 2:内心から各辺までの距離が等しい
- 3:内接円の中心
1:角を二等分する
定義が角の二等分線の交点なので、当たり前ですよね
2:内心から各辺までの距離が等しい
3:内接円の中心
内心の性質の証明は「三角形の内心の性質と証明」にて解説しています。
三角形の五心 外心
三角形の外心は油断すると忘れてしまいますよね。
外心は外接円の中心でもあるので要チェックです。
- 1:各辺に垂線を引くと二等分する
- 2:各頂点からの距離が等しい
- 3:外接円の中心
1:各辺に垂線を引くと二等分する
2:各頂点からの距離が等しい
3:外接円の中心
外心の性質の証明は「三角形の外心の性質と証明」にて解説しています。
三角形の五心 重心
三角形の重心はメジャーですね。
重心という言葉自体がスポーツなどで使われるメジャーな言葉ですもんね。
- 1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
- 2:中線を2:1に内分する
1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する
2:中線を2:1に内分する
重心の性質の証明は「三角形の重心とは？重心の性質と証明」にて解説しています。
三角形の五心 垂心
三角形の垂心は名前の通り、垂線の集まる点です。
- 1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
- 2:\(AH=2RcosA\)
1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である
2:\(AH=2RcosA\)
△ABCの外接円の半径をRとする。
垂心の性質の証明は「三角形の垂心の性質と証明」にて解説しています。
三角形の五心 傍心
三角形の傍心は一番マイナーです。
どれくらいマイナーかというと、ぼくでも忘れるときがあるくらいマイナーです（笑）
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)
三角形ABCの面積をS、\(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)とすると、
\(S=\displaystyle \frac{1}{2} r_{A}(-a+b+c)=r_{A}(s-a)\)
傍心の性質の証明は「三角形の傍心とは？」にて解説しています。
三角形の五心 まとめ
今回は三角形の五心についてまとめました。
三角形の五心それぞれの定義と性質について理解できましたか？
点の位置の定め方や性質の証明については、それぞれ詳しい記事にして解説しているので、そちらもご覧ください。
✅ 三角形の五心をもっと知る
では、今回は以上になります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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