図形の性質

三角形の内心とは?内心の意味や座標&ベクトルの求め方を解説

三角形の内心とは?内心の性質と証明

「内心ってどんな点だっけ」
「内心の性質が知りたい」
今回は内心に関するこんな悩みを解決します。

高校生
内心の定義や性質が知りたくて...

三角形には五心という5つの点が存在します。
内心、外心、重心、垂心、傍心

五心の中でも「内心」や「重心」はよく出題される重要な点です。

本記事では、三角形の内心について定義や性質を解説しています。

 

三角形の内心とは、「三角形の3つの内角の二等分線の交点」を指します。

三角形の内心

また内心の座標や位置ベクトルは以下の公式で求めることができます。

ただし、公式に数字を代入しただけでは減点対象なので記述問題の検算に活用してください。

《内心の座標公式》

内心の座標公式

\(\triangle ABC\)において、\(A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)とすると内心Iの座標は以下のようになる。

\(\displaystyle I(\frac{ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c},\frac{ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c})\)

《内心の位置ベクトル》
\(\triangle ABC\)において、\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)とすると内心Iの位置ベクトルは以下のようになる。

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{a \vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}}{a+b+c}\)

 

本記事を読めば内心のこと理解できます。内心に関する疑問がある方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

それでは三角形の重心について解説していきます。

 

三角形の内心とは

三角形の内心とは、三角形の3つの内角の二等分線の交点を指します。

三角形の内心の定義
三角形の3つの内角の二等分線の交点

 

例えばこの点です。

三角形の内心とは

この点、適当に描いた点ではありません。

三角形の内心とは

各角の2等分線を引いた結果、交わった交点なのです。

これが、三角形の内心です。

 

三角形の内側に接する円のことを「内接円」と呼びます。

内心には「内接円の中心である」という性質があります。

内接円の中心

 

詳しい解説は「内心の性質」で解説します。

内心と外心の違い

内心は三角形の内接円の中心でしたが、外心は外接円の中心となる点です。

三角形の外接円

また、外心は各頂点と対辺の中点を結ぶ線分の交点です。

三角形の外心

内心外心
角の二等分線の交点中線の交点
内接円の中心外接円の中心

外心については「外心の性質と証明」で詳しく解説しています。

内心の座標公式

三角形の内心の座標公式について解説します。

座標公式

\(\triangle ABC\)において、\(BC=a,AC=b,AB=c,A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)とすると内心\(I\)の座標は以下のようになる。

\(\displaystyle I(\frac{ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c},\frac{ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c})\)

ただし、公式に数字を代入しただけでは減点対象なので注意してください。

内心の座標を求める

\(\triangle ABC\)において、各頂点の座標を\(A(3,4),B(0,0),C(7,0)\)とする。

このとき三角形の各辺の長さは

\(BC=7\)

\(AC=\sqrt{(7-3)^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\)

\(AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}=5}\)

 

ゆえに内心の公式に代入してみると

\(\displaystyle I(\frac{7 \cdot 3+4\sqrt{2} \cdot 0+5 \cdot7}{7+ 4\sqrt{2} +5},\frac{7 \cdot 4+4\sqrt{2} \cdot 0+5 \cdot0}{7+ 4\sqrt{2} +5})\)

したがって、

\(\displaystyle I(\frac{14}{3+\sqrt{2}},\frac{7}{3+\sqrt{2}})\)

この公式は検算もしくは答えだけ求める問題で活用してください。

 

座標公式の証明

内心Iの座標公式の証明をします。

\(\triangle ABC\)において、\(BC=a,AC=b,AB=c,A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)とする。

 

角Cの二等分線と辺ABとの交点を点Dとすると、

\(AD:DB=CA:CB=b:a\)

 

したがって、

\(\displaystyle D(\frac{ax_{a}+bx_{b}}{b+a},\frac{ay_{a}+by_{b}}{b+a})\)

また、\(AD:DB=b:a\)より\(\displaystyle AD=\frac{b}{a+b} AB=\frac{b}{a+b} c\)

 

座標公式の証明2

つぎに\(\displaystyle CI:ID=AC:AD=b:\frac{b}{a+b}c=(a+b):c\)

 

したがって、

\(\displaystyle I(\frac{(a+b) \cdot \frac{ax_{a}+bx_{b}}{b+a}+cx_{c}}{(a+b)+c},\frac{(a+b) \cdot \frac{ay_{a}+by_{b}}{b+a}+cy_{c}}{(a+b)+c})\)

\(\displaystyle I(\frac{ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c},\frac{ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c})\)

内心の位置ベクトル

三角形の内心の位置ベクトルについて解説します。

位置ベクトル

\(\triangle ABC\)において、\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)とすると内心Iの位置ベクトルは以下のようになる。

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{a \vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}}{a+b+c}\)

内心の位置ベクトルを求める

\(\triangle ABC\)において、\(A(\vec{a})=(3,4),B(\vec{b})=(0,0),C(\vec{c})=(7,0)\)とする。

 

このとき三角形の各辺の長さは

\(BC=7\)

\(AC=\sqrt{(7-3)^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\)

\(AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}=5}\)

ゆえに内心\(I(\vec{i})\)の位置ベクトルは

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{7 \vec{a}+4\sqrt{2} \vec{b}+5 \vec{c}}{7+ 4\sqrt{2} +5}\)

したがって、

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{7(3,4)+4(0,0)+5(7,0)}{12+ 4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{(56,28)}{12+ 4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle \vec{i}=\frac{(14,7)}{3+ \sqrt{2}}\)

この公式は検算もしくは答えだけ求める問題で活用してください。

位置ベクトルの証明

内心の位置ベクトルの公式を求めるにあたって必要な公式があります。

三角形\(\triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}))\)の内部に点 \(\mathrm{J}(\vec{j})\)をとる。

この時\(\triangle \mathrm{JBC},\triangle \mathrm{JCA},\triangle \mathrm{JAB}\)としてそれぞれの面積比を

\(\triangle \mathrm{JBC}: \triangle \mathrm{JCA}: \triangle \mathrm{JAB}=p: q: r \quad(p, q, r>0)\)とする。

このとき

\(\displaystyle \vec{j}=\frac{p \vec{a}+q \vec{b}+r \vec{c}}{p+q+r}\)

が成り立つ。

 

内心の性質から面積比を考えて、

\(\triangle \mathrm{ABC}\)の内接円の半径をrとする。

位置ベクトル証明

面積比 \(\displaystyle \triangle \mathrm{IBC}: \triangle \mathrm{ICA}: \triangle \mathrm{IAB}=\frac{1}{2} a r: \frac{1}{2} b r: \frac{1}{2} \mathrm{cr}=a: b: c\)

ここで先ほど確認した公式を活用して、

\(p: q: r=a: b: c\)としてよい。

 

ゆえに, \(\displaystyle \vec{i}=\frac{a \vec{a}+b \vec{b}+c \vec{c}}{a+b+c}\)を得る。

 

証明終了

三角形の内心《性質》

三角形の内心にはいくつかの性質があります。

1:角を二等分する

内心の定義が「内角の二等分の交点」なのですぐに理解できると思います。

三角形の内心《性質》

2:内心から各辺までの距離が等しい

三角形の内心《性質》

3:内接円の中心

三角形の内心《性質》

2の応用になりますが、各辺までの距離が等しいということは、そこに円が書けるということです。

したがって、三角形の内心は内接円の中心でもあるのです。

 

三角形の内心《証明》

 

では、三角形の内心が持つ性質の証明をします。

1の「角を二等分する」は定義なので、そういうものだと思ってください。

 

2の「内心から各辺までの距離が等しい」が証明できれば、3の「内接円の中心」であることは円を書けば見えてきますね。

それでは、内心から各辺までの距離が等しくなることを証明していきます。

角の二等分線上に点をとります。

点と辺の距離は垂直に交わる最短の線分なので、角を分けられた二辺に垂線を引くことで、2つの直角三角形ができます。

2つの直角三角形は、斜辺を共有しているため、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、合同な直角三角形といえます。

三角形の内心《証明》

また、同じことを別の三角形でも行うことで、こちらでも点から辺までの距離が等しくなることが確認できました。

三角形の内心《証明》

したがって、各角の二等分線の交点である内心は、各辺までの距離が等しいことが証明されました。

三角形の内心《証明》

したがって、各辺までの垂線を半径と見たとき、内接円を描くことができ、内心は内接円の中心である。

三角形の内心《証明》

三角形の内心の見つけ方

三角形の内心は、実際に角の二等分線を引いていけば見つけることができます。

角の二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

まず好きな頂点から、弧を描きます。

すると、2つの辺の交わると思います。

三角形の内心の見つけ方""

その交点を交点ア、イとでもしましょう。

つぎは交点アに針を置きなおし、再度三角形の内側に弧を描きます。

三角形の内心の見つけ方

これを交点イでも行います。

すると、お互いの弧が交わるので、初めに選んだ頂点から線を引くと、それが角の二等分線です。

三角形の内心の見つけ方

同じことを別の頂点でも行いましょう。

三角形の内心の見つけ方

すると、一か所で交わります。

これが、三角形の内心です。

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、同じところで交わるのでタイムロスです。

 

三角形の内心 まとめ

今回は五心の中から「内心」をピックアップして解説しました。

三角形の内心

三角形の内心
三角形の内角の二等分線の交点

内心の性質

  1. 角を二等分する
  2. 内心から各辺までの距離が等しい
  3. 内接円の中心

内心の定義や性質は知っているものとして問題が出されます。

今回は性質の証明や内心の位置ベクトルなども解説しているので、まだ読んでいない方はご覧ください。

 

また、三角形の五心については別の記事で解説しています。図形が苦手な方はこちらも参考にしてください。
三角形の五心の性質と証明を徹底解説!

 

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