数学ⅠA 高校数学

三角形の内心の性質と証明

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三角形の内心の性質と証明

 

三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の「内心」をピックアップして解説していきます。

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 内心ってなに?
  • 内心の性質について知りたい
  • 内心の証明が知りたい

三角形の内心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の内心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の内心とは
・三角形の内心《性質》
・三角形の内心の見つけ方
・三角形の内心《証明》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角形の内心とは

 

三角形の内心とは何なのかを解説していきます。

まず内心の定義は

三角形の内心の定義
 各角の2等分線の交点

 

例えばこの点です。

三角形の内心とは

この点、適当に描いた点ではありません。

三角形の内心とは

各角の2等分線を引いた結果、交わった交点なのです。

これが、三角形の内心です。

 

三角形の内心《性質》

 

三角形の内心には、いくつかの性質があります。

1:角を二等分する

そりゃ、角の二等分線の交点が内心なので、当たり前のことですね。

三角形の内心《性質》

2:内心から各辺までの距離が等しい

三角形の内心《性質》

3:内接円の中心

三角形の内心《性質》

2の応用になりますが、各辺までの距離が等しいということは、そこに円が書けるということです。

したがって、三角形の内心は内接円の中心でもあるのです。
 

 

三角形の内心の見つけ方

 

三角形の内心は、実際に角の二等分線を引いていけば見つけることができます。

角の二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

まず好きな頂点から、弧を描きます。

すると、2つの辺の交わると思います。

三角形の内心の見つけ方""

その交点を交点ア、イとでもしましょう。

つぎは交点アに針を置きなおし、再度三角形の内側に弧を描きます。

三角形の内心の見つけ方

これを交点イでも行います。

すると、お互いの弧が交わるので、初めに選んだ頂点から線を引くと、それが角の二等分線です。

三角形の内心の見つけ方

同じことを別の頂点でも行いましょう。

三角形の内心の見つけ方

すると、一か所で交わります。

これが、三角形の内心です。

3つ目の頂点でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。

三角形の内心《証明》

 

では、三角形の内心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。

1の「角を二等分する」は定義なので、そういうものだと思ってください。

ここが決まらないと何も始められません。
 

2の「内心から各辺までの距離が等しい」が証明できれば、3の「内接円の中心」であることは円を書けば見えてきますね。

それでは、内心から各辺までの距離が等しくなることを証明していきます。

 
角の二等分線上に点をとります。

点と辺の距離は垂直に交わる最短の線分なので、角を分けられた二辺に垂線を引くことで、2つの直角三角形ができます。

2つの直角三角形は、斜辺を共有しているため、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、合同な直角三角形といえます。

三角形の内心《証明》

また、同じことを別の三角形でも行うことで、こちらでも点から辺までの距離が等しくなることが確認できました。

三角形の内心《証明》

したがって、各角の二等分線の交点である内心は、各辺までの距離が等しいことが証明されました。

三角形の内心《証明》

したがって、各辺までの垂線を半径と見たとき、内接円を描くことができ、内心は内接円の中心である。

三角形の内心《証明》

おわりに

 
今回は五心の中から「内心」をピックアップして解説しました。

内心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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