三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」
五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。
このページでは、三角形の「外心」をピックアップして解説していきます。
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
- 外心ってなに?
- 外心の性質について知りたい
- 外心の証明が知りたい
三角形の外心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。
それでは、三角形の外心について解説してきます。
・三角形の外心とは
・三角形の外心《性質》
・三角形の外心の見つけ方
・三角形の外心《証明》
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
三角形の外心とは
三角形の外心の定義から
各辺の垂直二等分線の交点
ここに三角形があります。
この三角形すべての辺に垂直二等分線を引きます。
すると、3本の垂直二等分線が1点で交わります。
この点が、三角形の外心です。
三角形の外心《性質》
三角形の外心には、いくつかの性質があります。
1:各辺に垂線を引くと二等分する
2:各頂点からの距離が等しい
3:外接円の中心
これは2の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。
したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。
三角形の外心の見つけ方
三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を実際に書くことで、見つけることができます。
垂直二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。
必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。
まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。
このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。
片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。
すると、2つの弧が交わります。
交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。
同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。
3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。
三角形の外心《証明》
三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。
1の「外心から各辺に垂線を引くと二等分する」は、三角形の外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。
「外心から垂線を引くと二等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」
このどちらともいえます。
つぎに2「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。
外心と2つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。
垂直二等分線を引くことで、三角形が2つに分けられます。
この2つの三角形は、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。
したがって、\(OA=OB\)
他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、\(OA=OC\)
よって、\(OA=OB=OC\)となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。
3「外接円の中心」は2の性質を応用すると、簡単に証明できます。
2の\(OA=OB=OC\)より3点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。
したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。
おわりに
今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。
外心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。
では、今回は以上になります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。