三角形の外心の性質と証明！

「外心の性質ってなんだっけ？」
「外心の位置ベクトルが分からない」
今回は外心に関する悩みを解決します。

高校生

三角形の外心ってどんな点だっけ...

三角形には五心とよばれる5つの点があります。

内心、外心、重心、垂心、傍心

本記事では外心の定義や性質などを詳しく解説します。

ほかの五心については別の記事にまとめています。
⇒三角形の五心の性質と証明を徹底解説！

$三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！$: 三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！
「三角形の五心ってなに？」「五心の性質を確認 ...

三角形の外心とは、「三角形の各辺の垂直二等分線の交点」を指します。

$三角形の外心の定義$

また、外心は三角形の外接円の中心です。

$三角形の外接円$

本記事を読めば外心のことがすべて理解できます。外心の疑問がある方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

外心の定義
外心の位置ベクトル
外心の性質
外心と内心のポイント
外心の性質《証明》
外心の見つけ方
外心　まとめ

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

それでは三角形の外心について解説していきます。

三角形の外心とは

三角形の外心とは、三角形の各辺の垂直二等分線の交点を指します。

$三角形の外心の定義$

三角形の外心の定義
各辺の垂直二等分線の交点

下図のように三角形があります。

$三角形の外心とは$

この三角形すべての辺に垂直二等分線を引きます。

$三角形の外心とは$

すると、3本の垂直二等分線が１点で交わります。

この点を三角形の外心と呼びます。

外心の位置ベクトル

外心の位置ベクトルは以下のように表されます。

$外心の位置ベクトル$

$\triangle ABC$の頂点の位置ベクトルを$\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})$とする。
また$BC=a,AC=b,AB=c$として、外心の位置ベクトルを$P(\vec{p})$とすると、

$\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}$

外心の位置ベクトル《証明》

三角形の外心の位置ベクトルの証明は以下の通りです。

+　証明が知りたい方はクリック

外心の位置ベクトルの公式を証明するにあたって、確認しておきたいことがあります。

三角形$\triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}))$ において、三角形の内部に点$\mathrm{J}(\vec{j})$をとる。

このとき$\triangle JBC,\triangle JCA, \triangle JAB$の面積比を

$\triangle \mathrm{JBC}: \triangle \mathrm{JCA}: \triangle \mathrm{JAB}=p: q: r \quad(p, q, r>0)$

とするとき,

$\displaystyle \vec{j}=\frac{p \vec{a}+q \vec{b}+r \vec{c}}{p+q+r}$が成り立つ。

これを活用して外心の位置ベクトルの公式を証明します。

$\triangle ABC$の外接円の半径をRとする。

このとき、三角形の面積比は

$\triangle PBC: \triangle PCA: \triangle PAB$

$\displaystyle =\frac{1}{2} R^{2} \sin 2 A: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 B: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 C$

$=\sin 2 A: \sin 2 B: \sin 2 C$

ここで先ほど確認した三角形の位置ベクトルと面積比の公式より、

$p=\sin 2 A, q=\sin 2 B,r=\sin 2 C$とすると、

$\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}$

証明終了。

三角形の外心《性質》

三角形の外心には、いくつかの性質があります。

１：各辺に垂線を引くと二等分する

$三角形の外心《性質》$

２：各頂点からの距離が等しい

$三角形の外心《性質》$

３：外接円の中心

$三角形の外心《性質》$

これは２の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。

したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。

✅　三角形の五心まとめ記事

三角形の五心（内心、外心、重心、垂心、傍心）性質まとめ

三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！

外心と内心のポイント

三角形の外接円の中心を外心と呼ぶのに対して、三角形の内接円の中心を内心と呼びます。

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点でした。

一方で、三角形の内心は「三角形の各角の２等分線の交点」です。

$三角形の五心　内心$

三角形の内心の性質は以下のようなものがあります。

三角形の内心　性質

角を二等分する
内心から各辺までの距離が等しい
内接円の中心

三角形の内心や五心について詳しく知りたい方はこちら

$三角形の内心とは？内心の性質と証明$: 三角形の内心とは？内心の意味や座標＆ベクトルの求め方を解説
「内心ってどんな点だっけ」「内心の性質が知り ...
続きを見る

$三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！$: 三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！
「三角形の五心ってなに？」「五心の性質を確認 ...
続きを見る

三角形の外心の見つけ方

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を書くことで見つけることができます。

必要なものは三角形、筆記用具、コンパスです。

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

$三角形の外心の見つけ方$

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、２つの弧が交わります。

$三角形の外心の見つけ方$

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

$三角形の外心の見つけ方$

同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。

$三角形の外心の見つけ方$

３つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、同じところで交わるのでタイムロスです。

三角形の外心《証明》

三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。

１の「外心から各辺に垂線を引くと二等分する」は、三角形の外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。

「外心から垂線を引くと二等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」

このどちらともいえます。

つぎに２「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。

外心と２つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。

$三角形の外心《証明》$

垂直二等分線を引くことで、三角形が２つに分けられます。

この２つの三角形は、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。

したがって、$OA=OB$

$三角形の外心《証明》$

他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、$OA=OC$

$三角形の外心《証明》$

よって、$OA=OB=OC$となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。

$三角形の外心《証明》$

３「外接円の中心」は２の性質を応用すると、簡単に証明できます。

２の$OA=OB=OC$より３点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。

$三角形の外心《証明》$

したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。

三角形の外心　まとめ

今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。

$三角形の外心の定義$

三角形の外心
三角形の各辺の垂直二等分線の交点

外心の性質

各辺に垂線をひくと垂直に二等分する
各頂点からの距離が等しい
外接円の中心

外心の定義や性質は知っているものとして問題が出されます。

今回は性質の証明や外心の位置ベクトルなども解説しているので、まだ読んでいない方はご覧ください。

また、三角形の五心については別の記事で解説しています。図形が苦手な方はこちらも参考にしてください。
⇒三角形の五心の性質と証明を徹底解説！

$三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！$: 三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！
「三角形の五心ってなに？」「五心の性質を確認 ...

2021年映像授業ランキング

スタディサプリ

会員数157万人の業界No.1の映像授業サービス。月額2,178円で4万本以上の授業が受け放題。圧倒的なコスパの良さで非常におすすめ。リクルートが運営しているので、安全性もバッチリ。

無料体験から始める

河合塾One

河合塾が提供する映像授業アプリです。AIが自動で自分のニガテな単元を覚えてくれるので、基礎から学びたい方におすすめです。

無料体験から始める

2021年におすすめしたい映像授業をまとめました。
⇒【2021年完全版】映像授業おすすめランキング！全5社を徹底比較！

$【2021年】おすすめ映像授業5選を徹底比較！《高校生向け》$: 【2021年】おすすめ映像授業5選を徹底比較！《高校生向け》
いますぐ始めたい方へ⇩当記事で人 ...
続きを見る

三角形の外心の性質と証明

三角形の五心（内心,外心,重心,垂心,傍心）の性質と証明を解説！

三角形の外心とは