三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」
五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。
このページでは、三角形の「外心」をピックアップして解説していきます。
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
- 外心ってなに？
- 外心の性質について知りたい
- 外心の証明が知りたい
三角形の外心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。
それでは、三角形の外心について解説してきます。
・三角形の外心とは
・三角形の外心《性質》
・三角形の外心の見つけ方
・三角形の外心《証明》
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
三角形の外心とは
三角形の外心の定義から
各辺の垂直二等分線の交点
ここに三角形があります。
この三角形すべての辺に垂直二等分線を引きます。
すると、3本の垂直二等分線が１点で交わります。
この点が、三角形の外心です。
三角形の外心《性質》
三角形の外心には、いくつかの性質があります。
１：各辺に垂線を引くと二等分する
２：各頂点からの距離が等しい
３：外接円の中心
これは２の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。
したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。
三角形の外心の見つけ方
三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を実際に書くことで、見つけることができます。
垂直二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。
必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。
まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。
このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。
片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。
すると、２つの弧が交わります。
交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。
同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。
３つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。
三角形の外心《証明》
三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。
１の「外心から各辺に垂線を引くと二等分する」は、三角形の外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。
「外心から垂線を引くと二等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」
このどちらともいえます。
つぎに２「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。
外心と２つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。
垂直二等分線を引くことで、三角形が２つに分けられます。
この２つの三角形は、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。
したがって、\(OA=OB\)
他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、\(OA=OC\)
よって、\(OA=OB=OC\)となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。
３「外接円の中心」は２の性質を応用すると、簡単に証明できます。
２の\(OA=OB=OC\)より３点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。
したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。
おわりに
今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。
外心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。
では、今回は以上になります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
