三角形の外心の性質と証明

三角形の外心とは?外心の性質と証明

「外心の性質ってなんだっけ?」
「外心の位置ベクトルが分からない」
今回は外心に関する悩みを解決します。

高校生
三角形の外心ってどんな点だっけ...

 

三角形には五心とよばれる5つの点があります。

三角形の五心の一覧

今回解説する「外心」は五心の重要な点の1つです。

 

三角形の外心とは、「三角形の各辺の垂直二等分線の交点」を指します。

三角形の外心の定義

三角形の垂直二等分線を引くと、1点で交わるのです。

 

また、外心は三角形の外接円の中心です。

三角形の外接円

 

本記事では三角形の外心の定義や性質を解説します。

外心の疑問がある方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

筆者の信頼性

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
高校数学のまとめサイトを作成中

それでは三角形の外心について解説していきます。

三角形の外心とは

三角形の外心とは、三角形の各辺の垂直二等分線の交点を指します。

三角形の外心の定義

三角形の外心の定義
各辺の垂直二等分線の交点

 

下図のような三角形\(ABC\)があるとしましょう。

三角形の外心とは

この三角形のすべての辺に垂直二等分線を引きます。

三角形の外心とは

すると、3本の垂直二等分線が1点で交わります。

この点を三角形の"外心"と呼びます。

 

また、三角形の各頂点を通る円を「外接円」といいます。

三角形の外心《性質》

外心には「外接円の中心」という性質があります。

 

シータ
各辺の垂直二等分線で外心を見つけられるよ

外心の位置ベクトル

外心の位置ベクトルは以下のように表されます。

外心の位置ベクトル

外心の位置ベクトル

\(\triangle ABC\)の頂点の位置ベクトルを\(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})\)として、心の位置ベクトルを\(P(\vec{p})\)とすると、

\[\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}\]

外心の位置ベクトル《証明》

三角形の外心の位置ベクトルを証明しましょう。

外心の位置ベクトル

位置ベクトルの公式を証明するにあたって、確認しておきたいことがあります。

三角形\(\triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}))\)の内部に点 \(\mathrm{J}(\vec{j})\)をとる。

この時\(\triangle \mathrm{JBC},\triangle \mathrm{JCA},\triangle \mathrm{JAB}\)としてそれぞれの面積比を

\(\triangle \mathrm{JBC}: \triangle \mathrm{JCA}: \triangle \mathrm{JAB}=p: q: r \quad(p, q, r>0)\)とする。

このとき

\(\displaystyle \vec{j}=\frac{p \vec{a}+q \vec{b}+r \vec{c}}{p+q+r}\)

が成り立つ。

 

これを活用して外心の位置ベクトルの公式を証明します。

\(\triangle ABC\)の外接円の中心を点\(P\)、半径を\(R\)とする。

外心の証明

このとき、三角形の面積比は

\begin{eqnarray}
&&\displaystyle \triangle PBC: \triangle PCA: \triangle PAB\\
&=&\frac{1}{2} R^{2} \sin 2 A: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 B: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 C\\
&=&\sin 2 A: \sin 2 B: \sin 2 C
\end{eqnarray}

 

ここで先ほど確認した三角形の位置ベクトルと面積比の公式より、

\(p=\sin 2 A, q=\sin 2 B,r=\sin 2 C\)とすると、

\[\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}\]

これで、証明終了です。

 

高校生
難しくてよく分からなかったです...
難しいところなので、ひとまず飛ばしても大丈夫です
シータ

三角形の外心《性質》

三角形の外心には、いくつかの性質があります。

外心の性質

  1. 各辺に垂線を引くと2等分する
  2. 各頂点からの距離が等しい
  3. 外接円の中心

1:各辺に垂線を引くと2等分する

 

三角形の外心《性質》

2:各頂点からの距離が等しい

三角形の外心《性質》

3:外接円の中心

三角形の外心《性質》

これは2の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。

したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。

✅ 三角形の五心まとめ記事

三角形の五心(内心、外心、重心、垂心、傍心)性質まとめ

外心の性質《証明》

三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。

 

1の「各辺に垂線を引くと2等分する」は、外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。

「外心から垂線を引くと2等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」

このどちらともいえます。

 

つぎに2「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。

外心と2つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。

三角形の外心《証明》

垂直二等分線を引くことで、三角形が2つに分けられます。

この2つの三角形は、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。

したがって、\(OA=OB\)

三角形の外心《証明》

他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、\(OA=OC\)

三角形の外心《証明》

よって、\(OA=OB=OC\)となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。

三角形の外心《証明》

3「外接円の中心」は2の性質を応用すると、簡単に証明できます。

2の\(OA=OB=OC\)より3点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。

三角形の外心《証明》

したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。

内心と外心の違い

"内心""外心"はよく出てくる点なので、違いを理解しておきましょう。

外心は三角形の外接円の中心ですが、内心は内接円の中心となる点です。

内接円の中心

また、内心は角の二等分線の交点です。

三角形の内心

三角形の内心の性質は以下のようなものがあります。

三角形の内心 性質

  1. 角を二等分する
  2. 内心から各辺までの距離が等しい
  3. 内接円の中心

 

《内心と外心》

内心外心
角の二等分線の交点垂直二等分線の交点
内接円の中心外接円の中心

内心については「 三角形の性質と証明」で詳しく解説しています。

 

高校生
外心は中線の交点なんですね!
そうなんだよ!外心も一緒に理解しておこう!
シータ

三角形の外心の見つけ方

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を書くことで見つけることができます。

必要なものは三角形、筆記用具、コンパスです。

 

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

三角形の外心の見つけ方

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、2つの弧が交わります。

三角形の外心の見つけ方

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

三角形の外心の見つけ方

同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。

三角形の外心の見つけ方

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、同じところで交わるのでタイムロスです。

 

三角形の外心 まとめ

今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。

三角形の外心 まとめ

三角形の外心の定義

三角形の外心

定義:三角形の各辺の垂直二等分線の交点

三角形の外心はよく出てくる点なので、性質も覚えておきましょう。

外心の性質

  1. 各辺に垂線を引くと2等分する
  2. 各頂点からの距離が等しい
  3. 外接円の中心

外心の定義や性質は知っているものとして問題が出されます。

 

今回は五心のなかから"外心"に焦点を当てて解説しました。

「重心」「垂心」も重要な点なので、必ず理解しておきましょう。

 

その他の五心については別の記事で解説しています。

三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!
三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!

「三角形の五心ってなに?」 「五心の性質を確認 ...

 

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