図形の性質

三角形の外心の性質と証明

三角形の外心とは?外心の性質と証明

「外心の性質ってなんだっけ?」
「外心の位置ベクトルが分からない」
今回は外心に関する悩みを解決します。

高校生
三角形の外心ってどんな点だっけ...

 

三角形には五心とよばれる5つの点があります。

内心、外心、重心、垂心、傍心

 

本記事では外心の定義や性質などを詳しく解説します。

三角形の外心とは、「三角形の各辺の垂直二等分線の交点」を指します。

三角形の外心の定義

 

また、外心は三角形の外接円の中心です。

三角形の外接円

 

本記事を読めば外心のことがすべて理解できます。外心の疑問がある方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上
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それでは三角形の外心について解説していきます。

 

三角形の外心とは

三角形の外心とは、三角形の各辺の垂直二等分線の交点を指します。

三角形の外心の定義

三角形の外心の定義
各辺の垂直二等分線の交点

下図のように三角形があります。

三角形の外心とは

この三角形すべての辺に垂直二等分線を引きます。

三角形の外心とは

すると、3本の垂直二等分線が1点で交わります。

この点を三角形の外心と呼びます。

 

外心の位置ベクトル

外心の位置ベクトルは以下のように表されます。

外心の位置ベクトル

\(\triangle ABC\)の頂点の位置ベクトルを\(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c})\)とする。
また\(BC=a,AC=b,AB=c\)として、外心の位置ベクトルを\(P(\vec{p})\)とすると、

\(\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}\)

 

外心の位置ベクトル《証明》

三角形の外心の位置ベクトルの証明は以下の通りです。

+ 証明が知りたい方はクリック

外心の位置ベクトルの公式を証明するにあたって、確認しておきたいことがあります。

三角形\(\triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}))\) において、三角形の内部に点\(\mathrm{J}(\vec{j})\)をとる。

このとき\(\triangle JBC,\triangle JCA, \triangle JAB\)の面積比を

\(\triangle \mathrm{JBC}: \triangle \mathrm{JCA}: \triangle \mathrm{JAB}=p: q: r \quad(p, q, r>0)\)

とするとき,

\(\displaystyle \vec{j}=\frac{p \vec{a}+q \vec{b}+r \vec{c}}{p+q+r}\)が成り立つ。

これを活用して外心の位置ベクトルの公式を証明します。

\(\triangle ABC\)の外接円の半径をRとする。

このとき、三角形の面積比は

\(\triangle PBC: \triangle PCA: \triangle PAB\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2} R^{2} \sin 2 A: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 B: \frac{1}{2} R^{2} \sin 2 C\)

\(=\sin 2 A: \sin 2 B: \sin 2 C\)

ここで先ほど確認した三角形の位置ベクトルと面積比の公式より、

\(p=\sin 2 A, q=\sin 2 B,r=\sin 2 C\)とすると、

\(\displaystyle \vec{p}=\frac{\vec{a} \sin 2 A+\vec{b} \sin 2 B+\vec{c} \sin 2 C}{\sin 2 A+\sin 2 B+\sin 2 C}\)

証明終了。

 

三角形の外心《性質》

三角形の外心には、いくつかの性質があります。

1:各辺に垂線を引くと二等分する

三角形の外心《性質》

2:各頂点からの距離が等しい

三角形の外心《性質》

3:外接円の中心

三角形の外心《性質》

これは2の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。

したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。

 

外心と内心のポイント

三角形の外接円の中心を外心と呼ぶのに対して、三角形の内接円の中心を内心と呼びます。

 

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線の交点でした。

一方で、三角形の内心は「三角形の各角の2等分線の交点」です。

三角形の五心 内心

 

三角形の内心の性質は以下のようなものがあります。

三角形の内心 性質

  1. 角を二等分する
  2. 内心から各辺までの距離が等しい
  3. 内接円の中心

 

三角形の内心や五心について詳しく知りたい方はこちら


三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!
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三角形の外心の見つけ方

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を書くことで見つけることができます。

必要なものは三角形、筆記用具、コンパスです。

 

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

三角形の外心の見つけ方

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、2つの弧が交わります。

三角形の外心の見つけ方

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

三角形の外心の見つけ方

同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。

三角形の外心の見つけ方

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、同じところで交わるのでタイムロスです。

 

三角形の外心《証明》

三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。

 

1の「外心から各辺に垂線を引くと二等分する」は、三角形の外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。

「外心から垂線を引くと二等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」

このどちらともいえます。

 

つぎに2「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。

外心と2つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。

三角形の外心《証明》

垂直二等分線を引くことで、三角形が2つに分けられます。

この2つの三角形は、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。

したがって、\(OA=OB\)

三角形の外心《証明》

他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、\(OA=OC\)

三角形の外心《証明》

よって、\(OA=OB=OC\)となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。

三角形の外心《証明》

3「外接円の中心」は2の性質を応用すると、簡単に証明できます。

2の\(OA=OB=OC\)より3点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。

三角形の外心《証明》

したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。

 

三角形の外心 まとめ

今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。

三角形の外心の定義

三角形の外心
三角形の各辺の垂直二等分線の交点

外心の性質

  1. 各辺に垂線をひくと垂直に二等分する
  2. 各頂点からの距離が等しい
  3. 外接円の中心

外心の定義や性質は知っているものとして問題が出されます。

今回は性質の証明や外心の位置ベクトルなども解説しているので、まだ読んでいない方はご覧ください。

 

また、三角形の五心については別の記事で解説しています。図形が苦手な方はこちらも参考にしてください。
三角形の五心の性質と証明を徹底解説!

 

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