数学ⅠA 高校数学

三角形の外心の性質と証明

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三角形の外心の性質と証明

 

三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の「外心」をピックアップして解説していきます。

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 外心ってなに?
  • 外心の性質について知りたい
  • 外心の証明が知りたい

三角形の外心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の外心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の外心とは
・三角形の外心《性質》
・三角形の外心の見つけ方
・三角形の外心《証明》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角形の外心とは

三角形の外心の定義から

三角形の外心の定義
 各辺の垂直二等分線の交点

ここに三角形があります。

三角形の外心とは

この三角形すべての辺に垂直二等分線を引きます。

三角形の外心とは

すると、3本の垂直二等分線が1点で交わります。

この点が、三角形の外心です。

 

三角形の外心《性質》

三角形の外心には、いくつかの性質があります。

1:各辺に垂線を引くと二等分する

三角形の外心《性質》

2:各頂点からの距離が等しい

三角形の外心《性質》

3:外接円の中心

三角形の外心《性質》

これは2の性質より、各頂点までの距離を半径とすることで円が見えてきます。

したがって、三角形の外心は外接円の中心でもあるのです。
 

 

三角形の外心の見つけ方

三角形の外心は、各辺の垂直二等分線を実際に書くことで、見つけることができます。

垂直二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

 

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

三角形の外心の見つけ方

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、2つの弧が交わります。

三角形の外心の見つけ方

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

三角形の外心の見つけ方

同様に他の辺でも垂直二等分線を引いて、交わった点が外心です。

三角形の外心の見つけ方

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。

 

三角形の外心《証明》

三角形の外心が持つ性質をなぜそうなるのか証明していきます。

1の「外心から各辺に垂線を引くと二等分する」は、三角形の外心の定義「各辺の垂直二等分線の交点」の言い換えですね。

「外心から垂線を引くと二等分する」
「外心と各辺の中点は垂直に交わる」

このどちらともいえます。

 

つぎに2「各頂点からの距離が等しい」を証明していきます。

外心と2つの頂点を結ぶと三角形が見えてきます。

三角形の外心《証明》

垂直二等分線を引くことで、三角形が2つに分けられます。

この2つの三角形は、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、合同になります。

したがって、\(OA=OB\)

三角形の外心《証明》

他の頂点でも、同様に二等辺三角形になり、\(OA=OC\)

三角形の外心《証明》

よって、\(OA=OB=OC\)となり、外心は各頂点からの距離が等しいことが証明されました。

三角形の外心《証明》

3「外接円の中心」は2の性質を応用すると、簡単に証明できます。

2の\(OA=OB=OC\)より3点すべて等距離にあるので、外心を円の中心として、円を描くことができます。

三角形の外心《証明》

したがって、外心は外接円の中心であることが分かりました。

 

おわりに

今回は五心の中から「外心」をピックアップして解説しました。

外心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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