内分点、外分点の座標公式を図で理解！

高校数学で何度も登場することになる「内分点」、「外分点」

内側で分ける点と外側で分ける点ですね。

このページでは、内分点と外分点の座標公式を解説していきます。

 
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
 

なんとなくは分かるけど、説明するとなると...

 
という方も多いようですね。
 
それでは、内分点、外分点の座標公式を解説していきます。
 

内分点の座標公式

内分点とは

 
内分点とは、線分を\(m:n\)になるように線分の内側で分ける点です。

定義
線分ABを\(m:n\)に内分する点\(P\)
→\(AP:BP=m:n\)を満たす点で線分\(AB\)の内側にあるもの。
 
たとえば、点Pが線分ABを\(3:2\)に内分するならば下の図のようになる。

内分点の座標公式

では、実際に内分点の座標公式を使ってみましょう。

2点\(A(3,2),B(9,6)\)のとき、線分ABを\(3:2\)に内分する点Pの座標を求めよ。

こういった問題が出るわけです。

ポイントは分母は比率を足して、分子は両端の座標に交差するように掛けて足し合わせること。

\(x\)座標は、A(3,2),B(9,6)なので、

　\(x_{P}=\displaystyle \frac{2\times{3}+3\times{9}}{3+2}=\displaystyle \frac{33}{5}\)
 

\(y\)座標は、A(3,2),B(9,6)より、

　\(y_{P}=\displaystyle \frac{2\times{2}+3\times{6}}{3+2}=\displaystyle \frac{22}{5}\)

 
したがって、線分ABを\(3:2\)に内分する点Pの座標は

\(P\biggl(\displaystyle \frac{33}{5},\displaystyle \frac{22}{5}\biggr)\)

となる。

内分点の座標公式　証明

 
証明は中学校の知識でできます。

 
中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと

\(AP:BP=m:n\)のとき、\(A'P':B'P'=m:n\)

したがって

\(A'P':B'P'=m:n\)

\((x-x_{A}):(x_{B}-x)=m:n\)

\(n(x-x_{A})=m(x_{B}-x)\)

\(nx-nx_{A}=mx_{B}-mx\)

\(mx+nx=nx_{A}+mx_{B}\)

\((m+n)x=nx_{A}+mx_{B}\)

\(x=\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n}\)

証明終了

 
y座標についても同様に示すことができます。
 

外分点の座標公式

外分点とは

 
外分点とは、線分が\(m:n\)になるように線分の外側で定まる点です。

定義
線分ABを\(m:n\)に外分する点\(Q\)
→\(AQ:BQ=m:n\)を満たす点で線分\(AB\)の外側にあるもの。
 
たとえば、点Qが線分ABを\(5:2\)に外分するならば下の図のようになる。

また、点Qが線分ABを\(2:5\)に外分するならば下の図のようになる。

つまり、数字が小さい方に飛び出していくと考えればよいです。
 

外分点の座標公式

では、実際に外分点の座標公式を使ってみましょう。

2点\(A(3,2),B(9,6)\)のとき、線分ABを\(5:2\)に内分する点Qの座標を求めよ。

注意すべきは、内分点の時は分母は比率を足しましたが、外分点では引き算をします。

\(x\)座標は、A(3,2),B(9,6)なので、

　\(x_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{3}+5\times{9}}{5-2}=\displaystyle \frac{39}{3}=13\)
 

\(y\)座標は、A(3,2),B(9,6)より、

　\(y_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{2}+5\times{6}}{5-2}=\displaystyle \frac{26}{3}\)

 
したがって、線分ABを\(5:2\)に内分する点Qの座標は

\(Q\biggl(13,\displaystyle \frac{26}{3}\biggr)\)

となる。
 

外分点の座標公式　証明

 
こちらも内分点同様に、証明は中学校の知識でできます。

 
今回は\(m\)＞\(n\)のときを証明しますが、\(m\)＜\(n\)のときも同じように証明ができます。

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと

\(AQ:BQ=m:n\)のとき、\(A'Q':B'Q'=m:n\)

したがって

\(A'Q':B'Q'=m:n\)

\((x-x_{A}):(x-x_{B})=m:n\)

\(n(x-x_{A})=m(x-x_{B})\)

\(nx-nx_{A}=mx-mx_{B}\)

\(-mx+nx=nx_{A}-mx_{B}\)

\((-m+n)x=nx_{A}-mx_{B}\)

\(x=\displaystyle \frac{nx_{A}-mx_{B}}{-m+n}\)

\(x=\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n}\)

証明終了

 
y座標についても同様に示すことができる。
 

内分点、外分点の座標公式　まとめ

内分点と外分点の座標公式についてまとめていきます。

それぞれの座標公式は上のようになっており、

大きな違いとしては内分点は分母が比率の和になっており、外分点は分母が比率の差になっていることです。

分子は分母の項を交差して掛ける

これらはしっかりと覚えておきましょう。
 

おわりに

 
今回は内分点、外分点の座標公式についてまとめました。

内分点、外分点はベクトルや複素数の分野でも出てきますが、ほとんど考え方は同じです。

なので、今のうちから公式の形と計算に慣れておくとベクトル、複素数でもスムーズに対応できるようになります。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

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