内分点、外分点の座標公式を図で理解！

$内分点、外分点の座標公式を図で理解！$

こんにちは、ゆうやです。

今回は内分点・外聞点に関する悩みを解決していきます。

内分・外聞ってなに？
内分点の求め方は？
外分点の求め方は？

高校数学でよく耳にする「内分点」「外分点」

内分・外分の求め方をしっかり覚えよう

今回は内分点・外分点についてまとめました。

では順を追って見ていきましょう！

記事の内容
・内分点とは
・内分点の座標公式
・外分点とは
・外分点の座標公式

ライター紹介国公立教育大学を卒業
数学講師歴5年
担当した生徒の数は100人以上
高校数学を網羅するサイト作成中

1 内分点とは
2 内分点の座標公式
3 内分点の座標公式　証明
4 外分点とは
5 外分点の座標公式
6 外分点の座標公式　証明
7 内分点、外分点の座標公式　まとめ

内分点とは

内分点とは、線分を$m:n$になるように線分の内側で分ける点です。

内分の定義線分ABを$m:n$に内分する点$P$
→$AP:BP=m:n$を満たす点で線分$AB$の内側にあるもの。

たとえば、点Pが線分ABを$3:2$に内分するならば下の図のようになる。

$内分点とは$

内分点の座標公式

　$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$のとき、

　線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は

　$P\biggl(\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n},\displaystyle \frac{ny_{A}+my_{B}}{m+n}\biggr)$

では、実際に内分点の座標公式を使ってみましょう。

2点$A(3,2),B(9,6)$のとき、線分ABを$3:2$に内分する点Pの座標を求めよ。

$内分点の座標公式$

こういった問題が出るわけです。

ポイントは分母は比率を足して、分子は両端の座標に交差するように掛けて足し合わせること。

$内分点の座標公式$

$x$座標は、A(3,2),B(9,6)なので、

　$x_{P}=\displaystyle \frac{2\times{3}+3\times{9}}{3+2}=\displaystyle \frac{33}{5}$

$y$座標は、A(3,2),B(9,6)より、

　$y_{P}=\displaystyle \frac{2\times{2}+3\times{6}}{3+2}=\displaystyle \frac{22}{5}$

したがって、線分ABを$3:2$に内分する点Pの座標は

$P\biggl(\displaystyle \frac{33}{5},\displaystyle \frac{22}{5}\biggr)$

となる。

内分点の座標公式　証明

証明は中学校の知識でできます。

$内分点の座標公式　証明$

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと

$AP:BP=m:n$のとき、$A'P':B'P'=m:n$

したがって

$A'P':B'P'=m:n$

$(x-x_{A}):(x_{B}-x)=m:n$

$n(x-x_{A})=m(x_{B}-x)$

$nx-nx_{A}=mx_{B}-mx$

$mx+nx=nx_{A}+mx_{B}$

$(m+n)x=nx_{A}+mx_{B}$

$x=\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n}$

証明終了

y座標についても同様に示すことができます。

外分点とは

外分点とは、線分が$m:n$になるように線分の外側で定まる点です。

外分の定義線分ABを$m:n$に外分する点$Q$
→$AQ:BQ=m:n$を満たす点で線分$AB$の外側にあるもの。

たとえば、点Qが線分ABを$5:2$に外分するならば下の図のようになる。

$外分点とは$

また、点Qが線分ABを$2:5$に外分するならば下の図のようになる。

$外分点とは$

つまり、数字が小さい方に飛び出していくと考えればよいです。

外分点の座標公式

　$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$のとき、

　線分$AB$を$m:n$に外分する点$Q$の座標は

　$Q\biggl(\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n},\displaystyle \frac{-ny_{A}+my_{B}}{m-n}\biggr)$

では、実際に外分点の座標公式を使ってみましょう。

2点$A(3,2),B(9,6)$のとき、線分ABを$5:2$に内分する点Qの座標を求めよ。

注意すべきは、内分点の時は分母は比率を足しましたが、外分点では引き算をします。

$外分点の座標公式$

$x$座標は、A(3,2),B(9,6)なので、

　$x_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{3}+5\times{9}}{5-2}=\displaystyle \frac{39}{3}=13$

$y$座標は、A(3,2),B(9,6)より、

　$y_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{2}+5\times{6}}{5-2}=\displaystyle \frac{26}{3}$

したがって、線分ABを$5:2$に内分する点Qの座標は

$Q\biggl(13,\displaystyle \frac{26}{3}\biggr)$

となる。

外分点の座標公式　証明

こちらも内分点同様に、証明は中学校の知識でできます。

今回は$m$＞$n$のときを証明しますが、$m$＜$n$のときも同じように証明ができます。

$外分点の座標公式　証明$

中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと

$AQ:BQ=m:n$のとき、$A'Q':B'Q'=m:n$

したがって

$A'Q':B'Q'=m:n$

$(x-x_{A}):(x-x_{B})=m:n$

$n(x-x_{A})=m(x-x_{B})$

$nx-nx_{A}=mx-mx_{B}$

$-mx+nx=nx_{A}-mx_{B}$

$(-m+n)x=nx_{A}-mx_{B}$

$x=\displaystyle \frac{nx_{A}-mx_{B}}{-m+n}$

$x=\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n}$

証明終了

y座標についても同様に示すことができる。

内分点、外分点の座標公式　まとめ

$内分点、外分点の座標公式　まとめ$

内分点と外分点の座標公式についてまとめていきます。

内分点、外分点の座標公式
内分点の座標公式

　$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$のとき、

　線分$AB$を$m:n$に内分する点$P$の座標は

　$P\biggl(\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n},\displaystyle \frac{ny_{A}+my_{B}}{m+n}\biggr)$

外分点の座標公式

　$A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})$のとき、

　線分$AB$を$m:n$に外分する点$Q$の座標は

　$Q\biggl(\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n},\displaystyle \frac{-ny_{A}+my_{B}}{m-n}\biggr)$

それぞれの座標公式は上のようになっており、

大きな違いとしては内分点は分母が比率の和になっており、外分点は分母が比率の差になっていることです。

分子は分母の項を交差して掛ける

$内分点、外分点の座標公式　まとめ$

今回は内分点、外分点の座標公式についてまとめました。

内分点、外分点はベクトルや複素数の分野でも出てきますが、ほとんど考え方は同じです。

なので、今のうちから公式の形と計算に慣れておくとベクトル、複素数でもスムーズに対応できるようになります。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

【2020年12月】

順位	1位	2位	3位
名称	スタディサプリ $スタディサプリ$	トライイット $トライイット$	進研ゼミ $進研ゼミ$
対象	小・中・高	中・高	小・中・高
特徴	圧倒的コスパの良さ 40,000本の授業が見放題	無料でこんなにいいの！？ハイクオリティな授業	学習塾業界シェア率1位個別カリキュラム
料金	月額1,980円で見放題（ベーシックプラン）	無料（一部有料）	月額10,410円高校講座5教科
公式	スタディサプリ公式	トライイット	進研ゼミ