高校数学で何度も登場することになる「内分点」、「外分点」
内側で分ける点と外側で分ける点ですね。
このページでは、内分点と外分点の座標公式を解説していきます。
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
- 内分点と外分点の座標公式を解説してほしい
- 数直線の内分、外分の数え方が分からない
- 数学Aの予習・復習がしたい
という方も多いようですね。
それでは、内分点、外分点の座標公式を解説していきます。
・内分点の座標公式
・外分点の座標公式
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
目次
内分点の座標公式
内分点とは
内分点とは、線分を\(m:n\)になるように線分の内側で分ける点です。
定義
線分ABを\(m:n\)に内分する点\(P\)
→\(AP:BP=m:n\)を満たす点で線分\(AB\)の内側にあるもの。
たとえば、点Pが線分ABを\(3:2\)に内分するならば下の図のようになる。
内分点の座標公式
\(A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})\)のとき、
線分\(AB\)を\(m:n\)に内分する点\(P\)の座標は
\(P\biggl(\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n},\displaystyle \frac{ny_{A}+my_{B}}{m+n}\biggr)\)
では、実際に内分点の座標公式を使ってみましょう。
2点\(A(3,2),B(9,6)\)のとき、線分ABを\(3:2\)に内分する点Pの座標を求めよ。
こういった問題が出るわけです。
ポイントは分母は比率を足して、分子は両端の座標に交差するように掛けて足し合わせること。
\(x\)座標は、A(3,2),B(9,6)なので、
\(x_{P}=\displaystyle \frac{2\times{3}+3\times{9}}{3+2}=\displaystyle \frac{33}{5}\)
\(y\)座標は、A(3,2),B(9,6)より、
\(y_{P}=\displaystyle \frac{2\times{2}+3\times{6}}{3+2}=\displaystyle \frac{22}{5}\)
したがって、線分ABを\(3:2\)に内分する点Pの座標は
\(P\biggl(\displaystyle \frac{33}{5},\displaystyle \frac{22}{5}\biggr)\)
となる。
内分点の座標公式 証明
証明は中学校の知識でできます。
中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと
\(AP:BP=m:n\)のとき、\(A'P':B'P'=m:n\)
したがって
\(A'P':B'P'=m:n\)
\((x-x_{A}):(x_{B}-x)=m:n\)
\(n(x-x_{A})=m(x_{B}-x)\)
\(nx-nx_{A}=mx_{B}-mx\)
\(mx+nx=nx_{A}+mx_{B}\)
\((m+n)x=nx_{A}+mx_{B}\)
\(x=\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n}\)
証明終了
y座標についても同様に示すことができます。
外分点の座標公式
外分点とは
外分点とは、線分が\(m:n\)になるように線分の外側で定まる点です。
定義
線分ABを\(m:n\)に外分する点\(Q\)
→\(AQ:BQ=m:n\)を満たす点で線分\(AB\)の外側にあるもの。
たとえば、点Qが線分ABを\(5:2\)に外分するならば下の図のようになる。
また、点Qが線分ABを\(2:5\)に外分するならば下の図のようになる。
つまり、数字が小さい方に飛び出していくと考えればよいです。
外分点の座標公式
\(A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})\)のとき、
線分\(AB\)を\(m:n\)に外分する点\(Q\)の座標は
\(Q\biggl(\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n},\displaystyle \frac{-ny_{A}+my_{B}}{m-n}\biggr)\)
では、実際に外分点の座標公式を使ってみましょう。
2点\(A(3,2),B(9,6)\)のとき、線分ABを\(5:2\)に内分する点Qの座標を求めよ。
注意すべきは、内分点の時は分母は比率を足しましたが、外分点では引き算をします。
\(x\)座標は、A(3,2),B(9,6)なので、
\(x_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{3}+5\times{9}}{5-2}=\displaystyle \frac{39}{3}=13\)
\(y\)座標は、A(3,2),B(9,6)より、
\(y_{P}=\displaystyle \frac{-2\times{2}+5\times{6}}{5-2}=\displaystyle \frac{26}{3}\)
したがって、線分ABを\(5:2\)に内分する点Qの座標は
\(Q\biggl(13,\displaystyle \frac{26}{3}\biggr)\)
となる。
外分点の座標公式 証明
こちらも内分点同様に、証明は中学校の知識でできます。
今回は\(m\)＞\(n\)のときを証明しますが、\(m\)＜\(n\)のときも同じように証明ができます。
中学2年生で習う平行線の性質，または中学校3年生で習う相似図形の性質を使うと
\(AQ:BQ=m:n\)のとき、\(A'Q':B'Q'=m:n\)
したがって
\(A'Q':B'Q'=m:n\)
\((x-x_{A}):(x-x_{B})=m:n\)
\(n(x-x_{A})=m(x-x_{B})\)
\(nx-nx_{A}=mx-mx_{B}\)
\(-mx+nx=nx_{A}-mx_{B}\)
\((-m+n)x=nx_{A}-mx_{B}\)
\(x=\displaystyle \frac{nx_{A}-mx_{B}}{-m+n}\)
\(x=\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n}\)
証明終了
y座標についても同様に示すことができる。
内分点、外分点の座標公式 まとめ
内分点と外分点の座標公式についてまとめていきます。
内分点の座標公式
\(A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})\)のとき、
線分\(AB\)を\(m:n\)に内分する点\(P\)の座標は
\(P\biggl(\displaystyle \frac{nx_{A}+mx_{B}}{m+n},\displaystyle \frac{ny_{A}+my_{B}}{m+n}\biggr)\)
外分点の座標公式
\(A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B})\)のとき、
線分\(AB\)を\(m:n\)に外分する点\(Q\)の座標は
\(Q\biggl(\displaystyle \frac{-nx_{A}+mx_{B}}{m-n},\displaystyle \frac{-ny_{A}+my_{B}}{m-n}\biggr)\)
それぞれの座標公式は上のようになっており、
大きな違いとしては内分点は分母が比率の和になっており、外分点は分母が比率の差になっていることです。
分子は分母の項を交差して掛ける
これらはしっかりと覚えておきましょう。
おわりに
今回は内分点、外分点の座標公式についてまとめました。
内分点、外分点はベクトルや複素数の分野でも出てきますが、ほとんど考え方は同じです。
なので、今のうちから公式の形と計算に慣れておくとベクトル、複素数でもスムーズに対応できるようになります。
では、今回は以上になります。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
