数学ⅠA 高校数学

三角形の重心とは?重心の性質と証明

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三角形の重心とは?重心の性質と証明

 

三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の「重心」をピックアップして解説していきます。

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 重心とは?
  • 重心の性質について知りたい
  • 重心の証明が知りたい

三角形の重心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の重心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の重心とは
・三角形の重心《性質》
・三角形の重心の見つけ方
・三角形の重心《証明》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角形の重心とは

 

三角形の重心の定義から

三角形の重心の定義
三本の中線の交点

中線というのは、頂点と向かい合う辺の中点を結んだ線のことです。

ここに三角形があります。

三角形の重心とは

この三角形すべての頂点から中線を引きます。

三角形の重心とは

すると、3本の中線が1点で交わります。

この点が、三角形の重心です。

 

三角形の重心《性質》

 

三角形の重心には、いくつかの性質があります。

 

1:頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する

三角形の重心《性質》

2:中線を2:1に内分する

三角形の重心《性質》
 

 

三角形の重心の見つけ方

 

三角形の重心は、各辺の中線を実際に書くことで、見つけることができます。

 

中線を書くには、各辺の中点を見つける必要があります。

垂直二等分線の引き方は中学校でも習いましたね。

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

 

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

三角形の重心の見つけ方

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、2つの弧が交わります。

三角形の重心の見つけ方

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

三角形の重心の見つけ方

これで中点を見つけることができたので、中点と向かい合う頂点を結んだものが中線です。

三角形の重心の見つけ方

同様に他の辺でも中線を引いて、交わった点が重心です。

三角形の重心の見つけ方

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。

 

三角形の重心《証明》

 

三角形の重心が持つ性質がなぜそうなるのか証明していきます。

1の「頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する」は、重心の定義そのままですね。

なのでこれはそういうものだと思ってください。

 

つぎに2「中線を2:1に内分する」を証明していきます。

これには、中学3年生で習った中点連結定理を使います。

 

重心と2つの頂点を結ぶと三角形が2つ見えてきます。

このとき、△GBCと△GEDが2:1の相似になります。

三角形の重心《証明》

したがって、\(BG:GE=2:1 , CG:GD=2:1\)

角Aでも同様に、\(AG:GF=2:1\)

三角形の重心《証明》

よって、重心Gは各中線を2:1に内分する。

 

おわりに

 

今回は五心の中から「重心」をピックアップして解説しました。

重心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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