三角形の重心の性質と証明!座標とベクトルの求め方も徹底解説!


「重心ってなんだけ?」
「重心の性質が知りたい」
今回は重心に関する悩みを解決します。

高校生
重心ってどんな点だっけ...

 

三角形には五心という5つの点が存在します。

三角形の五心の一覧

 

今回は五心のなかでも"重心"についてまとめました。

三角形の重心とは、「各頂点から対辺の中点を結んだ線分の交点」を指します。

三角形の重心の定義
また重心の座標や位置ベクトルは以下の公式で求めることができます。

《重心の座標公式》

三角形の重心の座標公式\(\triangle ABC\)において、\(A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)とすると重心Gの座標は以下のようになります。

重心の座標公式

\[\displaystyle G(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3})\]

 

《重心の位置ベクトル》

三角形の重心の位置ベクトル

\(\triangle ABC\)において、\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)とすると重心Gの位置ベクトルは以下のようになります。

重心の位置ベクトル

\[\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\]

 

本記事では三角形の重心の公式や性質を解説します。

本記事を読めば重心のことがすべて理解できます。重心の疑問がある方はぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

筆者の信頼性

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
教えた生徒の人数は150人以上

それでは三角形の重心について解説していきます。

数学が苦手な方は「Step1:基礎知識を高速インプットして土台を作る」で5ステップに分けて勉強法を解説しています。

三角形の重心とは

三角形の重心は、三角形の各頂点から引いた中線の交点です。

三角形の重心とは

重心の定義

三角形における各中線の交点

※辺の中点と向かい合う頂点を結んだ線分を中線といいます。

 

ここに三角形\(ABC\)があります。

三角形の重心とは

すべての頂点から中線を引きます。

三角形の重心とは

すると、3本の中線が1点で交わります。

この点が三角形の重心です。

 

高校生
中線という言葉は初めて聞きました
この機会にぜひ覚えておこう!
シータ

重心の座標公式

三角形の重心の座標公式について詳しく解説します。

座標公式

三角形の重心の座標公式

\(\triangle ABC\)において、\(A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)とするとき重心Gの座標は以下の公式で求められます。

重心の座標公式

\[\displaystyle G(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3})\]

重心の座標を求める

\(\triangle ABC\)において、各頂点の座標を\(A(3,5),B(1,1),C(5,2)\)とする。

重心の座標を求める

このとき重心Gの座標は、

\[\displaystyle G(\frac{3+1+5}{3},\frac{5+1+2}{3})=(3,\frac{8}{3})\]

 

三角形の頂点の座標が分かれば、重心の座標は求めることができます。

 

シータ
公式を知っていれば簡単だね!
なぜ重心の公式は成り立つのですか?
高校生

重心の座標公式《証明》

ここで重心の座標公式の証明をしましょう。

重心の座標公式

\[\displaystyle G(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3})\]

 

\(\triangle ABC\)において、\(A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})\)で重心を\(G(x,y)\)とします。

三角形の重心の座標公式

 

このとき辺BCの中点を点Mとすると、点Mは辺BCを\(1:1\)に内分するので、

重心の証明

\[\displaystyle M \left(\frac{x_{b}+x_{c}}{2},\frac{y_{b}+y_{c}}{2}\right)\]

 

内分の公式が知りたい方は「内分・外分の公式」をご覧ください。

 

重心の性質より、重心Gは線分AMを\(2:1\)に内分するので、

重心の証明1

ゆえに、重心Gの座標は

\begin{eqnarray}
\displaystyle G&=&\left(\frac{x_{a}+2 \cdot \frac{x_{b}+x_{c}}{2}}{2+1},\frac{y_{a}+2 \cdot \frac{y_{b}+y_{c}}{2}}{2+1}\right)\\
&=&\left(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3}\right)
\end{eqnarray}

したがって、

\[\displaystyle G\left(\frac{x_{a}+x_{b}+x_{c}}{3},\frac{y_{a}+y_{b}+y_{c}}{3}\right)\]

 

これで重心の座標公式の証明終了です。

 

重心のベクトル公式

三角形の重心の位置ベクトルについて詳しく解説します。

位置ベクトルの公式

三角形の重心の位置ベクトル

\(\triangle ABC\)において、\(A(\vec{a}),B(\vec{b}),C(\vec{c})\)とすると重心Gの位置ベクトルは以下のようになります。

重心の位置ベクトル

\[\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\]

位置ベクトルを求める

三角形の各頂点の位置ベクトルを\(A(\vec{a})=(3,6),B(\vec{b})=(1,2),C(\vec{c})=(5,3)\)とします。

このとき、重心Gの位置ベクトル\(G(\vec{g})\)を重心の位置ベクトルの公式に代入して考えましょう。

重心の位置ベクトル

\[\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\]

 

\[\displaystyle \vec{g}=(\frac{3+1+5}{3},\frac{6+2+3}{3})\]

 

したがって、

\[\displaystyle \vec{g}=(3,\frac{11}{3})\]

重心Gの位置ベクトルも求めることができました。

重心の位置ベクトル《証明》

重心の位置ベクトルの公式を求めるにあたって必要な公式があります。

三角形\(\triangle \mathrm{ABC}(\mathrm{A}(\vec{a}), \mathrm{B}(\vec{b}), \mathrm{C}(\vec{c}))\)の内部に点 \(\mathrm{J}(\vec{j})\)をとる。

このとき、\(\triangle \mathrm{JBC},\triangle \mathrm{JCA},\triangle \mathrm{JAB}\)として、それぞれの面積比を

\[\triangle \mathrm{JBC}: \triangle \mathrm{JCA}: \triangle \mathrm{JAB}=p: q: r \quad(p, q, r>0)\]

とする。

このとき

\[\displaystyle \vec{j}=\frac{p \vec{a}+q \vec{b}+r \vec{c}}{p+q+r}\]

が成り立つ。

 

重心の性質から面積比を考えて、

\(\triangle \mathrm{GBC}: \triangle \mathrm{GCA}: \triangle \mathrm{GAB}=1: 1: 1\)である。

重心の性質

 

ゆえに,さきほどの公式を活用して、

\(p=q=r=1\)

として考えると

\[\displaystyle \vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\]

 

したがって、重心の位置ベクトルの証明終了。

 

三角形の重心の性質

三角形の重心には、いくつかの性質があります。

 

1:頂点と重心を結ぶ線分は対辺を二等分する

三角形の重心《性質》

 

2:重心は中線を2:1に内分する

三角形の重心《性質》

 

3:内部にできる6つの三角形は面積が等しい

 

 

重心の性質《証明》

三角形の重心が持つ性質がなぜそうなるのか証明していきます。

1の「頂点と重心を結ぶと、向かい合う辺を二等分する」は、重心の定義そのままですね。

これはそういうものだと覚えてください。

 

つぎに2「中線を2:1に内分する」を証明していきます。

これには、中学3年生で習った中点連結定理を使います。

 

重心と2つの頂点を結ぶと三角形が2つ見えてきます。

このとき、△GBCと△GEDが2:1の相似になります。

三角形の重心《証明》

したがって、\(BG:GE=2:1 , CG:GD=2:1\)

角Aでも同様に、\(AG:GF=2:1\)

三角形の重心《証明》

よって、重心Gは各中線を2:1に内分する。

 

3:内部にできる6つの三角形は面積が等しいの証明

中線によって,三角形は面積の等しい2つの三角形に分割されます。

重心の性質

さらに,下の図のように各頂点と重心を結ぶ3直線によって,三角形は面積の等しい3つの三角形に分割されます。

重心の性質

そして,下の図のように3つの中線によって,三角形は面積の等しい6つの三角形に分割される。

重心の性質

三角形の重心を作図

三角形の重心は、各辺の中線を引くことで作図することができます。

 

中線を書くには、各辺の中点を見つける必要があります。

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

内心の作図に必要なもの

 

まずどこかの辺を選び、その片方の端点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く円の半径は、辺の半分より長くしてください。

三角形の重心の見つけ方

片方で弧が描けたら、コンパスの開きを変えずに、もう片方の端点からも弧を描きます。

すると、2つの弧が交わります。

三角形の重心の見つけ方

交わった弧の交点を結ぶように直線を引くと、これが垂直二等分線です。

三角形の重心の見つけ方

これで中点を見つけることができたので、中点と向かい合う頂点を結んだものが中線です。

三角形の重心の見つけ方

同様に他の辺でも中線を引いて、交わった点が重心です。

三角形の重心の見つけ方

ココに注意

3つ目の辺の中線を引いても同じ点で交わるのでタイムロスです。

重心に関するおすすめ勉強法

順列・組み合わせの勉強法

重心に限らず図形の問題はパターンが無限にあります。

1つ1つ暗記するわけにはいかないので、問題の意図をしっかり理解して応用できるようになる必要があります。

次は重心に関する問題のおすすめ勉強法を紹介します。

  • 教科書やノートを見直す
  • 問題集で応用力を磨く
  • 分かりやすい解説を見る

自分の理解度と目標点を照らし合わせて、自分に合った勉強法を試してみてください。

シータ
3つの勉強法を紹介するよ

教科書やノートを見直す

教科書やノートを見直す

まずは基本に立ち返って、教科書・ノートを見直してみましょう。

教科書には重要なポイントがギュッと詰まっています。

五心それぞれの定義や性質は「三角形の五心の性質と証明を解説!」でもまとめているのでぜひご覧ください。

シータ
基本問題が不安なら教科書がおすすめ!

問題集で応用力を磨く

問題集で応用力を磨く

重心の定義や性質を覚えたら問題を解いて応用力を磨きましょう。

  1. 教科書の例題
  2. 問題集の基本問題
  3. 問題集の応用問題

問題の難易度をステップアップさせていくと、自分がどこで分からなくなったか把握しやすいです。

図形の学習におすすめの問題集を紹介します。

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映像授業で学ぶメリット

生活で映像授業を使っている様子

映像授業で学ぶことのメリットを3つ紹介します。

映像授業で学ぶメリット

  • 勉強に対する苦手意識がなくなる
  • 目標に最短ルートで近づける
  • 楽しい高校生活と勉強の両立

勉強に対する苦手意識がなくなる

1回15分の神授業

映像授業では各教科のプロが授業をするので、かなり分かりやすい解説が多いです。

高校生のつまづきやすいポイントをしっかりと押さえた分かりやすい授業で、苦手単元を1つずつ解消していきます。

目標に最短ルートで近づける

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自分に必要な授業だけを受けられるので、最短ルートで目標に近づきます。

ただひたすらに解説を写すような勉強は時間がもったいないです。

自分のレベルに合わせた授業だけを受けて、最短で目標達成を目指します。

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シータ

三角形の重心 まとめ

今回は三角形の重心についてまとめました。

三角形の重心 まとめ

重心の定義

三角形の重心の定義

三角形における各中線の交点

外心の性質

  1. 頂点と重心を結ぶ線分は対辺を二等分する
  2. 重心は中線を2:1に内分する
  3. 内部にできる6つの三角形は面積が等しい

重心の定義や性質は知っているものとして問題が出されます。

 

三角形の重心はベクトルでもよく出てくるので、しっかりと理解しておきましょう。

また、「内心」「外心」も重要な点なので必ず押さえておきましょう。

 

その他の五心については別記事でまとめました

三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!
三角形の五心(内心,外心,重心,垂心,傍心)の性質と証明を解説!

 

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  • この記事を書いた人

ゆうや

当サイトの運営者。
指導歴7年目の数学講師。大学1年生から塾講師バイトを始め、これまで250名以上を指導。「オンライン指導スタディトレーナー」代表。オンライン家庭教師のご依頼・お申し込みは、こちらの公式アカウントから承っております。

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