数学ⅠA 高校数学

三角形の垂心の性質と証明

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三角形の五心「内心」「外心」「重心」「垂心」「傍心」

五心の中でも有名なものと、なんだそれというものもありますね。

このページでは、三角形の「垂心」をピックアップして解説していきます。

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

  • 垂心とは?
  • 垂心の性質について知りたい
  • ほんとに一点で交わるの

 

三角形の垂心についてはこのページを見れば、ほとんど理解できるようにまとめましたので、ぜひ最後まで見ていってください。

それでは、三角形の垂心について解説してきます。

記事の内容
・三角形の垂心とは
・三角形の垂心《性質》
・三角形の垂心の見つけ方
・三角形の垂心《証明》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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三角形の垂心とは

 

三角形の垂心の定義から

三角形の垂心の定義
 各頂点から向かい合う辺に下した垂線の交点

ここに三角形があります。

この三角形すべての頂点から垂線を引きます。

 

すると、3本の垂線が1点で交わります。

この点が、三角形の垂心です。

3本の垂線が一点で交わることの証明は後半に行います。

 

三角形の重心《性質》

 

三角形の重心には、いくつかの性質があります。

 

1:四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である

2:\(AH=2R\cos A\)
Rは三角形ABCの外接円の半径を表します。


 

 

三角形の垂心の見つけ方

 

三角形の垂心は、各頂点から垂線を実際に書くことで、見つけることができます。

 

必要なのは、三角形、筆記用具、コンパスです。

 

まずどこかの頂点を選び、その頂点からコンパスで弧を描きます。

このとき、コンパスが描く弧が向かい合う辺と交わるようにしてください。

弧が描けたら、2つの交点を交点ア、イとしましょう。

針の先を交点アに置き換えて、弧を描きます。

交点イでも同じことをしましょう。

すると、2つの弧が交わります。

交わった弧の交点と頂点を結ぶように直線を引くと、これが垂直です。

同様に他のを引頂点からも垂線を引いて、交わった点が垂心です。

3つ目の辺でも同じことをやっても良いですが、結局同じところに交わるので、タイムロスになっていしまいます。

 

三角形の垂心《証明》

 

三角形の垂心がもつ性質と、垂線が1点で交わることの証明をしていきます。

 

まずに1「四角形ADHF,BEHD,CFHEは円に内接する四角形である」を証明していきます。

これには、中学3年生で習った円周角の定理を使うと理解が早いです。

四角形CFHEに注目すると、\(\angle CFH=90^\circ\),\(\angle CEH=90^\circ\)

したがって、円周角の定理の逆を用いて、CHを直径とする円が見えてきます。

他の四角形でも同様の証明ができます。

 

つぎに2「\(AH=2R\cos A\)」の証明をしていきます。

これは三角関数正弦定理で証明ができます。

Rは、三角形ABCの外接円の半径を表します。

\(AH=\displaystyle \frac{AE}{\cos \angle CAE}\)

\(AE=AB\cos A\)
\(\cos \angle CAE=\sin(90^\circ-\angle CAE)=\sin \angle ACE\)

なので、

\(\displaystyle \frac{AE}{\cos \angle CAE}=\displaystyle \frac{AB\cos A}{\sin \angle ACE}\)

正弦定理
三角形ABCの外接円の半径をRとしたとき、
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\)

正弦定理より

\(\displaystyle \frac{AB\cos A}{\sin \angle ACE}=2R\cos A\)

したがって、

\(AH=2R\cos A\)

証明終了。

 

最後に、三角形の3本の垂線が1点で交わることの証明をします。

証明の方針としては、2本の垂線の交点を3本目の垂線も通過することを証明していきます。

まずは2本の垂線があり、その交点を交点Hとしましょう。

交点Hを通過するように、頂点Cから線分CDを引きます。

このとき、\(\angle CDA\)は垂直か定かではありません。

CDが垂直であることが証明できれば、3本の垂線が1点で交わることを示します。

\(\angle CFH,\angle CEH\)はともに直角なので、 C, F, H, E の4点は、CHを直径とする円周上にあります。

このことから、円周角の定理より

\(\angle HCF=\angle HEF\)である。

また、\(\angle AEB,\angle AFB\)もともに直角なので、 A, B, E, F の4点は、ABを直径とする円周上にあります。

このことから、

\(\angle AEF=\angle ABF\)であることがわかります。

よって、

2つを合わせると、\(\angle ACD=∠ABF\)がわかります。

\(\begin{aligned}
\angle \mathrm{ADC} &=180^{\circ}-\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{ACD} \\
&=180^{\circ}-\angle \mathrm{BAF}-\angle \mathrm{ABF} \\
&=\angle \mathrm{AFB} \\
&=90^{\circ}
\end{aligned}\)

したがって、

CDは辺ABに垂直であるので、3本の垂線が1点で交わることが証明されました。

 

おわりに

 

今回は五心の中から「垂心」をピックアップして解説しました。

垂心の性質はすでに知っているものとして、問題が出されるので、しっかりと覚えておくようにしましょう。

1点で交わる証明は、ほかの方法もありますが今回紹介したやり方が1番わかりやすいと思うので、証明方法も知っておくとよいでしょう。

では、今回は以上になります。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

 

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