数と式

指数法則の7つの公式!これで分数やマイナスにも困らない!《数と式》


こんな方におすすめ

  • 指数の計算ってどうやるんだっけ
  • 指数にマイナスがでてきた

 

指数の計算をしていると、分数やマイナスが出てくることがあります。

突然出てくると困ってしまう人もいると思います。

 

本記事では、指数法則の覚えておきたい7つの公式を紹介します。

シータ
指数計算はスムーズにできるようにしよう
記事の内容
・指数法則の7つの公式
・指数法則の練習問題

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業
数学講師歴6年目に突入
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指数法則の7つの公式

指数法則には覚えておきたい7つの公式があります。

指数法則の7つの公式

\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数の時

  • \(a^{0}=1\)
  • \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
  • \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
  • \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
  • \((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)
  • \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
  • \(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

指数法則の公式①

まずは基本の公式2つを押さえておきましょう。

  • \(a^{0}=1\)
  • \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

①\(a^{0}=1\)

\(a\)がどんな数でも0乗は1になります。

 

②\(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)

指数(右上の数字)が負の数になることもあります。

このときは分数になります。

マイナスの記号が分数の横棒を表していると覚えましょう!

シータ
マイナスが出るとびっくりするよね

指数法則の公式②

5つもありますが必ず覚えておきましょう。

  • \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
  • \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
  • \((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)
  • \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
  • \(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

 

①\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)

掛け算したのに足し算?と思う方もいるかもしれません。

これを説明するのは簡単です。

\(a^{3} \times a^{2}=(a \times a \times a) \times (a \times a)=a^{5}\)

 

②\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)

指数に指数がついている場合は積になります。

\((a^{3})^{2}=(a \times a \times a)^{2}=(a \times a \times a)\times (a \times a \times a)=a^{6}\)

 

③\((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)

これはイメージしやすいですね。

それぞれの文字がn乗されたと考えれば自然なことです。

 

④\(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)

①の公式のように掛け算のときは指数の和を求めました。

それに対して、割り算のときは指数の差を求めましょう。

\(\displaystyle a^{3} \div a^{2}=(a \times a \times a) \times \frac{1}{a \times a}=a\)

 

⑤\(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

③の公式が理解できたあなたはこの公式もすぐに分かるはず。

分母も分子もn乗されただけなので、難しく考えなくても大丈夫です。

 

指数法則の練習問題

指数法則をつかって練習問題を解いてみましょう。

練習問題

  1. \(a^{3} \times a^{4}\)
  2. \((a^{2})^{3}\)
  3. \(a^{2} \times a^{3} \div a^{7}\)
  4. \(\displaystyle (\frac{3}{5})^{2} \times (\frac{3}{5})^{3}\)

上記の4問を解説していきます。

指数法則に自信がない方は、1度手を動かして挑戦してみましょう。

解説

(1) \(a^{3} \times a^{4}\)

使った公式

\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)

\(a^{3} \times a^{4}\)
\(=a^{3+4}\)
\(=a^{7}\)

 

(2) \((a^{2})^{3}\)

使った公式

\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)

\((a^{2})^{3}\)
\(=a^{6}\)

 

(3) \(a^{2} \times a^{3} \div a^{7}\)

使った公式

\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
\(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)

\(a^{2} \times a^{3} \div a^{7}\)
\(=a^{2+3-7}\)
\(=a^{-2}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{a^{2}}\)

 

(4) \(\displaystyle (\frac{a}{b})^{2} \times (\frac{a}{b})^{3}\)

使った公式

\(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
\(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

\(\displaystyle (\frac{a}{b})^{2} \times (\frac{a}{b})^{3}\)
\(\displaystyle =(\frac{a}{b})^{5}\)
\(\displaystyle =\frac{a^{5}}{b^{5}}\)

 

指数法則の公式 おわりに

今回は指数法則の7つの公式をまとめました。

指数法則の7つの公式

\(a≠0,b≠0\)で、\(m,n\)が整数の時

  • \(a^{0}=1\)
  • \(\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}\)
  • \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
  • \((a^{m})^{n}=a^{mn}\)
  • \((ab)^{n}=a^{n} b^{n}\)
  • \(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}\)
  • \(\displaystyle (\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}\)

7個もありますがどれも覚えてしまえば簡単です。

これを知っておかないとこの先で苦労することになります。

 

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

 

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