数学ⅠA 高校数学

指数法則で整式の乗法を完全攻略!


指数法則で整式の乗法を完全攻略!

こんにちは、ゆうやです。

今回は指数法則に関する悩みを解決していきます。

  • 指数計算が苦手な方
  • テストになるとできなくなる
指数計算はできないとまずいです

今回は指数法則に加え、指数法則を使った展開公式も紹介します。

記事の内容
・指数法則とは
・分配法則の確認
・展開の公式と指数

ライター紹介

国公立の教育大学を卒業

数学講師歴6年目に突入

教えた生徒の人数は130人以上

高校数学のまとめサイトを作成中

指数法則とは

指数法則とは

指数法則
 \(m,n\)は正の整数とする。
 \(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}\)
 \((a^{m})^{n}=a^{m n}\)
 \((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)

一見複雑な公式見えますが、使っているのは足し算と掛け算だけ!

どうして指数法則がこうなるのか確認していきましょう!

\(a^{3} \times a^{2}=(a \times a \times a) \times (a \times a)\)
    \(=a^{3+2}=a^{5}\)

\((a^{3})^{2}=(a \times a \times a) \times (a \times a \times a)\)
    \(=a^{3 \times 2}=a^{6}\)

\((ab)^{3}=ab \times ab \times ab\)
    \(=a^{3}b^{3}\)

例題

\((1) 3a^{2} \times a^{3}=3 \times a^{(2+3)}=3a^{5}\)
\((2) 2x^{3}y \times (-4 x^{2}y^{2})=-8 \times x^{(3+2)} \times y^{(1+2)}=-8x^{5}y^{3}\)
\((3) (-3ab^{2})^{3}=(-3)^{3}a^{3}b^{(2 \times 3)}=-27a^{3}b^{6}\)

分配法則とは

分配法則とは

整式の積は、次のような分配法則を用いて計算します。

分配法則
 \(A(B+C)=AB+AC\)
 \((A+B)C=AC+BC\)
例題2
\((1)3x^{2}(x^{2}+2x-4)\)
 \(=3x^{2}・x^{2}+3x^{2}・2x-3x^{2}・4\)
 \(=3x^{4}+6x^{3}-12x^{2}\)

整式の積の形をした式を1つの整式に表すことを展開するといいます。

例題

\((3x^{2}-3x+1)(x+5)\)を展開せよ
\((3x^{2}-3x+1)(x+5)\)
\(=(3x^{2}-3x+1)\times x+(3x^{2}-3x+1) \times 5\)
\(=(3x^{3}-3x^{2}+x)+(15x^{2}-15x+5)\)
\(=3x^{3}+12x^{2}-14x+5\)

展開の公式

指数法則を活用する展開公式を紹介するので、ぜひ覚えておいてください。

展開の公式は覚えておくと計算がスムーズになります。

展開の公式Ⅰ

展開の公式Ⅰ
\(\begin{eqnarray}
1& &(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\\
2& &(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\\
3& &(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\\
4& &(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\\
\end{eqnarray}\)
例題4
\((1) (x+3y)^{2}\)
  \(=x^{2}+2・x・3y+(3y)^{2}\)
  \(=x^{2}+6xy+9y^{2}\)

\((2) (3x+2y)(3x-2y)\)
  \(=(3x)^{2}-(2y)^{2}\)
  \(=9x^{2}-4y^{2}\)

\((3) (x+2)(x-4)\)
  \(=x^{2}+\{2+(-4)\}x+2・(-4)\)
  \(=x^{2}-2x-8\)

では、練習問題に挑戦してみましょう!
展開の公式Ⅰ

展開の公式Ⅱ

展開の公式Ⅱ
\( (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd\)
例題5
\((1) (2x+3)(4x+1)=2・4・x^{2}+(2・1+3・4)x+3・1=8x^{2}+14x+3\)
\((2) (2x-5y)(4x+3y)=2・4・x^{2}+(2・3-5・4)xy-5・3y^{2}=8x^{2}-14xy-15y^{2}\)

展開の公式Ⅱ

おわりに

今回は数学Ⅰの「指数法則と整式の乗法」についてまとめました。

教科書に沿った解説記事を挙げていくので、お気に入り登録して定期試験前に確認してください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

みんなの努力が報われますように!

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