対数方程式の解き方!真数条件と底の値に注意しよう!

対数方程式の解き方!真数条件と底の値に注意しよう!

「対数方程式の解き方が分からない」

「解き方のパターンが知りたい」

対数の方程式が解けない方は必見!

今回は対数方程式に関するこんな悩みを解決します。

高校生
方程式に対数logがあって困ってます...

 

以下のようなlogを含む方程式を対数方程式といいます。

\[log_{2}x=3\]

\[log_{4}x+log_{4}(x-6)=2\]

見た目が難しそうなので、解く前から嫌な気持ちが湧いてきますよね。

 

悩む学生

実は対数方程式の問題は大きく4種類に分かれています。

その解き方さえ理解しておけば、対数方程式のほとんどの問題が解けるようになります。

 

本記事では対数方程式の解き方と注意点を解説しています。

例題の解説とあわせて、練習問題もあるのでぜひ最後までご覧ください。

記事の内容

対数方程式とは?

対数関数を含む以下のような方程式を対数方程式といいます。

\[log_{2}x=3\]

\[log_{4}x+log_{4}(x-6)=2\]

この方程式を成り立たせる\(x\)を求めるのが、対数方程式の問題です。

\[log_{3}x+log_{3}(x-1)=12\]

このように方程式が長いと難しく見えますね。

高校生
こういうのが苦手なんです..

対数方程式の解き方

対数方程式を解くには、以下の形を目指して式変形をしていきます。

対数方程式の解き方

\(a>0,a≠1\)で、\(M>0,N>0\)のとき

\[log_{a}M=log_{a}N\]

ならば

\[M=N\]

つまり、

\(log_{2}x=log_{2}5\)ならば、\(x=5\)というわけです。

 

とはいえ、こんな簡単な問題はそうそうありません。

 

そこで、以下の5ステップで対数方程式を解きます。

対数方程式の解き方

  1. 真数条件と底の条件を確認
  2. 両辺の底を同じにする
  3. 真数をイコールでむすぶ
  4. 方程式を解く
  5. 解と条件を確認して完了

この5ステップを踏んでいけば、どんな対数方程式でも解くことができます。

このあと4つの例題で解説していきますが、その前に対数方程式を解くときの注意点を知っておきましょう。

真数条件と底の条件に注意

対数方程式を解くときに注意して欲しいことがあります。
それは真数条件と底の条件の確認です。

注意ポイント

  • 真数条件
  • 底の条件

\(log_{a}b\)における、\(b\)を真数(しんすう)といいます。

真数はどんなときも正の数であり、この条件を真数条件といいます。

真数条件

また、底\(a\)にも条件があり、\(a>0,a≠1\)が成り立ちます。

底と真数が表すもの

底の条件

\(log_{a}b\)において、\(a>0,a≠1\)である。

真数条件と底の条件のことを忘れると、正しい方程式の解を求めることができません。

対数方程式や対数不等式を解くときは、まず条件の確認をしておきましょう。

高校生
ぼくも条件を確認し忘れることがあります
初めに確認するクセをつけよう
シータ

対数方程式の問題

それでは対数方程式の解き方を解説していきましょう。

対数方程式の問題は大きく4つの種類に分けることができます。

対数方程式の問題

  • 基本の問題
  • 底をそろえる問題
  • 置き換える問題
  • 底に文字を含む問題
シータ
どの問題も重要なので要チェックです!

基本の問題

まずは対数方程式の基本問題です。

これらの問題は必ず解けるようにしておきましょう。

対数方程式①

次の方程式を解いてみよう。

\[log_{2}x=4\]

まず真数条件より、\(x>0 \cdots ①\)

両辺を対数で表します。

\begin{eqnarray}
log_{2}x&=&4\\
log_{2}x&=&log_{2}2^{4}\\
log_{2}x&=&log_{2}8
\end{eqnarray}

両辺の真数を比較して、

\[x=8 \cdots ②\]

①,②より、\(x=8\)

 

対数方程式①

次の方程式を解いてみよう。

\[log_{3}x+log_{3}(x-1)=12\]

真数条件より、\(x>0\)かつ\(x-2>0\)

したがって、\(x>2 \cdots ①\)

対数法則より、

\begin{eqnarray}
log_{2}x+log_{2}(x-2)&=&3\\
log_{2}x(x-2)&=&log_{2}8
\end{eqnarray}

両辺の真数を比較して、

\begin{eqnarray}
x(x-2)&=&8\\
x^{2}-2x-8&=&0\\
(x-4)(x+2)&=&0
\end{eqnarray}

よって、\(x=-2,4 \cdots ②\)

①,②より、\(x=4\)

底をそろえる問題

両辺の底が異なる方程式もあります。

対数方程式②

次の方程式を解いてみよう。

\[log_{2}(x-3)=log_{4}(2x-3)\]

真数条件より、\(x-3>0\)かつ\(2x-3>0\)

したがって、\(x>3 \cdots ①\)

 

底の変換公式を使って、底を2でそろえます。

\begin{eqnarray}
log_{2}(x-3)&=&log_{4}(2x-3)\\
\displaystyle log_{2}(x-3)&=&\frac{log_{2}(2x-3)}{log_{2}4}\\
\displaystyle log_{2}(x-3)&=&\frac{log_{2}(2x-3)}{2}\\
\end{eqnarray}

これで両辺の底をそろえることができました。

\begin{eqnarray}
\displaystyle 2log_{2}(x-3)&=&log_{2}(2x-3)\\
(x-3)^{2}&=&2x-3\\
x^{2}-8x+12&=&0\\
(x-2)(x-6)&=&0
\end{eqnarray}

よって、\(x=2,6 \cdots ②\)

①,②より、\(x=6\)

置き換える問題

次は置き換えを使った解き方を解説します。

対数方程式③

次の方程式を解いてみよう。

\[(log_{2}x)^{2}-2log_{2}x-8=0\]

まず真数条件より、\(x>0 \cdots ①\)

\(log_{2}x=X\)とすると、

\[X^{2}-2X-8=0\]

これを解くと、

\begin{eqnarray}
X^{2}-2X-8&=&0\\
(X-4)(X+2)&=&0\\
X&=&-2,4
\end{eqnarray}

よって、\(log_{2}x=-2,4\)

すなわち、\(\displaystyle x=\frac{1}{4},16 \cdots ②\)

①,②より、\(\displaystyle x=\frac{1}{4},16 \cdots ②\)

底に文字がある問題

底に文字がある場合でも、底の変換公式を使えば問題ありません。

対数方程式④

次の方程式を解いてみよう。

\[log_{2}x+3log_{x}2=4\]

真数条件より、\(x>0 \cdots ①\)

底の条件より、\(x>0,x≠1 \cdot ②\)

\begin{eqnarray}
log_{2}x+3log_{x}2&=&4\\
\displaystyle log_{2}x+3 \cdot \frac{log_{2}2}{log_{2}x}&=&4\\
\displaystyle log_{2}x+\frac{3}{log_{2}x}&=&4\\
\end{eqnarray}

\(log_{2}x=X\)とすると、

\begin{eqnarray}
\displaystyle X-\frac{3}{X}&=&4\\
X^{2}+3&=&4X\\
X^{2}-4X+3&=&0\\
(X-1)(X-3)&=&0
\end{eqnarray}

よって、\(log_{2}x=1,3\)

すなわち、\(x=2,8 \cdots ③\)

①,②,③より、\(x=2,8\)

 

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対数方程式【練習問題】

練習問題

対数方程式の練習問題に挑戦してみましょう。

以下が今回の練習問題です。

練習問題

次の方程式を解いてみよう。

(1)\(log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)=1\)

(2)\(log_{2}(x+2)=log_{\frac{1}{4}}(x-3)\)

(3)\((log_{2}x)^{2}-3log_{2}x-10=0\)

シータ
解き方をイメージするだけでもオッケー!

練習問題1の解説

練習問題1

次の方程式を解いてみよう。

(1)\(log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)=1\)

これは対数法則をつかう基本の問題です。

真数条件より、\(x-2>0\)かつ\(x-3>0\)

すなわち、\(x>3 \cdots ①\)

\begin{eqnarray}
log_{2}(x-2)+log_{2}(x-3)&=&1\\
log_{2}(x-2)(x-3)&=&log_{2}2\\
log_{2}(x^{2}-5x+6)&=&log_{2}2
\end{eqnarray}

真数部分の等式を考えて、

\begin{eqnarray}
x^{2}-5x+6&=&2\\
x^{2}-5x+4&=&0\\
(x-1)(x-4)&=&0
\end{eqnarray}

よって、\(x=1,4 \cdots ②\)

①,②より、\(x=4\)

高校生
これなら解ける気がします!

練習問題2の解説

練習問題2

次の方程式を解いてみよう。

(2)\(log_{2}(x+2)=log_{4}(x-3)\)

真数条件より、\(x+2>0\)かつ\(x-3>0\)

よって、\(x>3 \cdots ①\)

\begin{eqnarray}
log_{2}(x+2)&=&log_{4}(x-3)\\
\displaystyle log_{2}(x+2)&=&\frac{log_{2}(x-3)}{log_{2}4}\\
\displaystyle log_{2}(x+2)&=&\frac{1}{2}log_{2}(x-3)\\
2log_{2}(x+2)&=&log_{2}(x-3)
\end{eqnarray}

対数の性質より、

\[(x+4)^{2}=x+3\]

これを解くと、

\begin{eqnarray}
x^{2}+8x+16=x+3\\
x^{2}+7x+
\end{eqnarray}

練習問題3の解説

練習問題3

次の方程式を解いてみよう。

(3)\((log_{2}x)^{2}-3log_{2}x-10=0\)

真数条件より、\(x>0 \cdots ①\)

\(log_{2}x=X\)とすると、

\begin{eqnarray}
X^{2}-3X-10&=&0\\
(X-5)(x+2)&=&0
\end{eqnarray}

よって、\(X=-2,5\)

すなわち、\(log_{2}x=-2,5\)

したがって、

\[x=\frac{1}{4},32 \cdots ②\]

①,②より、\(x=\frac{1}{4},32\)

高校生
対数を1つの塊として考えるんですね!
そういうこと!なので、置き換えた方が見やすいね!
シータ

対数方程式 まとめ

今回は対数方程式の解き方についてまとめました。

対数方程式 まとめ

どんな対数方程式の問題でも、以下の5ステップで解を求めることができます。

対数方程式の解き方

  1. 真数条件と底の条件を確認
  2. 両辺の底を同じにする
  3. 真数をイコールでむすぶ
  4. 方程式を解く
  5. 解と条件を確認して完了

対数方程式の問題は以下の4種類に分けることができる。

対数方程式の問題

  • 基本の問題
  • 底をそろえる問題
  • 置き換える問題
  • 底に文字を含む問題

対数方程式にはもっと複雑な問題もありますが、今回紹介した4つの解き方を覚えておけば十分です。

ただし、対数方程式を解くにあたって、指数法則対数法則は必須なので確認しておきましょう。

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