数学ⅠA 高校数学

二重根号とは?二重根号の外し方を例題を用いて解説!

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二重根号とは?二重根号の外し方を例題を用いて解説!

 

・二重根号ってなに?
・二重根号の外し方を教えて

 

今回は、数学Ⅰから二重根号について解説します。

二重根号の計算は、二重根号の公式を知っていないと苦戦するので、必ず覚えておきたい公式の1つです。

この記事では、そんな二重根号の公式と解き方について伝授していきます。

 

記事の内容
・根号とは?
・二重根号とは?
・二重根号の外し方
・二重根号の公式 証明
・二重根号<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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二重根号の前に根号の確認

二重根号の前に根号の確認
二重根号に入る前に、根号の復習をしておきましょう。

根号というのは、ルート\(\sqrt{ }\)のことでしたね。

平方根との違いに注意してください。

平方根というのは、実数\(a\) に対して、「二乗して\(a\)になるような数」のことです。

つまり、実数\(a\) の平方根は\(\sqrt{a}\)と\(-\sqrt{a}\)の2つがあります。

それに対して、\(\sqrt{a}\)は「二乗して\(a\)になるような数のうち正のもの」となっています。

二重根号の前に根号の確認

「二乗して\(a\)になるような数のうち負のもの」は\(-\sqrt{a}\)と表します。

これが根号と平方根の違いですので、しっかりと理解しておきましょう。

特に根号の中身に\(a\)などの文字が入ったときは、場合分けが必要になるので要注意です。

二重根号の前に根号の確認

 

二重根号とは?

 

二重根号というのは、ルートのなかにルートが入っているものことです。

二重根号とは?

 

このままの形だと計算を進めにくいので、基本的には二重根号を外して単なる√だけを使った形に変形することになります。

 

二重根号の外し方

 

二重根号を外す問題や、二重根号を外すことで計算がしやすくなる問題があります。

なので、二重根号の外し方を伝授していきます。

外し方法はとっても簡単!

この公式を覚えてれば、問題なしです。

二重根号の外し方

二重根号の外し方

足してAの部分

掛けたものがBの部分になる

\(a\)と\(b\)の組み合わせを見つけるだけです。

Bの部分の根号の外に2があるのも、ポイントなのでしっかり覚えておきましょう。

2がない二重根号の外し方についてもまとめました。

では、例題を用いて解説します。

二重根号とは?

まずは加法の形をした二重根号を外します。

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)

足して8、掛けて15の数の組み合わせを考える。

\(a=5,b=3\)の組がある。

よって、

\(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\)

\(=\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\times{3}}}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{3}\)

二重根号とは?

つぎに減法の形をした二重根号を外します。

\(\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)

足して12、掛けて35の数の組み合わせを考える。

\(a=7,b=5\)の組がある。

よって、

\(\sqrt{12-2\sqrt{35}}\)

\(=\sqrt{(7+5)+2\sqrt{7\times{5}}}\)

\(=\sqrt{7}+\sqrt{5}\)

✅ 因数分解の復習にピッタリの記事【数学Ⅰ】因数分解の公式

 

二重根号の公式 証明

 

二重根号の公式の証明をしておきましょう。

二重根号の公式
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

証明

\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}\)

大きな根号の中身が、

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)であることに注目して

\(=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}\)

\(=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|\)

\(\sqrt{a}\)も\(sqrt{b}\)も正の数なので

\(=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

 

減法も同様に

\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}\)

大きな根号の中身が、
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)であることに注目して

\(=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}\)

\(=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|\)

ここで符号を場合分けして、絶対値を外す必要がある。

なので、\(a>b\)になるように因数分解しておくと、計算がしやすくなります。

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

証明終了。

 

二重根号を外す<練習問題>

二重根号を外す<練習問題>

では、今回学んだ二重根号の外し方をもとに練習問題を解いてみましょう。

 

練習問題
次の二重根号を外しなさい。
1.\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

2.\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)

 

解答

1.足して6、掛けて5の数の組み合わせを考える。

\(a=5,b=1\)の組がある。

よって、

\(\sqrt{7+2\sqrt{10}}\)

\(=\sqrt{(5+2)+2\sqrt{5\times{2}}}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{2}\)

 

2.足して9、掛けて14の数の組み合わせを考える。

\(a=7,b=2\)の組がある。

よって、

\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)

\(=\sqrt{(7+2)-2\sqrt{7\times{2}}}\)

\(=\sqrt{7}-\sqrt{2}\)

 

二重根号の外し方 まとめ

 

今回は数学Ⅰから二重根号の外し方についてまとめました。

二重根号の外し方 まとめ

 

教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていくので、
お気に入り登録しておいてもらえると定期試験前に確認できると思います。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

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