数学ⅠA 高校数学

余弦定理の公式と証明を5分でサクッと解説!

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余弦定理の公式と証明を5分でサクッと解説!

 

・余弦定理ってなんだっけ?
・余弦定理はどうやって使うの?

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

さっそくですが、辺BCの長さがいくつになるか分かりますか?

今日の課題三角形ABCがある。\(AB=4,AC=3\sqrt{3},\angle A=30^\circ \)のとき、辺BCの値を求めよ。
今日の課題
えっ!?これだけのヒントじゃ求められないですよ💦

 

そう思った方多いんじゃないですか?

実は「余弦定理」を使えば、辺BCの長さを簡単に求めることができちゃうんです!

それが余弦定理!

余弦定理ぜひ使いこなせるようになりたいです!

そんなあなたに向けて、三角関数から余弦定理の公式とその証明をまとめていきます。

記事の内容
・余弦定理 公式
・余弦定理 証明
・今日の課題
・余弦定理<練習問題>

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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余弦定理 公式

余弦定理 公式

余弦定理は三角形に使う定理です。

各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。

余弦定理

余弦定理△ABCにおいて、次が成り立つ。

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)

\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)

 

余弦定理は辺の長さと三角比を用いた重要定理の1つです。

余弦定理の公式を変形することで、角の大きさを求めることもできます。

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)

\(\displaystyle \cos \angle B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \)

\(\displaystyle \cos \angle C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \)

 

 

余弦定理 証明

余弦定理 証明

 

今回の課題を解決していく前に、なぜ余弦定理が成り立つのか証明していきましょう。

\([1] 0^\circ < A < 90^\circ\)のとき

余弦定理 証明1

 

上の図のように点A,B,Cをとる。

\(A(0 , 0)、B(c , 0)\)とすると、Cは\((bcosA , bsinA)\)となる。

頂点CからX軸へ垂線を下して、その交点をHとおく。

 

三角形\(CHB\)に注目して三平方の定理を用いると、

\(a^{2} = |c – bcosA|^{2} + (bsinA)^{2}\)

\(= c^{2} – 2bc・cosA + b^{2} (cos^{2}A + sin^{2}A)\)

すなわち

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・cosA\) となる。

 

\([2] A = 90^\circ\)のとき

余弦定理 証明2

 

角Aが直角の場合、△ABCは直角三角形になる。

三平方の定理より

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)

となる。

 

\(cosA = cos90 = 0\)であることから、

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA\)

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)

よって、角Aが直角の場合も

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・cosA\) が成立する。

 

\([3] 90^\circ < A < 180^\circ\)のとき

余弦定理 証明3

 

上の図より、BHとAHは以下のようになる。

\(BH=c・sin(180-A)=c・sinA\)

\(AH=c・cos(180-A)=-c・cosA\)

 

\(BCH\)に置いて、三平方の定理より

\(BC^{2}=BH^{2}+CH^{2}\)

したがって

\(a^{2}=(c・sinA)^{2}+(b-c・cosA)^{2}\)

\(=c^{2}・sin^{2}A+b^{2}-2bc・cosA+c^{2}cos^{2} A\)

\(=c^{2} (sin^{2}A+cos^{2}A)+b^{2}-2bc・cosA\)

\(=c^{2}+b^{2}-2bc・cosA\)

よって、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc・cosA\) は成立する

したがって、余弦定理の証明終了。

 

今日の課題

 

では、冒頭でも登場した今日の課題を一緒に解いていきます。

 

今日の課題三角形ABCがある。\(AB=4,AC=3\sqrt{3},\angle A=30^\circ \)のとき、辺BCの値を求めよ。
本日の課題

 

2辺とその間の角の大きさが分かっているので、向かい合う辺BCの大きさを求めることができます。

 

辺ABの大きさをaとすると正弦定理より、

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)

\(a^{2}=(3\sqrt{3})^{2}+4^{2}-2 \times (3\sqrt{3}) \times 4 \times cos 30^\circ \)

\(a^{2}=27+16-36\)

\(a^{2}=7\)

\(a>0\)なので

\(a=\sqrt{7}\)

したがって、BCの大きさは\(\sqrt{7}\)である。

このように余弦定理は辺の長さを求めるときに使います。

 

余弦定理<練習問題>

余弦定理<練習問題>

 

今回学んだ「余弦定理」を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

今回は2つのパターンの練習問題を用意しました。

  • 辺の長さを求める問題
  • 角の大きさを求める問題

 

辺の長さを求める\(AC=4,AB=6,\angle A=60^\circ\)の三角形ABCにおいて、辺BCの長さを求めよ。
辺の長さを求める

解説

余弦定理より、

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)

\(a^{2}=4^{2}+6^{2}-2 \times 4 \times 6 \times cos 60^\circ \)

\(a^{2}=16+36-24\)

\(a^{2}=28\)

\(a>0\)なので

\(a=2\sqrt{7}\)

したがって、

辺BCの長さは、\(2\sqrt{7}\)である。

 

つぎに角度を求めるパターンの練習問題を解いてみましょう。

角の大きさを求める\(AC=6,AB=2\sqrt{2},BC=2\sqrt{5}\)の三角形ABCにおいて、角\(A\)の角の大きさを求めよ。

解説

角の大きさを求める

余弦定理

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)を変形して

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)

 

ここに分かっている数を代入していく

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{6^{2}+(2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}{2\times 6 \times 2\sqrt{2}} \)

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{36+8-20}{24\sqrt{2}} \)

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{24}{24\sqrt{2}} \)

\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{1}{\sqrt{2}} \)

\(0 < \angle A < 180^\circ\)

なので

\(A=45^\circ\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅰの三角関数から余弦定理についてまとめました。

 

他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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