余弦定理の公式と証明！分かりやすく図を使って解説

数学Ⅰ三角比のなかで多くの高校生を困らせるのが「余弦定理」ですね。

今回は三角比の中から"余弦定理"に関するこんな悩みを解決します。

高校生

余弦定理が良く分からなくて...

さっそくですが、辺BCの長さがいくつになるか分かりますか？

「これだけの情報では求められないですよ」

そう思った方は余弦定理が使えていないので危険です。

実は「余弦定理」を使えば辺BCの長さを簡単に求めることができます！

本記事では余弦定理の公式の使い方や証明について解説していきます。

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余弦定理の公式

余弦定理は三角形の辺や角の大きさを求められる定理です。

余弦定理は辺の長さと三角比を用いた重要定理の１つです。

⇓余弦定理の公式を変形することで角の大きさを求めることもできます。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos A&=&\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\
\displaystyle \cos B&=&\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\
\displaystyle \cos C&=&\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}
\end{eqnarray}

余弦定理の使い方

冒頭で登場した余弦定理の例題を一緒に解いてみましょう。

2辺とその間の角の大きさが分かっているので、向かい合う辺BCの大きさを求めることができます。

辺ABの大きさを\(a\)とすると正弦定理より、

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\\
a^{2}&=&(3\sqrt{3})^{2}+4^{2}-2 \times (3\sqrt{3}) \times 4 \times \cos 30^\circ\\
a^{2}&=&27+16-36\\
a^{2}&=&7
\end{eqnarray}

\(a>0\)なので

\[a=\sqrt{7}\]

したがって、BCの大きさは\(\sqrt{7}\)である。

このように余弦定理は辺の長さを求めるときに使います。

高校生

辺や角の大きさを代入するだけですね！

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余弦定理の公式　証明

余弦定理の使い方を確認したところで、なぜ余弦定理が成り立つのか証明してみましょう。

\([1]　0^\circ < A < 90^\circ\)のとき

上の図のように点A,B,Cをとる。

\(A(0 , 0)、B(c , 0)\)とすると、Cは\((b \cos A , b \sin A)\)となる。

頂点CからX軸へ垂線を下して、その交点をHとおく。

三角形\(CHB\)に注目して三平方の定理を用いると、

\begin{eqnarray}
a^{2} &=& |c – b \cos A|^{2} + (b \sin A)^{2}\\
&=& c^{2} – 2bc・\cos A + b^{2} (\cos^{2}A + \sin^{2}A)
\end{eqnarray}

すなわち

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・\cos A\) となる。

\([2]　A = 90^\circ\)のとき

角Aが直角の場合、△ABCは直角三角形になる。

三平方の定理より

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)

となる。

\(\cos A = \cos 90 = 0\)であることから、

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\\
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}
\end{eqnarray}

よって、角Aが直角の場合も

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・\cos A\) が成立する。

\([3]　90^\circ < A < 180^\circ\)のとき

上の図より、BHとCHは以下のようになる。

\begin{eqnarray}
BH&=&c+AH\\
&=&c+b \cos (180^circ-A)\\
&=&c-b \cos A
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
CH&=&b \sin (180^circ-A)\\
&=&b \sin A
\end{eqnarray}

\(BCH\)に置いて、三平方の定理より

\(BC^{2}=BH^{2}+CH^{2}\)

したがって

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&(c-b \cos A)^{2} + b^{2} \sin^{2}A\\
&=&(c^{2}-2bc \cos A+b^{2} \cos^{2}A)+b^{2} \sin^{2}A\\
&=&c^{2}-2bc・cosA+b^{2}
\end{eqnarray}

したがって、

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc・cosA\)　は成立する

\([1][2][3]\)より余弦定理の証明終了。

余弦定理の公式＜練習問題＞

今回学んだ「余弦定理」を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。

今回は２つのパターンの練習問題を用意しました。

• 辺の長さを求める問題
• 角の大きさを求める問題

解説

余弦定理より、

\begin{eqnarray}
a^{2}&=&b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\\
a^{2}&=&4^{2}+6^{2}-2 \times 4 \times 6 \times \cos 60^\circ \\
a^{2}&=&16+36-24\\
a^{2}&=&28
\end{eqnarray}

\(a>0\)なので

\(a=2\sqrt{7}\)

したがって、

辺BCの長さは、\(2\sqrt{7}\)である。

次は余弦定理を用いて角度の大きさを求める練習問題を解いてみましょう。

余弦定理

\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos A\)を変形して

\[\displaystyle \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \]

変形した式に分かっている値を代入していく

\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos A&=&\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\
\displaystyle &=&\frac{6^{2}+(2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}{2\times 6 \times 2\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{36+8-20}{24\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{24}{24\sqrt{2}} \\
\displaystyle &=&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray}

\(0 < \angle A < 180^\circ\)

なので

\(A=45^\circ\)

余弦定理の公式　まとめ

今回は数学Ⅰの三角比から「余弦定理の公式」についてまとめました。

余弦定理を使うことで、辺の長さや角の大きさを求めることができます。

そして、余弦定理とあわせて理解したいのが正弦定理です。

三角関数には重要な公式がたくさんあります。

三角関数の重要ポイントをまとめた記事はこちら

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