・余弦定理はどうやって使うの？
今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。
さっそくですが、辺BCの長さがいくつになるか分かりますか？
そう思った方多いんじゃないですか？
実は「余弦定理」を使えば、辺BCの長さを簡単に求めることができちゃうんです！
それが余弦定理！
そんなあなたに向けて、三角関数から余弦定理の公式とその証明をまとめていきます。
・余弦定理 公式
・余弦定理 証明
・今日の課題
・余弦定理＜練習問題＞
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中
目次
余弦定理 公式
余弦定理は三角形に使う定理です。
各頂点A,B,Cとして、向かい合う辺をa,b,cとする。
余弦定理△ABCにおいて、次が成り立つ。
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc \cos \angle A\)
\(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac \cos \angle B\)
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab \cos \angle C\)
余弦定理は辺の長さと三角比を用いた重要定理の１つです。
余弦定理の公式を変形することで、角の大きさを求めることもできます。
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)
\(\displaystyle \cos \angle B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac} \)
\(\displaystyle \cos \angle C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \)
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余弦定理 証明
今回の課題を解決していく前に、なぜ余弦定理が成り立つのか証明していきましょう。
\([1] 0^\circ < A < 90^\circ\)のとき
上の図のように点A,B,Cをとる。
\(A(0 , 0)、B(c , 0)\)とすると、Cは\((bcosA , bsinA)\)となる。
頂点CからX軸へ垂線を下して、その交点をHとおく。
三角形\(CHB\)に注目して三平方の定理を用いると、
\(a^{2} = |c – bcosA|^{2} + (bsinA)^{2}\)
\(= c^{2} – 2bc・cosA + b^{2} (cos^{2}A + sin^{2}A)\)
すなわち
\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・cosA\) となる。
\([2] A = 90^\circ\)のとき
角Aが直角の場合、△ABCは直角三角形になる。
三平方の定理より
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
となる。
\(cosA = cos90 = 0\)であることから、
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cosA\)
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)
よって、角Aが直角の場合も
\(a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc・cosA\) が成立する。
\([3] 90^\circ < A < 180^\circ\)のとき
上の図より、BHとAHは以下のようになる。
\(BH=c・sin(180-A)=c・sinA\)
\(AH=c・cos(180-A)=-c・cosA\)
\(BCH\)に置いて、三平方の定理より
\(BC^{2}=BH^{2}+CH^{2}\)
したがって
\(a^{2}=(c・sinA)^{2}+(b-c・cosA)^{2}\)
\(=c^{2}・sin^{2}A+b^{2}-2bc・cosA+c^{2}cos^{2} A\)
\(=c^{2} (sin^{2}A+cos^{2}A)+b^{2}-2bc・cosA\)
\(=c^{2}+b^{2}-2bc・cosA\)
よって、\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc・cosA\) は成立する
したがって、余弦定理の証明終了。
今日の課題
では、冒頭でも登場した今日の課題を一緒に解いていきます。
2辺とその間の角の大きさが分かっているので、向かい合う辺BCの大きさを求めることができます。
辺ABの大きさをaとすると正弦定理より、
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)
\(a^{2}=(3\sqrt{3})^{2}+4^{2}-2 \times (3\sqrt{3}) \times 4 \times cos 30^\circ \)
\(a^{2}=27+16-36\)
\(a^{2}=7\)
\(a>0\)なので
\(a=\sqrt{7}\)
したがって、BCの大きさは\(\sqrt{7}\)である。
このように余弦定理は辺の長さを求めるときに使います。
余弦定理＜練習問題＞
今回学んだ「余弦定理」を用いて、練習問題に挑戦してみましょう。
今回は２つのパターンの練習問題を用意しました。
- 辺の長さを求める問題
- 角の大きさを求める問題
解説
余弦定理より、
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)
\(a^{2}=4^{2}+6^{2}-2 \times 4 \times 6 \times cos 60^\circ \)
\(a^{2}=16+36-24\)
\(a^{2}=28\)
\(a>0\)なので
\(a=2\sqrt{7}\)
したがって、
辺BCの長さは、\(2\sqrt{7}\)である。
つぎに角度を求めるパターンの練習問題を解いてみましょう。
解説
余弦定理
\(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos \angle A\)を変形して
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)
ここに分かっている数を代入していく
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{6^{2}+(2\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}{2\times 6 \times 2\sqrt{2}} \)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{36+8-20}{24\sqrt{2}} \)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{24}{24\sqrt{2}} \)
\(\displaystyle \cos \angle A=\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\(0 < \angle A < 180^\circ\)
なので
\(A=45^\circ\)
おわりに
今回は数学Ⅰの三角関数から余弦定理についてまとめました。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。
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では、ここまで読んでくださってありがとうございました。
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