数学ⅡB 高校数学

【積和の公式&和積の公式】和積の公式と導き方

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【積和の公式&和積の公式】和積の公式と導き方

 

・和積の公式ってなに?
・どうやって使うんですか?

 

今回はこんな生徒さんに向けて記事を書いていきます。

 

こんにちは。

みなさんは、和積の公式をご存じですか?

sin+sin=sinsinみたいなやつですよね
なんか違うけど、そんな感じ!(笑)

 

和積の公式の親戚に、積和の公式というものがあります。

本記事で紹介する和積の公式は、積和の公式を変形して導かれます。

それでは、【積和の公式&和積の公式】から和積の公式と導き方をまとめていきましょう。

記事の内容
・和積の公式
・和積の公式 導き方
・和積の公式《練習問題》

 

記事の信頼性国公立の教育大学へ進学・卒業
学生時代は塾でアルバイト数学講師歴4年
教えてきた生徒の数100人以上
現在は日本一周をする数学講師という独自のポジションで発信中

 

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和積の公式

和積の公式

まず和積の公式を見てみましょう。

和積の公式

\(\displaystyle (1) \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)
   
\(\displaystyle (2) \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)
   
\(\displaystyle (3) \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

 

このように、三角関数の和の形をした式から、積の形をした式へ変形するのが和積の公式です。

 

 

和積の公式 導き方

和積の公式 導き方

 
「和積の公式」は「積和の公式」を変形して導くことができます。

\(\displaystyle (1) \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (2) \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (3) \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

 

積和の公式 

\(\displaystyle \sin α \cos β=\frac{1}{2}(\sin (α+β)+\sin (α-β)\)

を変形します。

\(α+β=A,α-β=B\)とすると、\(\displaystyle α=\frac{A+B}{2},β=\frac{A-B}{2}\)

よって、

\(\displaystyle \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}(\sin A+\sin B\)

両辺を2倍して

和積の公式
\(\displaystyle (1) \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

を導くことができます。

 

同様に、積和の公式 

\(\displaystyle \cos α \cos β=\frac{1}{2}(\cos (α+β)+\cos (α-β)\)

を変形します。

\(α+β=A,α-β=B\)とすると、\(\displaystyle α=\frac{A+B}{2},β=\frac{A-B}{2}\)

よって、

\(\displaystyle \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}(\cos A+\cos B\)

両辺を2倍して

和積の公式
\(\displaystyle (2) \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

を導くことができます。

 

同様に、積和の公式 

\(\displaystyle \sin α \sin β=-\frac{1}{2}(\cos (α+β)-\cos (α-β)\)

を変形します。

\(α+β=A,α-β=B\)とすると、\(\displaystyle α=\frac{A+B}{2},β=\frac{A-B}{2}\)

よって、

\(\displaystyle \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}=-\frac{1}{2}(\cos A-\cos B\)

両辺を2倍して

和積の公式
\(\displaystyle (3) \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

を導くことができます。

 

和積の公式 覚え方

 

実は積和の公式&和積の公式は覚えなくて良いです

なぜかというと

めったに出てこないから!

 

それだと、いざ出たときに困るんじゃないですか?

そうですね、なので

積和の公式が加法定理で求められることを覚えておけば良いんです!

 

加法定理を用いて、積和の公式を作って、両辺をくるっと入れ替えれば和積の公式完成です!

和積の公式とその導き方をまとめました。

めったに使わないし、逆に色んなものと混じって分からなくなったので、積和の公式&和積の公式は暗記しなくても大丈夫です。

 

和積の公式<練習問題>

和積の公式<練習問題>
それでは今回学習した和積の公式を使って練習問題を解いていきましょう。

 

練習問題1次の値を求めなさい。
\(\displaystyle \sin \frac{5}{12} \pi + \sin \frac{\pi}{12}\)

解説

和積の公式

\(\displaystyle \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

を用いる。

\(\displaystyle \sin \frac{5}{12} \pi + \sin \frac{\pi}{12}\)

\(=\displaystyle 2 \sin \frac{\frac{5}{12} \pi+\frac{\pi}{12}}{2} \cos \frac{\frac{5}{12} \pi-\frac{\pi}{12}}{2}\)

\(=\displaystyle 2 \sin \frac{\frac{6}{12} \pi}{2} \cos \frac{\frac{4}{12} \pi}{2}\)

\(=\displaystyle 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6}\)

\(=\displaystyle 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}\)

 

和積の公式 まとめ

 

和積の公式

\(\displaystyle (1) \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (2) \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)

\(\displaystyle (3) \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

 

おわりに

 

今回は数学Ⅱの三角関数から和積の公式についてまとめました。

和積の親戚みたいな「積和の公式」についてもまとめてあります。
他にも、教科書に内容に沿ってどんどん解説記事を挙げていきます。

お気に入り登録しておいてもらえると、定期試験前や入試勉強をするときに確認できます。

 

Youtubeでも解説動画を載せているので、そちらもぜひご覧ください。

 

質問や相談もtwitter(@math_travel)の方に連絡ください。

では、ここまで読んでくださってありがとうございました。

 

みんなの努力が報われますように!

 

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