和積&積和の公式と覚え方

和積の公式&積和の公式

「和積の公式ってなんだっけ」
「公式が覚えられない」
今回は和積の公式&積和の公式についてまとめました。

高校生
和積&積和の公式が覚えられません...

 

三角関数の中で1番くらいに覚えづらい公式が「和積の公式」「積和の公式」です。

和⇒積に変換するのが和積の公式です

和積の公式

\[\displaystyle \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \sin A-\sin B=2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

 

一方で、積⇒和に変換するのが積和の公式です。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\} \]

和積の公式も積和の公式も非常に覚えづらいですね。

 

本記事では和積の公式と積和の公式について解説しました。

それぞれの公式の導き方と覚え方についてまとめたので、ぜひ最後までご覧ください。

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積和の公式

まずは積和の公式を見てみましょう。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\} \]

複雑な形をしていて、この公式を覚えるのは大変ですよね。

なぜ積和の公式がこんな形をしているのか、導き方を紹介します。

積和の公式《導き方》

積和の公式は加法定理を用いて導きます。

 

\(\sin\)の加法定理の式を用います。

\[\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \cdots ①\]

\[\sin(\alpha - \beta)=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \cdots ②\]

①+②から

\[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)=2 \sin \alpha \cos \beta\]

したがって、

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)\}\]

 

同様に①-②をすると、

\[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)=2 \cos \alpha \sin \beta\]

したがって、

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)\}\]

 

次に\(\sin \alpha \sin \beta,\cos \alpha \cos \beta\)の導き方を紹介します。

\(\cos\)の加法定理を思い出して

\[\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \cdots ③\]

\[\cos(\alpha - \beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cdots ④\]

③+④より

\[\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)=2\cos \alpha \cos \beta\]

したがって、

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)\}\]

 

同様に③-④より、

\[\cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha - \beta)=-2\sin \alpha \sin \beta\]

したがって、

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha - \beta)\}\]

 

このように積和の公式は加法定理を利用して導くことができます。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\} \]

シータ
ぼくは加法定理から導いて、積和の公式を使っているよ

和積の公式

次に和積の公式について解説します。

三角関数の和の形から積へ変形する公式です。

和積の公式

\[\displaystyle \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \sin A-\sin B=2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

右辺の角度\(\displaystyle \frac{A+B}{2},\frac{A-B}{2}\)に注意しましょう。

和積の公式《導き方》

和積の公式は、積和の公式から変形して導きます。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\cdots ①\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\cdots ②\]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\cdots ③\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\}\cdots ④\]

\(\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B\)とすると、

\[\displaystyle \alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}\cdots⑤\]

 

①,⑤より、

\[\displaystyle \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\{\sin A+\sin B\}\]

したがって、

\[\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

 

同様に②,⑤から

\[\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

 

③,⑤から

\[\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

 

④,⑤から

\[\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

 

和積の公式を導くには、積和の公式が必要です。

そして積和の公式を導くために加法定理が必要なので、加法定理を必ず理解しておきましょう。

補足記事

和積&積和の公式 覚え方

ここでは積和の公式の覚え方を考えましょう。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\} \]

積和の公式を覚えてしまえば、和積の公式も導くことができます。

 

積和の公式は右辺が以下のような形をしています。

和積の公式の覚え方

つまり、各式の符号と\(\sin,\cos\)だけを覚えれば大丈夫です。

sincosの覚え方

左辺の三角関数が異なるときは、右辺が\(\sin\)の和と差になりました。

 

一方で、左辺の三角関数が同じとき、右辺が\(\cos\)になります。

sinsinの覚え方

\(\sin \times \sin\)のときは、\(\displaystyle -\frac{1}{2}\)になるので注意しましょう。

 

ここまで積和の公式の覚え方を紹介しましたが、これでも覚えるのは大変です。

積和の公式がどうしても覚えられない人は、積和の公式を加法定理から導けるようにさえすれば問題ないです。

和積&積和の公式 練習問題

和積の公式<練習問題>

 

和積の公式&積和の公式を使った練習問題に挑戦しましょう。

まずは和積の公式に関する問題からです。

和積の公式 問題

和の式から積の形へ変形してみよう。

\[\sin 5 \theta +\sin \theta\]

これは和積の公式を用います。

\[\displaystyle \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\(A=5 \theta,B=\theta\)として、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 5 \theta +\sin \theta&=&2 \sin \frac{5 \theta+\theta}{2} \cos \frac{5 \theta-\theta}{2}\\
&=&2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta
\end{eqnarray}

 

次に積和の公式に関する問題です。

積和の公式 問題

積の式から和の形へ変形してみよう。

\[\sin 3 \theta \cos \theta\]

これは積和の公式を用います。

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\(\alpha=3 \theta,\beta=\theta\)として、

\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin 3 \theta \cos \theta&=&\frac{1}{2}\{\sin (3 \theta+\theta)+\sin (3 \theta-\theta)\}\\
&=&\frac{1}{2}\left(\sin 4 \theta +\sin 2 \theta \right)
\end{eqnarray}

 

高校生
なんとか解くことができました!
公式を使いこなせるように練習していこう!
シータ

和積&積和の公式 まとめ

今回は和積の公式&積和の公式についてまとめました。

和積&積和 まとめ

和⇒積に変換するのが和積の公式です

和積の公式

\[\displaystyle \sin A+\sin B=2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \sin A-\sin B=2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A+\cos B=2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\]

\[\displaystyle \cos A-\cos B=-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\]

 

一方で、積⇒和に変換するのが積和の公式です。

積和の公式

\[\displaystyle \sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\{\sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha-\beta)\}\]

\[\displaystyle \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)\} \]

\[\displaystyle \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\}\]

和積の公式も積和の公式も非常に覚えづらいですね。

 

今回は和積の公式と積和の公式についてまとめましたが、三角関数には重要な公式がたくさんあります。

三角関数は公式も多く、定期テストの問題も作りやすいので三角関数は要注意の単元です。

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